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Zehnerpotenzen – Komma verschieben (1) 05:35 min

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Transkript Zehnerpotenzen – Komma verschieben (1)

Hallo! Wenn man, ja hier steht, noch gar nichts, wenn man Zahlen mit 10 multipliziert, insbesondere Kommazahlen mit 10 oder einer 10er Potenz multipliziert, dann braucht man das nicht richtig auszurechnen, sondern einfach nur das Komma zu verschieben. Das ist eine Regel, die sich ergibt aufgrund der Rechnungen und unseres Stellenwertsystems, so wie wir es haben. Führt aber oft dazu, dass die Schüler auf diese Regel stürzen und sagen, schön, dann muss ich ja nur das Komma verschieben und sich nicht richtig überlegen, warum ist das eigentlich so. Hinterher verschieben sich lauter Kommata irgendwo hin, allen wird schwindelig, keiner weiß mehr bescheid und die Mathematik geht baden. Das kann natürlich nicht sein! Ich bin dagegen und deshalb erkläre ich das jetzt. Diese Erklärung ist relativ simpel. Man muss sie sich aber einmal überlegen. Das heißt für dich, es wird hier jetzt einmal stinklangweilig, weil ich alles ganz genau erklären werde. Folgendes passiert: Wir haben eine Zahl z.B. die 1,783 und möchten die mit 10 multiplizieren. Dann können wir uns einmal überlegen, was bedeuten denn hier diese Stellen eigentlich? Wir haben vor dem Komma die Einerstelle mit einem großen E hier. Dann kommt da ein Komma und dann kommt ein kleines z, das bedeutet die Zehntelstelle. Danach kommt ein kleines h, das ist die Hundertstelstelle und dann kommt ein kleines t, das ist die Tausendstelstelle. Vor dem Komma könnten wir natürlich noch weitere Zahlen haben, da haben wir dann die Zehner mit einem großen Z hier und dann die Hunderter und die Tausender und so weiter. Das passt jetzt nicht mehr auf die Tafel, aber das macht nichts. Wenn wir jetzt diese Zahl mit 10 multiplizieren, diese 1,783, dann können wir das Summandweise machen. Diese Zahl setzt sich ja zusammen aus einem Einer+7/10+8/100+3/1000 und wenn ich jetzt die ganze Zahl mit 10 multipliziere, kann ich auch die Einer, die Zehntel, die Hundertstel und die Tausendstel getrennt voneinander alle mit 10 multiplizieren. Und das werde ich jetzt auch mal machen. Wenn man die 1 mit 10 multipliziert, erhält man 10. Das ist kein großes Geheimnis, weil wir das Stellenwertsystem haben kommt, diese 10 hier auf diese Zehnerstelle. Wenn man 7/10 mit 10 multipliziert, was kommt daraus? Ich mache hier eine Nebenrechnung, ausführlicher geht es nicht. Wir haben 7/10×10, dann können wir also eine 10 kürzen und herauskommt die 7. Die 7 kommt jetzt auf die Einerstelle, dann kommt das Komma, denn danach wird ja gleich die Zehntelstelle kommen. Wir haben hier 8/100. Wenn wir 8/100 10 multiplizieren, was wird da wohl rauskommen? 8/100 kann man als Bruch schreiben, das sind 8/100. Wenn wir mit 10 multiplizieren können wir ×10 in den Zähler schreiben und wir können eine 10 kürzen, denn 100 besteht ja aus 10×10, das schreibe ich nicht noch mal auf, das weißt du jetzt und weil 100=10×10, können wir eine 10 kürzen. 8/10 bleiben also übrig und dann kann ich hier auf diese Zehntelstelle die 8 schreiben. Ja, das geht ein bisschen auseinander hier jetzt. Das ist aber nicht nicht so schlimm. Außerdem kann ich noch die 3/1000, das mache ich jetzt nicht mehr als Nebenrechnung. Diese 3/1000 kann ich auch noch mit 10 multiplizieren, wenn man das als Bruch schreibt, hat man 1000stel im Nenner und 3×10 im Zähler. Eine 10 kann man kürzen, 3/100 bleiben übrig. Die kommt hier hin und auf der Tausendstelstelle steht überhaupt nichts, das ist nun mal so. Wenn man jetzt diese beiden Zahlen hier vergleicht, 1,783 und 17,83, stellt man fest, dass sich von hier nach da also nur das Komma verschoben hat. Wir haben also mit 10 multipliziert und das Komma hat sich quasi um eine Stelle nach rechts verschoben und ich glaube, es ist klar, dass das auch für andere Zahlen gilt. Wenn ich hier andere Ziffern hinschreibe, dann gilt das natürlich genauso. Denn ich hab hier immer mit 10 gekürzt und was hier für eine Zahl davorsteht, ist ja völlig egal. Das funktioniert also mit allen Zahlen. Wir können also festhalten: Wenn wir eine Zahl, also eine Kommazahl, mit 10 multiplizieren, brauchen wir die Rechnung nicht so ausführlich machen, wie ich sie hier vorgemacht habe. Es das Komma um eine Stelle nach rechts zu verschieben. Wie man sonst noch verschieben kann, kommt in den nächsten Filmen. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss!

