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Gleichungen lösen durch Äquivalenzumformungen

Das Lösen von Gleichungen erfolgt immer über Äquivalenzumformungen.

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Unser wichtigstes Werkzeug zum Lösen von Gleichungen sind Äquivalenzumformungen.

Werkzeug

Darunter verstehen wir solche Umformungen, die die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändern. Welche Umformungen sind das? Im Folgenden betrachten wir diese Art von Umformungen.

Termumformungen

Wir können einen gegebenen Term mittels Termumformungen wie folgt vereinfachen:

$\begin{array}{lll} x &=& 57 + 24 \\ x &=& 81 \end{array}$

Hier konnten wir die beiden Summanden auf der rechten Seite der Gleichung zusammenfassen, ohne die Lösungsmenge der Gleichung zu ändern.

Addition und Subtraktion eines Terms

Auch ist es möglich durch Addition und Subtraktion desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung diese so umzuformen, dass sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändert.

$\begin{array}{llll} x + 6 &=& 4 & \vert -6 \\ x + 6 - 6 &=& 4 - 6 & \\ x &=& -2 \end{array}$

Die Ausgangsgleichung $x + 6 = 4$ hat dieselbe Lösungsmenge wie die Gleichung $x = -2$, die wir nach der Umformung erhalten haben, nämlich $-2$.

Wir bestätigen diese Aussage durch die Probe. Durch Einsetzen der Lösungsmenge $x = -2$ in die Ausgangsgleichung erhalten wir:

$\begin{array}{lll} -2 + 6 &=& 4 \\ 4 &=& 4 \end{array}$

Multiplikation und Division eines Terms

Durch Multiplikation und Division desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung können wir diese ebenfalls umformen, ohne die Lösungsmenge zu beeinflussen:

$\begin{array}{llll} 7x &=& 84 & \vert :7 \\ 7x:7 &=& 84:7 \\ x &=& 12 \end{array}$

Auch hier liefert die Ausgangsgleichung $7x = 84$ dieselbe Lösungsmenge wie die Gleichung $x = 12$, die wir nach der Umformung erhalten haben, nämlich $12$. Die folgende Probe zeigt, dass diese Annahme gilt:

$\begin{array}{lll} 7\cdot 12 &=& 84 \\ 84 &=& 84 \end{array}$

Mit Äquivalenzumformungen kann man also aus komplizierten Gleichungen einfache Gleichungen machen und auf diese Weise die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmen. Sehr eindrucksvoll kann dies an den folgenden drei Gleichungen gezeigt werden:

  • $4x=2x+6$
  • $2x=x+3$
  • $x=3$

Auf den ersten Blick scheinen diese drei Gleichungen nichts miteinander zu tun zu haben. Die erste ist komplizierter als die zweite, diese wiederum komplizierter als die dritte. Und doch haben sie eine Gemeinsamkeit: Die Lösung aller drei Gleichungen ist $x=3$.

Durch Äquivalenzumformungen führt die erste Gleichung Schritt für Schritt zur dritten Gleichung:

$\begin{array}{llll} 4x &=& 2x+6 &\vert :2 \\ 2x &=& x+3 &\vert - x \\ x &=& 3 \end{array}$

Anwendungsbeispiel

Wir schauen uns eine Textaufgabe an, bei der es darum geht, zunächst eine Gleichung aufzustellen und sie anschließend mithilfe von Äquivalenzumformungen nach $x$ aufzulösen.

Johanna und Eric sind in die Zoohandlung gegangen, um Fische für ihre Aquarien zu kaufen. Eric wählt zwei Regenbogenblinkis und zehn graue Guppys, während sich Johanna für fünf Regenbogenblinkis und einen grauen Guppy entscheidet. Ein Guppy kostet einen Euro. Beide Kinder geben gleich viel Geld aus.

Fischewaage

Zu Hause angekommen stellt Eric fest, dass er gerne einen Regenbogenblinki mehr hätte und überlegt, ihn gegen Guppys einzutauschen. Für wie viele graue Guppys bekommt er dann einen Regenbogenblinki?

