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Anteile und Brüche in Prozent ausdrücken

Anteile, Brüche, Prozentzahlen, Anteile und Brüche vergleichen

Anteil, Bruchteil, Ganzes

Teile eines Ganzen können unterschiedlich dargestellt werden. Betrachtet man einen in acht Stücke geschnittenen Erdbeerkuchen, so sind folgende Eigenschaften zu erkennen:

Torte.jpg

  • Das Ganze ist der gesamte Kuchen mit $8$ Stücken.
  • Der halbe Kuchen mit $4$ Stücken wäre dann ein Bruchteil.
  • Bezieht man den Bruchteil auf das Ganze, so erhält man mit $4$ Stücken von $8$ Stücken den Anteil.

Anteile werden unter Verwendung von Brüchen dargestellt: $~ \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Die drei Größen hängen folgendermaßen zusammen:

$\begin{array}{lll} \text{Anteil} &=& \dfrac{\text{Bruchteil}}{\text{Ganzes}} \\ \\ \text{Ganzes} &=& \dfrac{\text{Bruchteil}}{\text{Anteil}} \\ \\ \text{Bruchteil} &=& \text{Anteil}\ \cdot\ \text{Ganzes} \end{array}$

Anteile in Prozent

Oft fällt ein Vergleich zwischen Anteilen in Bruchschreibweise schwer, wenn die Nenner verschieden sind. Abhilfe schafft die Umwandelung eines Bruches in die Prozentschreibweise. Der Begriff "Prozent" beinhaltet "von Hundert", also ist das Ganze (der Nenner des Anteils) $100$. Bezogen auf den Kuchen können wir den halben Anteil wie folgt angeben:

$\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 50}{2\cdot 50} = \frac{50}{100} = 50\%$

Der Anteil in Prozentschreibweise wird Prozentsatz genannt. Als Beispiel, um Verhältnisse miteinander vergleichen zu können, dient folgende Aufgabe:

Im Jahr 2017 erwarben $300$ von $400$ Mitgliedern eines Leichtathletikvereins das Sportabzeichen, $2018$ waren es $240$ von $300$.

In welchem Jahr war der Anteil der erfolgreichen Sportler größer?

Sportler.jpg

Um die Anteile der beiden Jahre miteinander vergleichen zu können, wird über die Bruchschreibweise jeweils der Prozentsatz ermittelt:

$\begin{array}{lll} 2017: && \frac{300}{400} = \frac{3}{4} = \frac {75}{100} = 75\% \\ \\ 2018: && \frac{240}{300} = \frac{4}{5} = \frac {80}{100} = 80\% \end{array}$

$80\% \gt 75\%$, also war der Anteil im Jahr 2018 höher.

Bezug zur Prozentrechnung

In der Prozentrechnung werden Ganzes, Bruchteil und Anteil mit folgenden Begriffen belegt:

Ganzes $\rightarrow$ Grundwert ($G$)

Bruchteil $\rightarrow$ Prozentwert ($W$)

Anteil $\rightarrow$ Prozentsatz ($p\%$)

Damit können wir folgende Gleichung aufstellen:

$\begin{array}{lllll} \text{Ganzes} = \dfrac{\text{Bruchteil}}{\text{Anteil}} && \rightarrow && G = \frac{W}{p\%} \end{array}$

Durch Äquivalenzumformungen lässt sich der Zusammenhang für die beiden anderen Größen erschließen:

$\begin{array}{lll} W &=& G\cdot p\% \\ \\ p\% &=& \frac{W}{G} \end{array}$

Prozente, Brüche und Dezimalzahlen ineinander umwandeln

Davon ausgehend, dass es sich bei Prozentsätzen um Hundertstelbrüche handelt, gelten folgende Umrechnungsregeln:

Eine Dezimalzahl wird mit $100$ multipliziert, um den Prozentsatz zu erhalten:

$0,17 = 17\%$

Bei einem Bruch bedeutet der Bruchstrich ein Divisionszeichen, also wird der Zähler durch den Nenner dividiert, um die Dezimalzahl zu ermitteln. Danach wird wie oben beschrieben verfahren:

$\frac{3}{8} = 3:8 = 0,375 = 37,5\%$

Bei der Umwandlung eines Prozentsatzes in einen Bruch bildet man den Hundertstelbruch und kürzt entsprechend:

$20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$