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Zehnerpotenzen – Komma verschieben (9)

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Martin Wabnik
Zehnerpotenzen – Komma verschieben (9)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Zehnerpotenzen – Komma verschieben (9)

Herzlich willkommen zu meinem neunten und letzten Video zur Kommaverschiebungsregel mit dem Namen „ Zehnerpotenzen - Komma verschieben “. Die Kommaverschiebungsregel dient übrigens auch dazu lange Zahlen, kürzer darzustellen. Die Zahl 38.020.000.000 ist beispielsweise sehr lang. Mit dem, was du in den letzten Videos gelernt hast, könnten wir die Zahl mit Hilfe von Zehnerpotenzen einfacher darstellen. Wir wollen in diesem Video also aus 38.020.000.000 eine 3,802 • 10^? Machen. Im Exponenten der Zehnerpotenz steht jetzt noch ein Fragezeichen. Wie man den Exponenten erhält, zeig ich dir jetzt im Video!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Danke habe es verstanden.Gutttttt ist der loot

    Von Fam Kuehl, vor mehr als 2 Jahren

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (9) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zehnerpotenzen – Komma verschieben (9) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie man die angegebene Zahl in Form einer Zehnerpotenz schreiben kann.

    Tipps

    Du kannst auch prüfen, um wie viele Stellen das Komma nach links verschoben wird.

    Zähle die Anzahl der Stellen hinter der führenden $3$.

    Die Darstellung einer Zahl in der Form:

    Zahl – Komma – Zahl ... Zahl mal $10$ hoch Exponent

    nennt man auch wissenschaftliche Schreibweise.

    Lösung

    Sehr große und auch sehr kleine Zahlen lassen sich in einer etwas kürzeren Form schreiben.

    Wenn man sich zum Beispiel die Zahl

    $38020000000$

    anschaut, dann ist diese Zahl schon recht kompliziert zu lesen.

    Diese kann auch in der Form $3,802\cdot 10^?$ schreiben. Das bedeutet, dass

    • die $3$ an der Einerposition steht und
    • die $8$ an der ersten,
    • die $0$ an der zweiten und die
    • die $2$ an der dritten Stelle hinter dem Komma.
    Was steht nun im Exponenten?

    Man denkt sich ganz am Ende der obigen Zahl ein Komma:

    $38020000000,0$

    und schaut, wie weit dieses Komma nach links verschoben werden muss, das ist dann die Zahl im Exponenten:

    • eine Stelle $3802000000,0\cdot 10^1$
    • zwei Stellen $380200000,00\cdot 10^2$
    • ...
    • zehn Stellen $3,8020000000\cdot 10^{10}=3,802\cdot 10^{10}$. Die Nullen hinter der $2$ lässt man weg.

  • Beschreibe, um wie viele Stellen das Komma verschoben werden muss.

    Tipps

    Vor das Komma in der Zehnerpotenzschreibweise gehört eine Zahl ungleich $0$.

    Die oben dargestellte Zahl ist eine Dezimalzahl. Man nennt diese auch eine Kommazahl.

    Beachte, dass der Exponent negativ sein muss.

    Lösung

    Kleine Zahlen können auch als Zehnerpotenzen geschrieben werden. Zum Beispiel:

    $0,00000000665$

    soll geschrieben werden als

    $6,65\cdot 10^?$.

    Was gehört in den Exponenten?

    Hierfür zählt man, um wieviele Stellen das Komma von

    $0,00000000665$

    zu

    $6,65\cdot 10^?$

    nach rechts verschoben werden muss.

    Dies sind neun Stellen. Da das Komma nach rechts verschoben wird, also eine Zahl mit ganz vielen Nullen hinter dem Komma geschrieben wird als

    Zahl, Zahl...Zahl $\cdot $ $10$ hoch Exponent,

    ist der fehlende Exponent negativ:

    $0,00000000665=6,65\cdot 10^{-9}$.

  • Prüfe die folgenden Darstellungen der Zahlen.

    Tipps

    Du kannst entweder schauen, um wie viele Stellen das Komma verschoben wird, oder die Anzahl der Stellen hinter dem Komma bei kleinen Zahlen, beziehungsweise die Anzahl der Stellen hinter der führenden Zahl bei großen Zahlen, zählen.