Vor dem Aufstellen der Gleichung bezeichnen wir die unbekannte Größe – in diesem Fall den Preis für einen Regenbogenblinki – mit der Variablen $x$. Die Ausgaben von Johanna und Eric setzen sich jeweils wie folgt zusammen:

  • Johanna: $1 + 5x$
  • Eric: $2x + 10$

Da beide gleich viel Geld ausgegeben haben, können wir die Terme gleichsetzen:

  • $1 + 5x = 2x + 10$

Mithilfe von Äquivalenzumformungen können wir diese Gleichung nach $x$ auflösen. Dazu sortieren wir alle Werte mit $x$ auf die linke und alle Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung:

$\begin{array}{llll} 1 + 5x &=& 2x + 10 &\vert -1 \\ 5x &=& 2x + 9 &\vert - 2x \\ 3x &=& 9 &\vert :3 \\ x &=& 3 & \end{array}$

Die Lösung der Gleichung stellt den Preis für einen Regenbogenblinki dar, nämlich $3€$. Da ein Guppy einen Euro kostet, bekommt man folglich einen Regenbogenblinki für drei Guppys.

Anwendungsbeispiel: Zahlenrätsel

Aufgabe 1

Addiert man zu einer Zahl $a$ die Zahl $25$, so erhält man $38$. Wie heißt die Zahl?

$\begin{array}{lll} a + 25 &=& 38 & \vert - 25 \\ a + 25 - 25 &=& 38 - 25 & \\ a &=& 13 & \end{array}$

Die gesuchte Zahl heißt $13$.

Aufgabe 2

Subtrahiert man von einer Zahl $b$ die Zahl $84$, so erhält man ihre Gegenzahl. Wie heißt die Zahl?

$\begin{array}{llll} b - 84 &=& -b & \vert + 84 + b \\ b + b - 84 + 84 &=& -b + b + 84 & \\ 2b &=& 84 & \vert : 2 \\ b &=& 42 \end{array}$

Aufgabe 3

Das Vierfache einer Zahl $x$ ist $-196$. Wie heißt die Zahl?

$\begin{array}{llll} 4\cdot x &=& -196 & \vert : 4 \\ 4\cdot x : 4 &=& -196 : 4 & \\ x &=& -49 & \end{array}$

Aufgabe 4

Der dritte Teil einer Zahl $y$ ist $123$. Wie heißt die Zahl?

$\begin{array}{llll} \frac{1}{3}y &=& 123 & \vert \cdot {3}{1} \\ \frac{1}{3}y\cdot\frac{3}{1} &=& 123\cdot\frac{3}{1} & \\ y &=& 369 & \end{array}$

Aufgabe 5

Das Neunfache einer Zahl ist gleich der Summe aus der Zahl und $56$. Wie heißt die Zahl?

$\begin{array}{llll} 9x &=& x + 56 & \vert - x \\ 8x &=& 56 & \vert : 8\\ x &=& 7 & \end{array}$

Anwendungsbeispiel: Textgleichungen

Aufgabe 1

Die Familien Meier und Schmidt bewohnen ein Zweifamilienhaus. Die jährlichen Kosten für die Müllabfuhr in Höhe von $203$ € sollen entsprechend der Personenzahl auf beide Familien verteilt werden. Im Haushalt der Familie Meier leben $3$ Personen, bei Familie Schmidt sind es $4$.

Welche Kosten für die Müllabfuhr entstehen für die einzelnen Familien?

Vorüberlegung: Da die Kosten abhängig sind von der Anzahl der im Haushalt lebenden Personen, ist es zweckmäßig, zuerst die Kosten pro Person, diese bezeichnen wir mit $x$, zu bestimmen. Dann betragen die Kosten für Familie Meier $3x$ und für Familie Schmidt $4x$. Es folgt also:

$\begin{array}{llll} 3x + 4x &=& 203 & \\ 7x &=& 203 & \vert : 7 \\ x &=&29 & \end{array}$

Damit ergeben sich folgende Beträge:

  • Familie Meier: $3\cdot 29 = 87$,
  • Familie Schmidt: $4\cdot 29 = 116$.

Die Probe liefert wie folgt eine wahre Aussage: $87 + 116 = 203$.

