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Welche Äquivalenzumformungen gibt es?

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Welche Äquivalenzumformungen gibt es?
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Welche Äquivalenzumformungen gibt es?

Es gibt folgende Äquivalenzumformungen: 1) Termumformungen 2) Addition/Subtraktion desselben Terms auf beiden Seiten 3) Multiplikation/Division desselben, von 0 verschiedenen Terms auf beiden Seiten.

Im Video kannst du noch Beispiele der Äquivalenzumformungen sehen. Außerdem wird gezeigt, wie du die vorstellen kannst, warum diese Äquivalenzumformungen funktionieren - also warum durch solche Umformungen die Lösungsmenge einer Gleichung nicht geändert wird.

Transkript Welche Äquivalenzumformungen gibt es?

Hallo, wenn Du weißt, was Äquivalenzumformungen sind, dann können wir uns jetzt mal ansehen, welche Äquivalenzumformungen in der Schule eine Rolle spielen. Dazu schreiben wir die erstmal auf und dann schauen wir uns Beispiele dazu an und am Ende des Videos können wir uns noch was zu den Begründungen überlegen, also warum diese Umformungen Äquivalenzumformungen sind. Äquivalenzumformungen sind Termumformungen, Addition beziehungsweise Subtraktion desselben Terms auf beiden Seiten, Multiplikation beziehungsweise Division desselben, von null verschiedenen, Terms auf beiden Seiten. So, das ist bis dahin noch ein bisschen Abstrakt, aber deshalb kommen jetzt die Beispiele. Wir haben diese Gleichung gegeben, nämlich 2 * (-5x+3) = -2x + 14. Wir können jetzt hier eine Termumformung machen, nämlich wir können das Distributivgesetz anwenden. Und das kündigen wir hier an mit dem „T“. Ein Strich teilt die Gleichung ab von dem, was wir vorhaben. Das ist eine Termumformung. Dafür steht das „T“. Und dann haben wir hier 2 * (-5x). Das sind -10x. Und 2 * 3 = 6. Und auf der rechten Seite ändert sich nichts. Die schreiben wir einfach so ab. Und dann haben wir also - 2x + 14. Die Lösungsmenge hat sich nicht geändert. Hier ist die einzige Lösung, die wir haben „-1“. Und da wird das auch. Wir können nun weiter umformen, indem wir auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens den Term „2x“ addieren. Ja, das kündigt man so an, hier wieder mit dem Strich und „+2x“. Dann können wir hier also „2x“ hinschreiben und den Rest schreiben wir einfach ab, nämlich -10x + 6. Auf der rechten Seite haben wir dann auch „2x“ stehen und den Rest schreiben wir ab, -2x + 14. Ja und das ist eine Umformung hier, die Du so wahrscheinlich demnächst nicht mehr hinschreiben wirst, denn Du kannst gleich eine Termumformung im Kopf vollziehen. Ja, wir machen auf beiden Seiten eine Termumformung. Das ist auch eine Äquivalenzumformung. Wir können nämlich hier ausreichend 2x - 10x = -8x. Den Rest schreiben wir ab, hier also „+6“. 2x - 2x = 0, null plus 14 ist einfach 14 und das kann man so hinschreiben. Also, wie gesagt, dieser Schritt, den brauchst Du nicht unbedingt hinschreiben, wenn Du diese Rechnung direkt dann im Kopf ausführst. Dann können wir auf beiden Seiten minus sechs rechnen. Und dann erhalten wir hier „-8x“. Ja und jetzt lasse ich diesen Zwischenschritt auch weg. Ich könnte ja hinschreiben „+6“ und dann noch „-6“ dahinter. Ich weiß aber, dass plus sechs minus sechs zusammen null ist. Und „+0“ brauche ich auch nicht hin und deshalb geht es gleich mit dem Gleichheitszeichen weiter. 