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Was ist ein Bruch?

Die Bedeutung von Brüchen kannst du dir am besten an einem Beispiel klar machen: Monika, Marvin und Leon teilen einen Apfel in drei gleich große Stücke.

2994_Apfel.jpg

Jedes Stück entspricht dann einem Drittel des Apfels. Das kannst du so schreiben:

912_Bruch_1.jpg

Ein Bruch setzt sich immer aus den gleichen Bestandteilen zusammen: oben eine Zahl, dann ein Strich und unter dem Strich wieder eine Zahl.

  • Den Strich nennen wir Bruchstrich. Er steht für das Divisionszeichen.
  • Die Zahl unter dem Bruchstrich ist der Nenner. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wurde. Hier ist der Nenner $3$, also sprechen wir von „Dritteln“.
  • Die Zahl über dem Bruchstrich heißt Zähler. Sie gibt an, wie viele Teile jeder der Freunde bekommt. Hier sagt die Zahl $1$ im Zähler, dass jeder ein Drittel vom Apfel bekommt.

Gemeine Brüche

Ein Bruch wie $\frac13$ wird auch als gemeiner Bruch bezeichnet. Das bedeutet nicht, dass der Bruch ausgesprochen unsympathisch ist, sondern dass dies die allgemeine Schreibweise ist: Zähler durch Nenner.

Gemischte Brüche

Gemischte Brüche setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem gemeinen Bruch zusammen. Dies können wir uns an diesem Bild klar machen. Dabei steht ein rotes Rechteck für ein Drittel:

2994_gemischter_Bruch_anschaulich.jpg

Drei solcher Rechtecke sind also drei Drittel. Das ist ein Ganzes. Im Bild sind immer drei Drittel zu einem Ganzen gebündelt.

Wir sehen also drei Ganze und ein Drittel, also noch ein einzelnes Rechteck.

Für drei Ganze und ein Drittel kannst du einen gemischten Bruch verwenden: $3\frac13$

Was ist ein Dezimalbruch?

Ein Dezimalbruch oder Zehnerbruch ist ein spezieller Bruch. Bei diesem steht im Nenner eine Zehnerpotenz. Was ist denn das?

Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz, bei der die Zahl $10$ in der Basis steht: $10^n$. Bei Dezimalbrüchen ist $n$ eine natürliche Zahl:

$\begin{array}{cccc} 10^1&=&10&~&10^4&=&10000&~\\ 10^2&=&100&~&10^5&=&100000&~\\ 10^3&=&1000 &~&10^6&=&1000000&~ \end{array}$

Eine Zehnerpotenz $10^n$ ist also eine $1$ mit $n$ Nullen ist.

Ein solcher Dezimalbruch lässt sich gut als Dezimalzahl schreiben. Hierfür verwendest du das Stellenwertsystem. Ein Beispiel:

$\frac2{100}=0,02$

Die zweite Stelle hinter dem Komma wird als Hundertstel bezeichnet.

Nun wollen wir uns anschauen, wie gemeine oder gemischte Brüche in Dezimalzahlen umgewandelt werden.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Umwandeln von gemeinen Brüchen in Dezimalzahlen

Angenommen, du möchtest wissen, wie der Bruch $\frac12$ als Dezimalzahl aussieht:

Dafür schreiben wir $\frac12$ zunächst als Dezimalbruch: Wir erweitern den Bruch so, dass im Nenner eine Zehnerpotenz (also $10$, $100$, ...) steht. Wir müssen $2$ mit $5$ multiplizieren, um auf $10$ zu kommen.

Wir dürfen aber nicht einfach so den Nenner mit einer Zahl multiplizieren. Das geht nur, wenn wir gleichzeitig auch den Zähler mit derselben Zahl multiplizieren. Dies nennt man Erweitern. In diesem Fall erweitern wir mit der Zahl $5$. Der Wert des Bruchs verändert sich dabei nicht. Wir erhalten den Dezimalbruch also folgendermaßen:

$\frac12=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{5}{10}$

Zuletzt kannst du den Dezimalbruch als Dezimalzahl schreiben: $\frac12=\frac{5}{10}=0,5$.

Wir üben das Umwandeln von gemeinen Brüchen in Dezimalzahlen an weiteren Beispielen:

  • $\frac18=\frac{1\cdot 125}{8\cdot 125}=\frac{125}{1000}=0,125$
  • $\frac1{25}=\frac{1\cdot 4}{25\cdot 4}=\frac{4}{100}=0,04$

Umwandeln von gemischten Brüchen in Dezimalzahlen

Schauen wir uns den gemischten Bruch $2\frac12$ an.