    Es genügt nicht, so viele Nullen anzuhängen wie die Zahl im Exponenten.

    Schreibe $3,141\cdot 10^3$ als

    $3,141\cdot 10\cdot 10\cdot10$.

    Jedes Multiplizieren mit $10$ verschiebt das Komma um eine Stelle nach rechts:

    $3,141\cdot 10\cdot 10\cdot10=31,41\cdot 10\cdot 10=314,1\cdot 10=3141$.

    Wenn weiter mit $10$ multipliziert wird, werden weitere Nullen (ohne Komma) zugefügt.

    Lösung

    Taschenrechner geben sehr große oder auch sehr kleine Zahlen in der wissenschaftlichen Schreibweise an. Dann muss man sich überlegen, welche Zahl nun gemeint ist.

    Die wissenschaftliche Schreibweise ist die Schreibweise, welche in diesem Video dargestellt wird. Das bedeutet jede Zahl wird in der Form

    $a,bcd...\cdot 10^{\text{Exp}}$

    geschrieben. Dabei ist

    • die $a$ auf der Einerposition eine Zahl ungleich $0$, sie kann auch negativ sein.
    • Sind $b$, $c$, $d$ ... weitere Zahlen, dann können auch Nullen dabei sein
    • und Exp der Exponent der Zehnerpotenz. Dieser ist bei sehr großen (kleinen) Zahlen positiv (negativ).
    1. $1,234\cdot 10^{-4}=0,0001234$. Die führende $1$ steht an der vierten Stelle hinter dem Komma.
    2. $1,234\cdot 10^{-6}=0,000001234$. Die führende $1$ steht an der sechsten Stelle hinter dem Komma.
    3. $1,234\cdot 10^4=12340,0=12340$. Hinter der führenden $1$ kommen noch vier weitere Stellen.
    4. $1,234\cdot 10^6=1234000,0=1234000$. Hinter der führenden $1$ kommen noch sechs weitere Stellen.

  • Bestimme die jeweils zugehörige Zehnerpotenzschreibweise.

    Tipps

    Beachte:

    • Bei sehr großen Zahlen ist der Exponent der Zehnerpotenz positiv und
    • bei sehr kleinen Zahlen negativ.

    Du kannst bei sehr kleinen Zahlen zählen, an der wievielten Stelle hinter dem Komma die erste Zahl ungleich $0$ kommt. Diese Zahl gehört dann, mit einem Minus als Vorzeichen, in den Exponenten.

    Bei sehr großen Zahlen zählst du wie viele Zahlen noch hinter der führenden Zahl folgen.

    Diese Zahl gehört mit positivem Vorzeichen in den Exponenten.

    Beachte, dass auf der vor dem Komma eine Zahl zwischen $1$ und $9$ steht (gegebenenfalls auch zwischen $-9$ und $-1$).

    Lösung

    Jede beliebige Zahl kann in der Zehnerpotenzschreibweise dargestellt werden. Dies ist nicht immer sinnvoll, so würde man zum Beispiel die natürliche Zahl $4$ nicht in der Form $4,0\cdot 10^0$ schreiben.

    Es gibt jedoch an dem Taschenrechner oft eine Einstellung, welche die ausschließliche Darstellung in dieser Form nach sich zieht.

    Eine solche Darstellung ist jedoch sehr wohl sinnvoll, wenn es um sehr große Zahlen geht oder um sehr kleine. Diese lassen sich dann nicht mehr auf dem Taschenrechner darstellen, da die Anzahl der Stellen zu groß ist.