14 - 6 = 8 und da steht die „8“. Dann können wir noch die Gleichung teilen und zwar geteilt durch minus acht, denn wenn wir „-8x“ durch minus acht teilen, dann erhalten wir einfach nur „x“. Und 8/-8 = -1. Ja und spätestens an dieser Gleichung hier können wir die Lösungsmenge ablesen. Die Lösungsmenge besteht aus der Zahl „-1“. Also, das hier ist die Menge, die als einziges Element die Zahl „-1“ enthält. Die Lösungsmenge aller dieser Gleichungen ist genau diese Menge hier. Die Lösungsmenge hat sich nicht geändert. Und hier sehen wir, was wir gemacht haben. Soweit also ganz knapp zu den Beispielen, nur damit Du sachte eine Vorstellung im Kopf hast, wie diese Äquivalenzumformungen aussehen. Jetzt kommen wir aber zu den Begründungen. Wir müssen uns noch überlegen, warum diese Umformung Äquivalenzumformungen sind, also warum sich die Lösungsmenge nicht ändern, wenn wir eine solche Umformung anwenden. Schauen wir uns dazu mal diese Gleichung an. Wir haben 5x = 12 + x und die können wir uns folgendermaßen vorstellen: Das ist hier „12“. Sag ich mal, das soll die Länge „12“ sein. Und dann haben wir noch ein „x“ hier. So zum Beispiel, ich weiß nicht, ob das „x“ tatsächlich so groß ist. Ich stelle mir das jetzt einfach mal so vor. Und auf der anderen Seite haben wir „5x“. Und die Gleichung sagt, dass diese „5x“ genauso groß sein sollen wie 12 + x. Jetzt kann ich ja einfach hier einen Strich machen und sagen ok, hier ist auch ein „x“. Ja, das ist genau da, wo dieses-, wo die 12 ist, ist dieser Strich auch. Und hier sind dann noch vier x. Dadurch, dass ich jetzt diesen Strich gezogen habe, ändert sich die Lösungsmenge nicht. Das heißt, dass was ich für „x“ einsetzen muss, damit 5x = 12 + x, hat sich nicht geändert, indem ich hier den Strich gemacht habe. Und das ist also nichts anders als diese Termumformung, die wir hier gemacht haben. Jetzt kann ich auch auf beiden Seiten ein „x“ wegnehmen. Also, ich kann einfach dieses hier ignorieren. Dann bleibt übrig, dass 4x = 12 sein muss. Aber das, was ich für „x“ einsetzen muss, damit 4x = 12, ist das gleiche, was ich für „x“ einsetzt muss, damit 5x = 12 + x oder noch genauer gesagt, damit 4x + x = 12 + x. Also hat sich hier wieder die Lösungsmenge nicht geändert, auch wenn ich mir das hier einfach wegdenke, beziehungsweise das einfach mal durchstreiche. Das ist für mich jetzt nicht mehr da. Wenn jetzt also 4x = 12, dann muss auch ein Viertel von „4x“, nämlich „1x“, dass von hier bis hier geht-... Dann muss „1x“ ein Viertel von zwölf sein. Das ist nicht ganz genau geworden. Und dann haben wir hier die „3“. Von hier bis hier ist „3“. Das ist auch nochmal „3“. Das auch. Das auch. Dadurch, dass ich diesen Strich hier in vier Teile geteilt habe, in vier gleiche teile, hat sich das, was ich für „x“ einsetzen muss, damit 4x = 12, nicht geändert. Das heißt, nur dann, wenn x = 3, das was hier steht, ist auch 4x = 12 und umgekehrt. So, damit sind wir hier fertig. Als Zusammenfassung: Wir haben also Äquivalenzumformungen gesehen, nämlich Termumformungen, Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren, also die vier Grundrechenarten. Und wir haben auch gesehen, warum diese Umformungen Äquivalenzumformungen sind, warum sich also die Lösungsmenge nicht ändert. Das war zwar kein exakt mathematischer Beweis, dient aber dazu, dass Du diese Äquivalenzumformungen verstehen kannst und damit nicht einfach nur nachmachen musst, was deine Lehrerin oder dein Lehrer dir sagt. Also dann viel Spaß damit. Tschüss.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Bitte Gleichheitszeichen untereinander schreiben!

    Von Winz 1, vor 9 Monaten
  2. Hallo,
    vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor etwa einem Jahr
  3. Sehr gut erklärt

    Von E Schrotti, vor etwa einem Jahr
  4. Sehr schön!!!!

