30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Gleichungen lösen durch Äquivalenzumformungen

Einfach lernen mit Videos, Übungen, Aufgaben & Arbeitsblättern

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Unser wichtigstes Werkzeug zum Lösen von Gleichungen sind Äquivalenzumformungen.

werkzeug.png

Darunter verstehen wir solche Umformungen, die die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändern. Welche Umformungen sind das? Im Folgenden betrachten wir diese Art von Umformungen.

Termumformungen

Wir können einen gegebenen Term mittels Termumformungen wie folgt vereinfachen:

$\begin{array}{lll} x &=& 57 + 24 \\ x &=& 81 \end{array}$

Hier konnten wir die beiden Summanden auf der rechten Seite der Gleichung zusammenfassen, ohne die Lösungsmenge der Gleichung zu ändern.

Addition und Subtraktion eines Terms

Auch ist es möglich durch Addition und Subtraktion desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung diese so umzuformen, dass sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändert.

$\begin{array}{llll} x + 6 &=& 4 & \vert -6 \\ x + 6 - 6 &=& 4 - 6 & \\ x &=& -2 \end{array}$

Die Ausgangsgleichung $x + 6 = 4$ hat dieselbe Lösungsmenge wie die Gleichung $x = -2$, die wir nach der Umformung erhalten haben, nämlich $-2$.

Wir bestätigen diese Aussage durch die Probe. Durch Einsetzen der Lösungsmenge $x = -2$ in die Ausgangsgleichung erhalten wir:

$\begin{array}{lll} -2 + 6 &=& 4 \\ 4 &=& 4 \end{array}$

Multiplikation und Division eines Terms

Durch Multiplikation und Division desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung können wir diese ebenfalls umformen, ohne die Lösungsmenge zu beeinflussen:

$\begin{array}{llll} 7x &=& 84 & \vert :7 \\ 7x:7 &=& 84:7 \\ x &=& 12 \end{array}$

Auch hier liefert die Ausgangsgleichung $7x = 84$ dieselbe Lösungsmenge wie die Gleichung $x = 12$, die wir nach der Umformung erhalten haben, nämlich $12$. Die folgende Probe zeigt, dass diese Annahme gilt:

$\begin{array}{lll} 7\cdot 12 &=& 84 \\ 84 &=& 84 \end{array}$

Mit Äquivalenzumformungen kann man also aus komplizierten Gleichungen einfache Gleichungen machen und auf diese Weise die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmen. Sehr eindrucksvoll kann dies an den folgenden drei Gleichungen gezeigt werden:

  • $4x=2x+6$
  • $2x=x+3$
  • $x=3$

Auf den ersten Blick scheinen diese drei Gleichungen nichts miteinander zu tun zu haben. Die erste ist komplizierter als die zweite, die wiederum komplizierter als die dritte. Und doch haben sie eine Gemeinsamkeit: Die Lösung aller drei Gleichungen ist $x=3$.

Durch Äquivalenzumformungen führt die erste Gleichung Schritt für Schritt zur dritten Gleichung:

$\begin{array}{llll} 4x &=& 2x+6 &\vert :2 \\ 2x &=& x+3 &\vert - x \\ x &=& 3 \end{array}$

Anwendungsbeispiel

Wir schauen uns eine Textaufgabe an, bei der es darum geht, zunächst eine Gleichung aufzustellen und sie anschließend mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach $x$ aufzulösen.

Johanna und Eric sind in die Zoohandlung gegangen, um Fische für ihre Aquarien zu kaufen. Eric wählt zwei Regenbogenblinkis und zehn graue Guppies, während sich Johanna für fünf Regenbogenblinkis und einen grauen Guppy entscheidet. Ein Guppy kostet einen Euro. Beide Kinder geben gleich viel Geld aus.

Fischewaage.png

Zu Hause angekommen stellt Eric fest, dass er gerne einen Regenbogenblinki mehr hätte und überlegt, ihn gegen Guppies einzutauschen. Für wie viele graue Guppies bekommt er dann einen Regenbogenblinki?

Vor dem Aufstellen der Gleichung bezeichnen wir die unbekannte Größe – in diesem Fall den Preis für einen Regenbogenblinki – mit der Variablen $x$. Die Ausgaben von Johanna und Eric setzen sich jeweils wie folgt zusammen:

  • Johanna: $1 + 5x$
  • Eric: $2x + 10$

Da beide gleich viel Geld ausgegeben haben, können wir die Terme gleichsetzen:

  • $1 + 5x = 2x + 10$

Mit Hilfe von Äquivalenzumformungen können wir diese Gleichung nach $x$ auflösen. Dazu sortieren wir alle Werte mit $x$ auf die linke und die Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung:

$\begin{array}{llll} 1 + 5x &=& 2x + 10 &\vert -1 \\ 5x &=& 2x + 9 &\vert - 2x \\ 3x &=& 9 &\vert :3 \\ x &=& 3 & \end{array}$

Die Lösung der Gleichung stellt den Preis für einen Regenbogenblinki dar, nämlich $3€$. Da ein Guppy einen Euro kostet, bekommt man folglich für drei Guppies einen Regenbogenblinki.