    1. $141000$: Zunächst schreibt man die führenden Zahlen hin, bis nur noch Nullen folgen: $1,41$. Nun zählt man, wie weit das Komma von rechts $141000,0$ nach links $1,41\cdot 10^?$ verschoben werden muss: $5$. Alternativ kann man auch zählen, wie viele Stellen auf die führende $1$ folgen: $4$, $1$ und drei Nullen, also $5$. Somit ist $141000=1,41\cdot 10^{5}$.
    2. $0,0000141$. Hier handelt es sich um eine sehr kleine Zahl, der Exponent wird negativ sein. Auch in diesem Beispiel wird zunächst $1,41$ aufgeschrieben. Um wie viele Stellen wird das Komma nach rechts verschoben? Richtig: $5$. Alternativ kann hier man zählen, an der wievielten Stelle hinter dem Komma die führende $1$ steht. Dies ist die fünfte Stelle. Somit ist $0,0000141=1,41\cdot 10^{-5}$.
    3. $173000000=1,73\cdot 10^{8}$. Die Argumentation verläuft analog zu der in 1.
    4. $0,0000000173=1,73\cdot 10^{-8}$. Die Argumentation verläuft analog zu der in 2.
  • Fasse die Erklärung zur Zehnerpotenzschreibweise zusammen.

    Tipps

    Zum Beispiel:

    $31410000000000=3,141\cdot 10^{13}$.

    Im Exponenten steht die Anzahl der Zahlen, welche auf die $3$ folgen. Prüfe dies mal!

    Ein Beispiel für eine sehr kleine Zahl:

    $0,00000000003141=3,141\cdot 10^{-11}$.

    Übrigens: Bei dem Beispiel der sehr kleinen Zahl steht die $3$ an der elften Stelle hinter dem Komma.

    Du kannst dir den jeweiligen Exponenten auch daran klarmachen, um wie viele Stellen du das Komma verschieben musst.

    Lösung

    Eine sehr große Zahl ist eine Zahl, welche mit einer beliebigen Zahl ungleich $0$ beginnt, und danach folgen weitere Zahlen, gegebenenfalls irgendwann viele Nullen.

    Zum Beispiel:

    $31410000000000$.

    Ein kleine Zahl ist eine Zahl, welche auf der Einerposition eine $0$ hat, dann folgt ein Komma, weitere Nullen und dann eine Zahl ungleich $0$, gegebenenfalls noch weitere Zahlen.

    Zum Beispiel:

    $0,00000000003141$.

    Solche Zahlen lassen sich in der Form

    $3,141\cdot 10^?$

    schreiben. Nun muss man sich jeweils überlegen, welche Zahl in den Exponenten gehört.

    Man kann sich zunächst das Vorzeichen anschauen:

    • Bei sehr großen Zahlen, steht im Exponenten eine positive ganze Zahl und
    • bei sehr kleinen Zahlen eine negative ganze Zahl.
    Nur welche Zahl gehört dort hin?

    Hierfür zählt man, um wie viele Stellen das Komma

    • nach links bei sehr großen Zahlen und
    • nach rechts bei sehr kleinen Zahlen verschoben werden muss:
    $31410000000000=3,141\cdot 10^{13}$.

    Man kann auch alternativ die Stellen zählen, welche nach der führenden $3$ folgen:

    $0,00000000003141=3,141\cdot 10^{-11}$

    Übrigens: In der Zahl links steht die $3$ an der elften Position hinter dem Komma.

  • Erkläre, wie die Angaben in anderen Einheiten geschrieben werden können.

    Tipps

    Wenn die Zahl in eine kleinere Einheit umgerechnet wird, erhältst du einen positiven Exponenten.

    Wenn in eine größere Einheit umgerechnet wird, bekommt man einen negativen Exponenten.

    Die Zahl vor $\cdot 10^?$ ist eine Zahl mit einer Einerposition sowie einer oder mehreren Stellen hinter dem Komma.

    Lösung

    Das ist gut, dass Paul auch die womöglich langweilige $850~km$ lange Strecke zum Üben nutzt.

    $850~km$ sind $850\cdot 1000\cdot 100~cm=85000000~cm$. Zählt man die Stellen nach der $8$, so sieht man, dass noch sieben Stellen folgen, also lässt sich diese Zahl schreiben als $8,5\cdot 10^7$.

    Die $22,45~€$, welche die Familie an der Raststätte ausgegeben hat, entspricht $22,45\cdot 100~ct=2245~ct=2,245\cdot 10^3~ct$.

    Sicherlich rechnet man das Gewicht eines Menschen nicht unbedingt in Tonnen um; nur möchte Paul ja üben, dann ist es auch gut, mal in größere Einheiten umzurechnen:

    $26700~g=26,7~kg=0,0267~t=2,67\cdot 10^{-2}~t$.

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