Also zahlt Familie Meier jährlich $87$ € und Familie Schmidt $116$ € für die Müllabfuhr.

Aufgabe 2

In einer $7,5\ \text{km}$ langen Skilanglaufstaffel lief die zweite Läuferin $31\ \text{s}$ langsamer als die erste. Die dritte Läuferin lief $47\ \text{s}$ schneller als die zweite. Als Gesamtzeit erreichte die Staffel eine Zeit von $1:27,00\ \text{h}$.

Wie schnell lief die erste Läuferin?

Zunächst wird die Gesamtzeit in Sekunden umgewandelt, die Umrechnungszahl ist $60$.

  • $1 \ \text{h} = 3600 \ \text{s}$
  • $27 \ \text{min} = 1620 \ \text{s}$
  • $3600 \ \text{s} + 1620 \ \text{s} = 5220 \ \text{s}$

Zudem können wir folgende Terme für die Zeiten der Läuferinnen festlegen:

  • Zeit der ersten Läuferin in Sekunden: $x$,
  • Zeit der zweiten Läuferin in Sekunden: $x + 31$,
  • Zeit der dritten Läuferin in Sekunden: $(x + 31) - 47$.

Die entsprechende Gleichung lautet dann:

$\begin{array}{llll} x + (x + 31) + (x + 31) - 47&=& 5220 & \\ 3x + 15&=& 5220 & \vert : 3 \\ x &=& 1735 & \end{array}$

Die Zeit der ersten Läuferin betrug also $1735\ \text{s}$, das sind $28$ Minuten und $55$ Sekunden, also $28:55,00 \ \text{min}$.

Anwendungsbeispiel: Geometrie

Aufgabe 1

Ein Rechteck hat einen Umfang von $U=908\ \text{cm}$ und eine Breite von $b=220\ \text{cm}$. Wie viel $\text{cm}$ beträgt die Seitenlänge $a$ des Rechtecks?

Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet: $A = 2\cdot a +2\cdot $.

Damit ergibt sich folgende Gleichung:

$\begin{array}{llll} 2\cdot a +2\cdot220 &=& 908 & \\ 2\cdot a +440 &=&908 & \vert - 440 \\ 2a &=& 468 & \vert : 2 \\ a &=& 234 & \end{array}$

Die Länge des Rechtecks beträgt $234 \ \text{cm}$.

Aufgabe 2

Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von $230\ \text{cm}$. Die Basis ist um $20 \ \text{cm}$ länger als ein Schenkel. Wie lang ist ein Schenkel und wie lang ist die Basis?

gleichschenkliges_Dreieck.jpg

In der folgenden Rechnung wird die Länge des Schenkels mit $x$ und die Länge der Basis mit $x + 20$ berücksichtigt:

$\begin{array}{llll} 2\cdot x + (x + 20) &=& 230 & \\ 3\cdot x + 20 &=& 230 & \vert - 20 \\ 3x &=& 210 & \vert : 3 \\ x &=& 70 & \end{array}$

Die Länge eines Schenkels beträgt $70 \ \text{cm}$ und die der Basis $70 \ \text{cm} + 20 \ \text{cm} = 90 \ \text{cm}$.

Aufgabe 3

In einem Trapez ist der Winkel $\gamma$ doppelt so groß wie der Winkel $\alpha$, und der Winkel $\beta$ ist um $70^\circ$ kleiner als der Winkel $\delta$. Wie groß sind die einzelnen Winkel?

Trapez.jpg

In einem Trapez gilt:

$\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180^\circ$.

Wenn nun in der Gleichung $\delta$ durch $\beta + 70$ und $\gamma$ durch $2\alpha$ ersetzt wird, erhält man:

$\begin{array}{llll} \alpha + \beta + 70 &=& \beta + 2\alpha & \vert - \alpha \\ \beta + 70&=& \beta + \alpha & \vert - \beta \ \\ 70 &=&\alpha \end{array}$

Der Winkel $\alpha$ beträgt $70^\circ$, dann ist $\delta= 110^\circ$.

Da $\gamma = 2\alpha$, erhält man $\gamma = 140^\circ$ und $\beta = 40^\circ$.