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Anteile und Brüche in Prozent ausdrücken

Anteile, Brüche, Prozentzahlen, Anteile und Brüche vergleichen

Anteil, Bruchteil, Ganzes

Teile eines Ganzen kannst du unterschiedlich darstellen. Betrachtest du einen in acht Stücke geschnittenen Kuchen, so kannst du folgende Eigenschaften erkennen:

Torte

  • Das Ganze ist der gesamte Kuchen mit $8$ Stücken.
  • Der halbe Kuchen mit $4$ Stücken wäre dann ein Bruchteil.
  • Beziehst du den Bruchteil auf das Ganze, so erhältst du mit $4$ Stücken von $8$ Stücken den Anteil.

Anteile stellst du unter Verwendung von Brüchen dar: $~ \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Die drei Größen hängen folgendermaßen zusammen:

$\begin{array}{lll} \text{Anteil} &=& \dfrac{\text{Bruchteil}}{\text{Ganzes}} \\ \\ \text{Ganzes} &=& \dfrac{\text{Bruchteil}}{\text{Anteil}} \\ \\ \text{Bruchteil} &=& \text{Anteil}\ \cdot\ \text{Ganzes} \end{array}$

Anteile in Prozent

Vielleicht fällt dir der Vergleich zwischen Anteilen in Bruchschreibweise schwer, wenn die Nenner verschieden sind. Helfen kann es dir dann, den Bruch in die Prozentschreibweise umzuwandeln. Der Begriff „Prozent“ beinhaltet „von Hundert“, also ist das Ganze (der Nenner des Anteils) $100$. Bezogen auf den Kuchen können wir den halben Anteil wie folgt angeben:

$\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 50}{2\cdot 50} = \frac{50}{100} = 50\%$

Der Anteil in Prozentschreibweise wird Prozentsatz genannt. Schau dir einmal diese Beispielaufgabe an, um Verhältnisse miteinander vergleichen zu können:

Im Jahr 2017 erwarben $300$ von $400$ Mitgliedern eines Leichtathletikvereins das Sportabzeichen, $2018$ waren es $240$ von $300$.

In welchem Jahr war der Anteil der erfolgreichen Sportler größer?

Sportler

Um die Anteile der beiden Jahre miteinander vergleichen zu können, kannst du über die Bruchschreibweise jeweils der Prozentsatz ermitteln:

$\begin{array}{lll} 2017: && \frac{300}{400} = \frac{3}{4} = \frac {75}{100} = 75\% \\ \\ 2018: && \frac{240}{300} = \frac{4}{5} = \frac {80}{100} = 80\% \end{array}$

$80\% \gt 75\%$, also war der Anteil im Jahr 2018 höher.

Bezug zur Prozentrechnung

In der Prozentrechnung werden Ganzes, Bruchteil und Anteil mit folgenden Begriffen belegt:

Ganzes $\rightarrow$ Grundwert ($G$)

Bruchteil $\rightarrow$ Prozentwert ($W$)

Anteil $\rightarrow$ Prozentsatz ($p\%$)

Damit können wir folgende Gleichung aufstellen:

$\begin{array}{lllll} \text{Ganzes} = \dfrac{\text{Bruchteil}}{\text{Anteil}} && \rightarrow && G = \frac{W}{p\%} \end{array}$

Durch Äquivalenzumformungen lässt sich der Zusammenhang für die beiden anderen Größen erschließen:

$\begin{array}{lll} W &=& G\cdot p\% \\ \\ p\% &=& \frac{W}{G} \end{array}$

Prozente, Brüche und Dezimalzahlen ineinander umwandeln

Wir gehen also davon aus, dass es sich bei Prozentsätzen um Hundertstelbrüche handelt. Deshalb gelten folgende Umrechnungsregeln:

Eine Dezimalzahl musst du mit $100$ multiplizieren, um den Prozentsatz zu erhalten:

$0,17 = 17\%$

Bei einem Bruch bedeutet der Bruchstrich ein Divisionszeichen, also musst du den Zähler durch den Nenner dividieren, um die Dezimalzahl zu ermitteln. Danach fährst du wie oben beschrieben fort:

$\frac{3}{8} = 3:8 = 0,375 = 37,5\%$

Bei der Umwandlung eines Prozentsatzes in einen Bruch bildest du den Hundertstelbruch und kürzt entsprechend:

$20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$