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Die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck.

Der Sinuswert eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist der Quotient aus der Länge der Gegenkathete dieses Winkels sowie der der Hypotenuse.

1147_rechtwinkliges_Dreieck_1.jpg

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Der Kosinuswert ist definiert als der Quotient aus der Länge der Ankathete dieses Winkels sowie der der Hypotenuse. Der Tangenswert ist definiert als der Quotient aus der Länge der Gegenkathete sowie der der Ankathete dieses Winkels.

  • $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

  • $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

  • $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

Die Sinusfunktion wird ebenso wie die Kosinus- und Tangensfunktion als trigonometrische Funktion bezeichnet. Diese Funktionen sind nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken erklärt und auch nicht nur für spitze Winkel.

Der Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $r=1$. Du kannst hier ein rechtwinkliges Dreieck sehen. Die Hypotenuse ist der Radius.

1147_Einheitskreis_1.jpg

An diesem Einheitskreis kann jede der drei trigonometrischen Funktionen erklärt werden.

Die Sinusfunktion am Einheitskreis

1147_Sinus_Einheitskreis.jpg

Da der Sinus des Winkels $\alpha$ definiert ist als der Quotient aus der Länge der Gegenkathete dieses Winkels sowie der der Hypotenuse, ist der Sinus des Winkels $\alpha$ die Länge der Gegenkathete. Nun kannst du dir klarmachen, wie der Sinuswert des Winkels $\alpha$ sich verändert, wenn der Winkel verändert wird.

  • Für $\alpha=0^\circ$ ist $\sin(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=90^\circ$ ist $\sin(\alpha)=1$.
  • Für $\alpha=180^\circ$ ist $\sin(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=270^\circ$ ist $\sin(\alpha)=-1$.
  • Ab $\alpha=360^\circ$ wiederholen sich die Sinuswerte: $\sin(\alpha)=0$.

1008_Einheitskreis_Sinusfunktion.jpg

Die Sinusfunktion hat die folgenden Eigenschaften:

  • Sie ist für alle reellen Werte definiert $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
  • Ihr Wertebereich ist gegeben durch $\mathbb{W}=[-1;1]$.
  • Die Sinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $360^\circ$. Du kannst dir das so vorstellen: Du kopierst den Graph der Funktion für $\alpha\in[0^\circ;360^\circ]$ und fügst diese Kopie links von $0^\circ$ und rechts von $360^\circ$ beliebig oft an.
  • Die Nullstellen der Sinusfunktion sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$. Das bedeutet: Für $\alpha=k\cdot 180^\circ;~k\in \mathbb{Z}$ gilt $\sin(\alpha)=0$.
  • Der Graph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
  • Der Abstand von dem höchsten zu dem niedrigsten Wert der Sinusfunktion wird als Amplitude der Funktion bezeichnet. Diese ist $1-(-1)=2$.

Die Cosinusfunktion am Einheitskreis

1147_Cosinus_Einheitskreis.jpg

Da der Cosinus des Winkels $\alpha$ definiert ist als der Quotient aus der Länge der Ankathete dieses Winkels sowie der der Hypotenuse, ist der Cosinus des Winkels $\alpha$ die Länge der Ankathete. Auch hier kannst du dir einige Werte klarmachen.

  • Für $\alpha=0^\circ$ ist $\cos(\alpha)=1$.
  • Für $\alpha=90^\circ$ ist $\cos(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=180^\circ$ ist $\cos(\alpha)=-1$.
  • Für $\alpha=270^\circ$ ist $\cos(\alpha)=0$.
  • Ab $\alpha=360^\circ$ wiederholen sich auch die Cosinuswerte: $\cos(\alpha)=1$.

Der Graph der Cosinusfunktion sieht ebenso aus wie der der Sinusfunktion. Er ist um $90^\circ$ nach links verschoben.

Die Cosinusfunktion hat die folgenden Eigenschaften:

  • Sie ist für alle reellen Werte definiert $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
  • Ihr Wertebereich ist gegeben durch $\mathbb{W}=[-1;1]$.
  • Wie die Sinusfunktion ist auch die Cosinusfunktion periodisch mit der Periodenlänge $360^\circ$.
  • Die Nullstellen der Cosinusfunktion sind gegeben durch $\alpha=90^\circ+k\cdot 180^\circ;~k\in \mathbb{Z}$.
  • Der Graph der Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Ebenso wie die Sinusfunktion hat die Cosinusfunktion die Amplitude $2$.

Der Definitions- sowie der Wertebereich der Sinus- und Cosinusfunktion stimmen überein ebenso die Periodizität und die Amplitude. Fällt dir etwas bei den speziellen Funktionswerten auf?

Der trigonometrische Pythagoras

Wenn der Sinus den Wert $0$ annimmt, ist der Cosinus $1$ oder $-1$ und umgekehrt. Ist das Zufall? Nein!

1008_Einheitskreis.jpg

In dem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $\sin(\alpha)$ sowie $\cos(\alpha)$ hat die Hypotenuse die Länge $1$.

Es gilt somit mit dem Satz des Pythagoras

$(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=1$

für jeden beliebigen Winkel $\alpha$.

Dies ist der sogenannte trigonometrische Pythagoras.

Damit kannst Du zum Beispiel den Sinus (und auch den Cosinus) von $45^\circ$ berechnen. Sei $\alpha=45^\circ$, dann ist das rechtwinklige Dreieck gleichschenklig, das bedeutet $\sin(45^\circ)=\cos(45^\circ)$. Somit gilt

$\begin{array}{rclll}(\sin(45^\circ))^2+(\sin(45^\circ))^2&=&1\\ 2(\sin(45^\circ))^2&=&1&|&:2\\ (\sin(45^\circ))^2&=&\frac12&|&\sqrt{~~~}\\ \sin(45^\circ)&=&\frac1{\sqrt2}\approx0,707\end{array}$

Die Tangensfunktion am Einheitskreis

1147_Tangens_Einheitskreis.jpg

Es gilt

$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Mit Hilfe der Strahlensätze erkennst du, dass der Tangens die Länge der Strecke ist, welche den Einheitskreis berührt. Daher kommt auch der Name: tangere [lat.] heißt berühren.

  • Im Gegensatz zu der Sinus- und Cosinusfunktion ist die Tangensfunktion nicht auf ganz $\mathbb{R}$ definiert. Es müssen die Nullstellen der Cosinusfunktion ausgeschlossen werden.
  • Der Wertebereich der Tangensfunktion ist die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.
  • Die Nullstellen der Tangens- und Sinusfunktion stimmen überein.
  • Die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $180^\circ$.
  • Die Tangesfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Die folgenden Tangenswerte kannst du dir merken:

  • $\tan(0^\circ)=0$
  • $\tan(45^\circ)=1$
  • Je näher der Winkel $\alpha$ sich $90^\circ$ annähert, desto größer werden die Werte des Tangens.
  • $\tan(90^\circ)$ ist jedoch nicht definiert. Ebenso $\tan(270^\circ)$.
  • dennoch wiederholt sich auch der Tangens periodisch.