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Zahlenbereiche bis zu den rationalen Zahlen

Die rationalen Zahlen stellen einen Zahlenbereich in der Mathematik dar. Es gibt verschiedene Zahlenbereiche, von denen du sicherlich schon ein paar kennst.

Ganz früh lernst du in der Schule die natürlichen Zahlen $(\mathbb{N})$ kennen.

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Natürliche Zahlen hängen mit Zählbarkeit zusammen: Du kannst zum Beispiel zählen, wie viele Schüler in deine Klasse gehen, oder wie viele Stifte in deinem Etui sind.

Mathematisch kannst du das auch folgendermaßen ausdrücken:

$\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}$

Wenn du zwei natürliche Zahlen addierst oder die kleinere von der größeren Zahl subtrahierst, erhältst du wieder eine natürliche Zahl. Wenn du jedoch von einer natürlichen Zahl eine größere natürliche Zahl subtrahierst, zum Beispiel $3-7=-4$, erhältst keine natürliche Zahl mehr. Dies ist auch beim Dividieren der Fall:$14:4=3,5$. Dies ist keine natürliche Zahl. Deswegen werden die Zahlenbereiche nach und nach erweitert.

Anschließend lernst du die ganzen Zahlen $(\mathbb{Z})$ kennen, die sich aus den natürlichen Zahlen und den negativen Zahlen zusammensetzen:

$\mathbb{Z}=\{...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}$

Wenn du zum Beispiel die Tordifferenz einer Fußballmannschaft berechnen möchtest, spielen die ganzen Zahlen eine Rolle. Wenn eine Mannschaft 5 Tore geschossen und 8 Gegentore kassiert hat, beträgt die Tordifferenz $5-8=-3$.

Die positiven rationalen Zahlen $(\mathbb{Q}^+)$ lernst du als nächstes kennen, zum Beispiel im Zusammenhang mit Geld.

$\mathbb{Q}^+=\left\{\frac ab;~a;~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$

Stell dir vor, du sollst 10 € gleichmäßig auf 4 Freunde verteilen. Wie viel bekommt jeder? Da 10 kein Vielfaches von 4 ist, ist 10 nicht ohne Rest duch 4 teilbar. Hier kommt das Komma ins Spiel: $10:4=2,5$ € oder $2,50$ €. Alternativ kannst du das auch als Bruch darstellen:

$\frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Bei den rationalen Zahlen $(\mathbb{Q})$ schließlich kommen auch noch negative rationale Zahlen hinzu, die du am Minuszeichen erkennst.

$\mathbb{Q}=\left\{\frac ab;~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$

Wenn zum Beispiel heute Mittag die Temperatur bei 5,3°C lag und um 7,5°C gefallen ist bis zum Abend, dann rechnest du $5,3 - 7,5 = -2,2$. Die Temperatur am Abend beträgt also -2,2°C.

Rationale Zahlen am Zahlenstrahl

Um rationale Zahlen am Zahlenstrahl darzustellen, verwendest du den gleichen Zahlenstrahl, den du schon von den ganzen Zahlen kennst. Neu ist, dass unendlich viele rationale Zahlen zwischen zwei ganzen Zahlen liegen.

Hier kannst du an einem Zahlenstrahl Beispiele für rationale Zahlen sehen:

Zahlenstrahl.jpg

  • Jede natürliche Zahl ist eine rationale Zahl, zum Beispiel $11$.
  • Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl, zum Beispiel $-3$.
  • Jede positive rationale Zahl ist eine rationale Zahl, zum Beispiel $6,7$.

Darstellung der rationalen Zahlen

Rationale Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind, können als Bruchzahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden.

  • Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma, wie zum Beispiel $3,45$ oder $-2,6$.
  • Ein Bruch besteht aus einer ganzen Zahl im Zähler und einer natürlichen Zahl im Nenner.
  • Brüche und Dezimalzahlen kannst du einander umwandeln.

Jede Bruchzahl kann entweder als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen

$\frac14=0,25$

geschrieben werden oder als periodische Dezimalzahl

$-\frac13=-0,33333......=-0,\bar 3$

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