2 Kommentare
  1. Der Anfang war sehr unterhaltsam und der Rest lehrreich

    Von Eicker01, vor 3 Monaten
  2. ich finde das video und die nächsten zwar ok aber ich finde es auch nicht gut das es pro thema immer so viele videos sind trotzdem danke :D

    Von Susannewetzel, vor mehr als 4 Jahren

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zehnerpotenzen – Komma verschieben (1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie die Multiplikation einer Dezimalzahl mit $10$ vereinfacht werden kann.

    Tipps

    Es ist zum Beispiel

    $1,783\cdot 10=17,83$.

    Du kannst dir eine Dezimalzahl

    • vor dem Komma als Einer (E), Zehner (Z), Hunderter (H), ...
    • und hinter dem Komma als Zehntel (z), Hundertstel (h), ...
    merken.

    Wenn du ein Hundertstel mit $10$ multiplizierst, erhältst du ein Zehntel.

    Lösung

    Wenn man mit $10$ multipliziert, wird das Komma um eine Stelle nach rechts verschoben.

    Dies ist in dem Video an dem Beispiel $1,783\cdot 10=17,83$ zu sehen.

    Wie kann man sich dies klarmachen?

    Die Stellen hinter dem Komma sind die Zehntel (z), Hundertstel (h), ...

    • Wenn man ein Zehntel (z), erste Stelle hinter dem Komma, mit $10$ multipliziert, erhält man ein Einer (E). Dies ist die erste Stelle vor dem Komma.
    • Wenn man ein Hundertstel (h), zweite Stelle hinter dem Komma, mit $10$ multipliziert, erhält man ein Zehntel (z). Dies ist die erste Stelle nach dem Komma.
    • ...

  • Gib an, welcher Stelle die jeweilige Ziffer in der Dezimalzahl entspricht.

    Tipps

    Vor dem Komma stehen die Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, ...

    Hinter dem Komma stehen die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, ...

    Die erste Stelle vor dem Komma ist die Einerstelle.

    Lösung

    Die Dezimalzahl $1,783$ soll mit $10$ multipliziert werden. In dieser Dezimalzahl steht

    • die $1$ an der Einerstelle,
    • die $7$ an der Zehntelstelle,
    • die $8$ an der Hundertstelstelle und
    • die $3$ an der Tausendstelstelle.
    Allgemein sieht eine Dezimalzahl wie folgt aus:

    $....T H Z E , z h t ...$,

    dabei steht

    • ... $T$ für Tausender, $H$ für Hunderter, $Z$ für Zehner, $E$ für Einer und
    • $z$ für Zehntel, $h$ für Hundertstel, $t$ für Tausendstel ...

  • Berechne das Produkt.

    Tipps

    Schreibe $1,783$ als Summand der Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel.

    Multipliziere nun jede Stelle mit $10$.

    Zum Beispiel ist $\frac9{10000}\cdot 10 =\frac9{1000}$.

    Vor der Multiplikation stand die $9$ an der fünften, der Zehntausendstelstelle, und nach der Multiplikation an der vierten, der Tausendstelstelle, Stelle hinter dem Komma.

    Die Zahlen werden jeweils um eine Stelle nach links verschoben.

    Lösung

    Es soll $1,783$ mit $10$ multipliziert werden.

    $1,783$ setzt sich zusammen aus den Summanden $1$ Einer, $7$ Zehntel, $8$ Hundertstel und $3$ Tausendstel. Also kann die Summe mit $10$ multipliziert werden:

    • $1\cdot 10=10$. Das bedeutet, die $1$ kommt auf die Zehnerstelle.
    • $\frac 7{10}\cdot 10=7$. Die $7$ kommt also auf die Einerstelle.
    • $\frac 8{100}\cdot 10=\frac8{10}$. Die $8$ kommt also auf die Zehntelstelle.
    • $\frac 3{1000}\cdot 10=\frac3{100}$. Die $3$ kommt also auf die Hundertstelstelle.
    Insgesamt lautet das Ergebnis: $17,83$.

