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Kommutativgesetz und Assoziativgesetz

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Rechenregeln zum Umformen von Termen

Sowohl das Kommutativgesetz als auch das Assoziativgesetz sind Regeln für das Umformen von Termen.

  • Der Name „Kommutativgesetz“ wird von dem lateinischen Verb „commutare“ für „vertauschen“ abgeleitet. Dieses Gesetz ist auch als Vertauschungsgesetz bekannt. Dieses Gesetz besagt, dass die Reihenfolge von Summanden in Summentermen und Faktoren in Produkttermen vertauscht werden kann.
  • Auf das lateinische Verb „associare“ für „verbinden“ geht der Name „Assoziativgesetz“ zurück. Du kannst dieses Gesetz auch als Verbindungsgesetz bezeichnen. Dieses Gesetz besagt, dass in Summentermen und in Produkttermen Klammern beliebig gesetzt oder auch weggelassen werden dürfen.

Das Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass die Reihenfolge beim Addieren vertauscht werden darf:

  • $2+3=3+2=5$
  • $13+24=24+13=37$

Wieso ist das so? Du kannst dir das so klarmachen:

Topic_KG__1.jpg

Bei 3 roten und 2 grünen Quadraten erkennst du, dass es egal ist, ob du zu den 3 roten Quadraten 2 grüne zufügst oder umgekehrt. Du erhältst beide Male 5 Quadrate.

Du kannst dir das auch an einem Zahlenstrahl klar machen:

Topic_KG__2.jpg

Wenn du zunächst 3 Schritte nach rechts gehst und dann noch einmal 2 Schritte, landest du bei insgesamt 5 Schritten nach rechts. Wenn du aber zunächst 2 Schritte nach rechts gehst und dann noch einmal 3 Schritte, bist du insgesamt ebenfalls 5 Schritte nach rechts gegangen.

Der mathematische Ausdruck für das Kommutativgesetz der Addition lautet:

$a+b=b+a$

Das Kommutativgesetz gilt auch für die Multiplikation:

  • $2\cdot 3=3\cdot2=6$
  • $12\cdot 4=4\cdot 12=48$

Auch dies kannst du dir anschaulich klar machen. Dafür betrachten wir wieder das obere der beiden Beispiele an einem Zahlenstrahl. Die beiden roten Pfeile stehen für $2\cdot 3$ und die drei grünen für $3\cdot 2$. Du siehst, das Ergebnis ist beide Male $6$.

Topic_KG•_1.jpg

Der Rechenausdruck sieht so ähnlich aus wie der bei der Addition. Das Operationszeichen ist diesmal ein Multiplikationszeichen.

$a\cdot b=b\cdot a$

Beachte: Das Kommutativgesetz gilt nicht bei der Subtraktion oder bei der Division, wie die folgenden Beispiele zeigen.

  • $4-2=2$ aber $2-4=-2$
  • $8:4=2$ aber $4:8=0,5$

Das Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz gilt ebenfalls für die Addition sowie für die Multiplikation.

$a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$

$a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Du kannst also die Summanden und Faktoren beliebig miteinander verbinden.

Hier siehst du wieder einige Beispiel für das Assoziativgesetz:

  • $3+2+5=(3+2)+5=5+5=10$ oder
  • $3+2+5=3+(2+5)=3+7=10$

  • $6\cdot 7\cdot 5=6\cdot(7\cdot 5)=6\cdot 35=210$ oder

  • $6\cdot 7\cdot 5=(6\cdot 7)\cdot 5=42\cdot 5=210$

Das obere Beispiel kannst du dir anschaulich an einem Zahlenstrahl vorstellen. Die beiden Pfeile, die auf der gleichen Höhe stehen, werden jeweils als Erstes gerechnet.

Topic_AG__1.jpg

Beachte: Auch das Assoziativgesetz gilt nicht bei der Subtraktion oder bei der Division.

Wie du geschickt mit dem Kommutativ- und Assoziativgesetz rechnen kannst.

Bei den letzten beiden Beispielen ist es vielleicht so, dass dir die eine Art zu rechnen vielleicht besser liegt als die andere. Bei einigen Aufgaben ist es jedoch sinnvoll, die beiden Rechenregeln zu verwenden, um geschickter zu rechnen.

Beispiel: $7+8+24+2+13+46$

Du könntest von links nach rechts rechnen:

$\begin{array}{rcl} 7+8+24+2+13+46&=&15+24+2+13+46\\ &=&39+2+13+46\\ &=&41+13+46\\ &=&54+46\\ &=&100\end{array}$

Durch die Überträge ist das Rechnen etwas kompliziert.

Du könntest auch wie folgt vorgehen:

  • Vertausche die Reihenfolge so, dass immer zwei Summanden hintereinander stehen, die addiert eine Zehnerzahl ergeben: $7+8+24+2+13+46=7+13+8+2+24+46$. Hierfür verwendest du das Kommutativgesetz.
  • Nun verbindest du die Summanden, die addiert eine Zehnerzahl ergeben: $7+13+8+2+24+46=(7+13)+(8+2)+(24+46)$. Dies ist das Assoziativgesetz.
  • Rechne die jeweiligen Summen in den Klammern aus: $(7+13)+(8+2)+(24+46)=20+10+50$.
  • Zuletzt kannst du noch die Zehnerzahlen addieren und erhältst $20+10+70=100$.

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