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Periodische und abbrechende Dezimalbrüche

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Dezimalbrüche

Der Begriff Dezimalbrüche ist nicht einheitlich definiert. In diesem Text wird zwischen Dezimalbrüchen in Kommaschreibweise und in Bruchschreibweise unterschieden. Bei der Bruchschreibweise wird oft auch von Brüchen gesprochen. Bei der Kommaschreibweise spricht man oft von Dezimalzahlen (bzw. umgangssprachlich von Kommazahlen). Genauer sind Dezimalzahlen allerdings alle Zahlen im Zehnersystem. Das ist das Zahlensystem, das du seit der Grundschule kennst. Also ist bspw. auch $3$ eine Dezimalzahl.

Umwandlung von der Bruchschreibweise in die Kommaschreibweise

Bei der Umwandlung von der Bruchschreibweise in die Kommaschreibweise gibt es zwei Fälle:

  • Der Bruch lässt sich als endlicher Dezimalbruch in Kommaschreibweise (auch abbrechender Dezimalbruch genannt) schreiben.
  • Der Bruch lässt sich als als periodischer Dezimalbruch in Kommaschreibweise darstellen.

Endliche oder abbrechende Dezimalbrüche

Bruch.jpg

Bei Brüchen wird die Zahl oberhalb des Bruchstriches (Zähler) durch die Zahl unterhalb des Bruchstriches (Nenner) dividiert (geteilt). Du könntest diesen Bruch also auch als Division schreiben. Du erhältst $4:10$. Mit Hilfe der schriftlichen Division kannst du die Kommaschreibweise eines Bruchs ermitteln. Bei Brüchen, die eine $10$, $100$, ... im Nenner haben kannst du eine Kommaverschiebung anwenden. Der Dezimalbruch in Kommaschreibweise lautet dann $0,4$.

Für alle anderen Brüche kannst du, wie gesagt, schriftlich dividieren. Hier siehst du ein Beispiel für eine schriftliche Division:

928_endender_Dezimalbruch.jpg

Wie du siehst, kannst du hier ohne Rest teilen. Der Dezimalbruch in Kommaschreibweise hat nur endlich viele Dezimalstellen. Alle Brüche, für die das zutrifft, gehören zur Gruppe der endlichen Dezimalbrüche. Hier siehst du weitere Beispiele:

  • $1:2=0,5$
  • $3:5=0,6$
  • $12:25=0,48$
  • $359:500=0,718$

Periodische Dezimalbrüche

Bei periodischen Dezimalbrüchen gibt es eine weitere Unterscheidung. Es gibt periodische Dezimalbrüche, bei denen in der Kommaschreibweise die Periode sofort hinter dem Komma startet. Dann sagt man auch rein-periodische Dezimalbrüche. Ein Beispiel für einen solchen Bruch ist $\frac{1}{3} = 0,33333... = 0,\overline{3}$. Im Folgenden siehst du ein Beispiel für einen Dezimalbruch, bei dem die Periode nicht unmittelbar nach dem Komma startet. Man spricht von gemischt-periodischen Dezimalbrüchen.

920_Bruch_1_klein.jpg

Auch bei diesem Bruch, wendest du die schriftliche Division an. Diese siehst du hier:

928_periodischer_Dezimalbruch_2.jpg

Im Gegensatz zu den abbrechenden Dezimalbrüchen passiert hier etwas Besonderes. Die Pfeile zeigen an, dass der Rest $8$ erneut auftaucht. Die Zahl $6$ taucht also im Ergebnis (hinter dem Gleichheitszeichen) auch immer wieder auf. Du könntest diesen Schritt unendlich oft durchführen und niemals würdest du den Rest $0$ herausbekommen. Die Schreibweise mit dem Strich über der $6$ bedeutet folgendes:

$5:12=0,416666...$

Eine Periode kann auch mehr als eine Ziffer umfassen, wie du an dem folgenden Beispiel sehen kannst:

928_periodischer_Dezimalbruch_3.jpg

Umwandlung von der Kommaschreibweise in die Bruchschreibweise

Wie du bereits weißt, sind Brüche und Dezimalbrüche in Kommaschreibweise nur zwei unterschiedliche Darstellungen der gleichen Zahl. Dementsprechend kannst du auch von der Kommazahl in die Bruchschreibweise umwandeln.

Umwandeln von endlichen Dezimalbrüchen in Brüche

Die Dezimalzahlen eines Dezimalbruches sind

  • an der ersten Stelle hinter dem Komma die Zehntel,
  • dann die Hundertstel,
  • dann die Tausendstel...

Das bedeutet, du kannst jeden endlichen Dezimalbruch als Bruch schreiben, indem du

  • die Dezimalzahlen zählst und
  • die Ziffern ohne Komma durch $10...0$ mit ebenso vielen Nullen wie Dezimalstellen dividierst.
  • Die resultierenden Brüche kannst du gegebenenfalls noch kürzen.

Hier siehst du zwei Beispiele:

  • $0,75=\frac{75}{100}=\frac{75:25}{100:25}=\frac34$
  • $0,234=\frac{234}{1000}=\frac{234:2}{1000:2}=\frac{117}{500}$

Umwandeln von periodischen Dezimalbrüchen in Brüche

Du kannst auch periodische Dezimalbrüche in Brüche umwandeln.

Bei rein-periodischen Dezimalbrüchen dividierst du die Ziffern der Periode durch $9...9$ mit so vielen $9$-en wie die Anzahl der Ziffern der Periode. Um das besser zu verstehen, kannst du das mit den obigen beiden Zahlen üben:

  • $0,\overline{37}=\frac{37}{99}$
  • $0,\overline{6}=\frac69=\frac23$

Der Vorteil der Bruchdarstellung ist, dass du besser genau mit ihnen rechnen kannst. Das siehst du hier:

$0,\overline{37}+0,\overline{6} =\frac{37}{99}+\frac23=\frac{37}{99}+\frac{66}{99}=\frac{103}{99}$

Natürlich kannst du auch gemischt-periodische Dezimalbrüche in Brüche umwandeln:

$0,1\overline{6}=\frac1{10}+\frac{6}{90}=\frac3{30}+\frac2{30}=\frac{5}{30}=\frac16$