  • Ordne der jeweiligen Multiplikation oder Division das Ergebnis zu.

    Tipps

    Schreibe die Zahlen ganz auf und runde nicht.

    Bei der Division durch eine Zehnerpotenz wird die Zahl kleiner – wohin muss also das Komma verschoben werden?

    Wie weit das Komma verschoben werden muss, erkennst du an der Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz.

    Wenn hinter dem Komma nach dem Verschieben nichts mehr steht, kann man es weglassen.

    Lösung

    Wird mit einer Zehnerpotenz multipliziert, so wird das Komma nach rechts verschoben. Dies geschieht eben so weit wie die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz.

    Wird durch eine Zehnerpotenz dividiert, so wird das Komma nach links verschoben. Dies geschieht eben so weit wie die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz.

    $0,0437\cdot 1000=43,7$. Das Komma wird um drei Stellen nach rechts verschoben.
    $2,5101965:100=0,025101965$. Das Komma wird um zwei Stellen nach links verschoben.
    $30,0714\cdot10000=300714$. Das Komma wird um vier Stellen nach rechts verschoben. Da hinter dem Komma dann nichts mehr steht, kann man es auch weglassen.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Die Multiplikation einer Dezimalzahl mit $10$ führt zu einer Verschiebung des Kommas um eine Stelle nach rechts. Mache dir klar, welcher Verschiebung der Stellen dies entspricht.

    Zum Beispiel ist $8,79\cdot 10=87,9$.

    Wenn du $3$ Zehntel mit $100$ multiplizierst

    $\frac3{10}\cdot 100=30$,

    kommt die $3$ von der Zehntelstelle auf die Zehnerstelle.

    Zum Beispiel ist $1,2345\cdot 100=123,45$.

    Lösung

    Die Aussage, dass beim Multiplizieren einer Dezimalzahl mit $10$ das Komma um eine Stelle verschoben werden kann, kann auch so verstanden werden, dass jede Stelle um eins nach links verschoben wird:

    • Die Einer werden zu den Zehnern, die Zehner zu den Hundertern, ...
    • die Zehntel werden zu den Einern, die Hundertstel zu den Zehnteln, ...
    Diese Aussage kann auch erweitert werden auf die Multiplikation mit höheren Zehnerpotenzen:

    Die Multiplikation einer Dezimalzahl mit $10^n$ führt dazu, dass das Komma um $n$ Stellen nach rechts verschoben wird. Also wird bei der Multiplikation mit $100$ das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben.

    Zum Beispiel ist

    $1,2345\cdot 10^4=123345,0=12345$

    oder

    $1,2345\cdot 10^5=123450,0=123450$.

    Da nicht so viele Nachkommastellen vorhanden sind, um welche das Komma verschoben werden könnte, werden entsprechend viele Nullstellen hinzugefügt.

    Umgekehrt wird bei der Division einer Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz um entsprechend viele Stellen nach links verschoben. Das bedeutet, dass bei der Division durch $10$ das Komma um eine Stelle nach links verschoben wird.

  • Ermittle das jeweilige Produkt.

    Tipps

    Merke dir: Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit $10$ wird das Komma um eine Stelle nach rechts verschoben.

    Merke dir: Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit $100$ wird das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben.

    Merke dir: Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit $10...0$ wird das Komma um ebensoviele Stellen nach rechts verschoben wie die Anzahl der Nullen.

    Wenn du das Komma nicht mehr verschieben kannst, kannst du Nullen hinter der Zahl einfügen. Zum Beispiel

    $1,2\cdot 100=120$.

    Lösung

    Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen kann man sich merken, dass das Komma ebensoviele Stellen nach rechts verschoben wird wie die Zahl im Exponenten. Die Zahl im Exponenten ist auch die Zahl der Nullen, wenn die Zehnerpotenz ausgeschrieben wird: $10^6=1000000$.

    • $3,1415\cdot 10=31,415$
    • $3,1415\cdot 1000=3141,5$
    • $2,71828\cdot 10=27,1828$
    • $2,71828\cdot 100=271,828$
    • $2,71828\cdot 10^6=2718280$