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Welche Äquivalenzumformungen gibt es? 08:37 min

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Transkript Welche Äquivalenzumformungen gibt es?

Hallo, wenn Du weißt, was Äquivalenzumformungen sind, dann können wir uns jetzt mal ansehen, welche Äquivalenzumformungen in der Schule eine Rolle spielen. Dazu schreiben wir die erstmal auf und dann schauen wir uns Beispiele dazu an und am Ende des Videos können wir uns noch was zu den Begründungen überlegen, also warum diese Umformungen Äquivalenzumformungen sind. Äquivalenzumformungen sind Termumformungen, Addition beziehungsweise Subtraktion desselben Terms auf beiden Seiten, Multiplikation beziehungsweise Division desselben, von null verschiedenen, Terms auf beiden Seiten. So, das ist bis dahin noch ein bisschen Abstrakt, aber deshalb kommen jetzt die Beispiele. Wir haben diese Gleichung gegeben, nämlich 2 * (-5x+3) = -2x + 14. Wir können jetzt hier eine Termumformung machen, nämlich wir können das Distributivgesetz anwenden. Und das kündigen wir hier an mit dem „T“. Ein Strich teilt die Gleichung ab von dem, was wir vorhaben. Das ist eine Termumformung. Dafür steht das „T“. Und dann haben wir hier 2 * (-5x). Das sind -10x. Und 2 * 3 = 6. Und auf der rechten Seite ändert sich nichts. Die schreiben wir einfach so ab. Und dann haben wir also - 2x + 14. Die Lösungsmenge hat sich nicht geändert. Hier ist die einzige Lösung, die wir haben „-1“. Und da wird das auch. Wir können nun weiter umformen, indem wir auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens den Term „2x“ addieren. Ja, das kündigt man so an, hier wieder mit dem Strich und „+2x“. Dann können wir hier also „2x“ hinschreiben und den Rest schreiben wir einfach ab, nämlich -10x + 6. Auf der rechten Seite haben wir dann auch „2x“ stehen und den Rest schreiben wir ab, -2x + 14. Ja und das ist eine Umformung hier, die Du so wahrscheinlich demnächst nicht mehr hinschreiben wirst, denn Du kannst gleich eine Termumformung im Kopf vollziehen. Ja, wir machen auf beiden Seiten eine Termumformung. Das ist auch eine Äquivalenzumformung. Wir können nämlich hier ausreichend 2x - 10x = -8x. Den Rest schreiben wir ab, hier also „+6“. 2x - 2x = 0, null plus 14 ist einfach 14 und das kann man so hinschreiben. Also, wie gesagt, dieser Schritt, den brauchst Du nicht unbedingt hinschreiben, wenn Du diese Rechnung direkt dann im Kopf ausführst. Dann können wir auf beiden Seiten minus sechs rechnen. Und dann erhalten wir hier „-8x“. Ja und jetzt lasse ich diesen Zwischenschritt auch weg. Ich könnte ja hinschreiben „+6“ und dann noch „-6“ dahinter. Ich weiß aber, dass plus sechs minus sechs zusammen null ist. Und „+0“ brauche ich auch nicht hin und deshalb geht es gleich mit dem Gleichheitszeichen weiter. 14 - 6 = 8 und da steht die „8“. Dann können wir noch die Gleichung teilen und zwar geteilt durch minus acht, denn wenn wir „-8x“ durch minus acht teilen, dann erhalten wir einfach nur „x“. Und 8/-8 = -1. Ja und spätestens an dieser Gleichung hier können wir die Lösungsmenge ablesen. Die Lösungsmenge besteht aus der Zahl „-1“. Also, das hier ist die Menge, die als einziges Element die Zahl „-1“ enthält. Die Lösungsmenge aller dieser Gleichungen ist genau diese Menge hier. Die Lösungsmenge hat sich nicht geändert. Und hier sehen wir, was wir gemacht haben. Soweit also ganz knapp zu den Beispielen, nur damit Du sachte eine Vorstellung im Kopf hast, wie diese Äquivalenzumformungen aussehen. Jetzt kommen wir aber zu den Begründungen. Wir müssen uns noch überlegen, warum diese Umformung Äquivalenzumformungen sind, also warum sich die Lösungsmenge nicht ändern, wenn wir eine solche Umformung anwenden. Schauen wir uns dazu mal diese Gleichung an. Wir haben 5x = 12 + x und die können wir uns folgendermaßen vorstellen: Das ist hier „12“. Sag ich mal, das soll die Länge „12“ sein. Und dann haben wir noch ein „x“ hier. So zum Beispiel, ich weiß nicht, ob das „x“ tatsächlich so groß ist. Ich stelle mir das jetzt einfach mal so vor. Und auf der anderen Seite haben wir „5x“. Und die Gleichung sagt, dass diese „5x“ genauso groß sein sollen wie 12 + x. Jetzt kann ich ja einfach hier einen Strich machen und sagen ok, hier ist auch ein „x“. Ja, das ist genau da, wo dieses-, wo die 12 ist, ist dieser Strich auch. Und hier sind dann noch vier x. Dadurch, dass ich jetzt diesen Strich gezogen habe, ändert sich die Lösungsmenge nicht. Das heißt, dass was ich für „x“ einsetzen muss, damit 5x = 12 + x, hat sich nicht geändert, indem ich hier den Strich gemacht habe. Und das ist also nichts anders als diese Termumformung, die wir hier gemacht haben. Jetzt kann ich auch auf beiden Seiten ein „x“ wegnehmen. Also, ich kann einfach dieses hier ignorieren. Dann bleibt übrig, dass 4x = 12 sein muss. Aber das, was ich für „x“ einsetzen muss, damit 4x = 12, ist das gleiche, was ich für „x“ einsetzt muss, damit 5x = 12 + x oder noch genauer gesagt, damit 4x + x = 12 + x. Also hat sich hier wieder die Lösungsmenge nicht geändert, auch wenn ich mir das hier einfach wegdenke, beziehungsweise das einfach mal durchstreiche. Das ist für mich jetzt nicht mehr da. Wenn jetzt also 4x = 12, dann muss auch ein Viertel von „4x“, nämlich „1x“, dass von hier bis hier geht-... Dann muss „1x“ ein Viertel von zwölf sein. Das ist nicht ganz genau geworden. Und dann haben wir hier die „3“. Von hier bis hier ist „3“. Das ist auch nochmal „3“. Das auch. Das auch. Dadurch, dass ich diesen Strich hier in vier Teile geteilt habe, in vier gleiche teile, hat sich das, was ich für „x“ einsetzen muss, damit 4x = 12, nicht geändert. Das heißt, nur dann, wenn x = 3, das was hier steht, ist auch 4x = 12 und umgekehrt. So, damit sind wir hier fertig. Als Zusammenfassung: Wir haben also Äquivalenzumformungen gesehen, nämlich Termumformungen, Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren, also die vier Grundrechenarten. Und wir haben auch gesehen, warum diese Umformungen Äquivalenzumformungen sind, warum sich also die Lösungsmenge nicht ändert. Das war zwar kein exakt mathematischer Beweis, dient aber dazu, dass Du diese Äquivalenzumformungen verstehen kannst und damit nicht einfach nur nachmachen musst, was deine Lehrerin oder dein Lehrer dir sagt. Also dann viel Spaß damit. Tschüss.

1 Kommentar
  1. Default

    Super, vor allem der Lacher am Ende

    Von Igriehl, vor 8 Monaten