Wir schreiben den gemischten Bruch zunächst als gemeinen Bruch. $2\frac12$ sind $2$ Ganze und ein Halbes. Zwei Ganze sind vier Halbe, also schreiben wir:

$2\frac12=\frac42+\frac12=\frac52$

Nun kannst du so weiter machen wie bei gemeinen Brüchen:

$\frac52=\frac{5\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{25}{10}=2,5$

Sonderfall: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Vielleicht bist du schon einmal über den Bruch $\frac13$ gestolpert. Der Bruch $\frac13$ lässt sich nicht durch Erweitern in einen Dezimalbruch umwandeln. Hier musst du schriftlich dividieren:

$\frac13=1:3=0,3333...=0,\bar 3$

Eine solche Dezimalzahl wird auch periodische Dezimalzahl genannt.

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Umgekehrt kannst du auch Dezimalzahlen in Brüche umwandeln.

Dezimalzahlen kleiner als $1$

Wir schauen uns zuerst abbrechende Dezimalzahlen kleiner $1$ an. Abbrechende Dezimalzahlen sind Dezimalzahlen, die eine begrenzte Anzahl von Nachkommastellen haben. Beispiele sind $0,3$ oder $0,75$ oder $0,12$.

Du schreibst die Dezimalzahl immer zuerst als Zehnerbruch. Dazu untersuchen wir, wie viele Nachkommastellen unsere Zahl besitzt: Genauso viele Nullen hat dann die Zehnerpotenz im Nenner unseres Zehnerbruchs. Die Ziffern der Dezimalzahl können wir direkt in den Zähler übertragen.

Das üben wir an zwei Beispielen:

Die Dezimalzahl $0,3$ hat eine Nachkommastelle. Die Zehnerpotenz im Nenner hat also eine $0$. Wenn wir nun die Ziffern aus der Dezimalzahl in den Zehnerbruch übertragen, erhalten wir $0,3=\frac3{10}$. Diesen Bruch kannst du nicht vereinfachen.

$0,75$ hat zwei Nachkommastellen. Die letzte Nachkommastelle beschreibt die Hundertstel; entsprechend stehen im Nenner unseres Bruchs Hundertstel. Die beiden Nachkommastellen können wir einfach in den Zähler übertragen:

$0,75=\frac{75}{100}=\frac{75:25}{100:25}=\frac34$

Im zweiten Schritt haben wir mit $25$ gekürzt.

Dezimalzahlen größer als $1$

Eine abbrechende Dezimalzahl, die größer als $1$ ist, lässt sich als gemischten Bruch schreiben. Du schreibst die Dezimalzahl erst einmal als gemeinen Bruch und wandelst diesen dann in einen gemischten Bruch um.

Das üben wir einmal mit der Dezimalzahl $3,5$:

$3,5=\frac{35}{10}=\frac{35:5}{10:5}=\frac72$

Der Bruch $\frac72$ lässt sich so schreiben:

$\frac72=\frac62+\frac12=3+\frac12=3\frac12$

Periodische Dezimalzahlen

Nun bleiben noch die periodischen Dezimalzahlen. Wenn du eine periodische Zahl als Bruch schreiben möchtest, gehst du wie folgt vor:

  • Schreibe in den Zähler die Ziffern der Periode.
  • In den Nenner schreibst du ebenso viele Neunen wie die Anzahl der Ziffern in der Periode.
  • Gegebenenfalls kannst du den Bruch noch kürzen.

Um das zu üben, schauen wir uns das Beispiel $0,15151515...=0,\bar{15}$ an:

  • Hier sind die Ziffern der Periode die $1$ und die $5$, also $15$. Wir schreiben also $15$ in den Zähler unseres Bruchs.
  • Wenn du die Ziffern der Periode $15$ zählst, kommst du auf $2$ Stellen. Das heißt, du schreibst zwei Neunen in den Nenner des Bruchs: $0,\bar{15}=\frac{15}{99}=\frac{15:3}{99:3}=\frac5{33}$

Eine Anwendungsaufgabe

Aylin geht mit ihrem kleinen Bruder einkaufen. Sie brauchen heute mehrere Packungen Mehl:

  • für einen Kuchen $0,5~kg$
  • für Brot $2\frac12~kg$
  • für Pizza $200~g$

Sie möchte nun wissen, wie viel Mehl sie insgesamt einkaufen muss. Hierfür muss sie alle Angaben entweder als Bruch oder als Dezimalzahl schreiben. Sie muss übrigens auch noch auf die Maßeinheiten achten. Sie rechnet alles in $kg$ um und verwendet Dezimalzahlen.

  • Kuchen: $0,5~kg$ ✓
  • Brot: $2\frac12~kg=\frac42~kg+\frac12~kg=\frac52~kg=\frac{5\cdot 5}{2\cdot 5}~kg=\frac{25}{10}~kg=2,5~kg$
  • Pizza: $100~g=\frac1{10}~kg$, also $200~g=\frac2{10}~kg=0,2~kg$

Insgesamt muss Aylin somit $0,5~kg+2,5~kg+0,2~kg=3,2~kg$ Mehl einkaufen. Wenn zuhause noch $0,2~kg$ Mehl vorhanden sind, muss sie drei Tüten mit jeweils $1~kg$ Mehl einkaufen.