    Von Zwergdiana, vor mehr als 2 Jahren
  5. Super, vor allem der Lacher am Ende

    Von Igriehl, vor mehr als 3 Jahren

Welche Äquivalenzumformungen gibt es? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Welche Äquivalenzumformungen gibt es? kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Äquivalenzumformungen zur Lösung der Gleichung $2(-5x+3)=-2x+14.$

    Tipps

    Hier siehst du alle möglichen Äquivalenzumformungen:

    • Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung. Man vereinfacht dabei einen Term durch einen gleichwertigen. Zum Beispiel: $8x$ kann auch ausgedrückt werden durch $4x+4x$ oder durch $2\cdot 4x$.
    • Die Addition oder Subtraktion eines Terms oder einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung.
    • Die Multiplikation mit einem Term oder einer Zahl ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.
    • Die Division durch einen Term oder eine Zahl ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.

    Das Distributivgesetz lautet:

    $a(b+c)=ab+ac$.

    Das bedeutet, du multiplizierst den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer.

    Lösung

    Hier siehst du nun ein Beispiel, wie du mit Hilfe von Äquivalenzumformungen eine Gleichung lösen kannst. Mit Hilfe von Äquivalenzumformungen kannst du einen Wert für die Unbekannte $x$ finden, so dass die Gleichung erfüllt ist. In anderen Aufgaben, die du im Laufe deiner Schulzeit noch kennenlernen wirst, kann $x$ sogar mehrere Werte annehmen.

    Der Wert, den du für $x$ ausrechnest, gilt für jede der Gleichungen. Umformungen, die diese Eigenschaft haben, nennen wir Äquivalenzumformungen.

    Bei der Gleichung $2(-5x+3)=-2x+14$ wird zunächst das Distributivgesetz angewendet. Dies ist eine Termumformung. Dadurch ergibt sich diese Gleichung:

    $-10x+6=-2x+14$.

    Nun kannst du auf beiden Seiten der Gleichung den Term $2x$ addieren:

    $2x-10x+6=2x-2x+14$.

    Jetzt räumst du erst einmal auf beiden Seiten auf, du fasst also die gleichartigen Terme zusammen:

    $-8x+6=14$.

    Die Subtraktion von $6$ auf beiden Seiten führt zu dieser Gleichung:

    $-8x=8$.

    Zuletzt dividierst du durch $-8$. So erhältst du die Lösung $x=-1$.

    Nun kannst du die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung (bzw. jeder Gleichung, die durch Umformungen erhalten hast) angeben:

    $\mathbb{L}=\{-1\}$.

    Diese Lösung kannst du nun kontrollieren. Sie muss alle Gleichungen, welche du durch die Äquivalenzumformungen erhältst, erfüllen.

    Das bedeutet in diesem Beispiel, wenn du in einer Zeile jedes $x$ durch $-1$ ersetzt und die Terme berechnest, muss auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl herauskommen.

  • Ergänze die Erklärung zu den Äquivalenzumformungen am Beispiel $5x=12+x.$

    Tipps

    Du kannst sowohl an der oberen Strecke als auch an der unteren gleich lange Stücke abschneiden. Dies entspricht der Subtraktion.

    Du kannst dir die Gleichung auch wie eine Waage vorstellen.

    Rechts gibt die Frau die Operationsvorschrift an, die zu tun ist.

    Lösung

    Du siehst, die beiden Strecken sind gleich lang. Dies ist die Bedeutung des Gleichheitszeichens. Die zugehörige Gleichung lautet $5x = 12+x$.

    Nun kannst du den Strich unter dem Pluszeichen auf die untere Strecke übertragen. Du teilst somit die untere Strecke auf in $4x$ und $x$. Die Gleichheit bleibt erhalten, da die Strecken ja immer noch gleich lang sind.

    Wenn du jetzt bei beiden Strecken ein Stück der Länge $x$ abschneidest, sind die Strecken immer noch gleich lang. Dies entspricht der Subtraktion von $x$. Somit erhältst du die Gleichung $4x=12$.

    Du kannst $4x$ in vier gleich lange Strecken der Länge $x$ und ebenso $12$ in vier gleich lange Strecken der Länge $3$ aufteilen. Dann muss jedes Teilstück gleich lang sein, also $x=3$. Dies erreichst du mathematisch, indem du durch $4$ dividierst.

    Zusatz: Natürlich musst du die Termumformung $5x = 4x + x$ nicht hinschreiben, wenn dir das zu leicht erscheint. Man kann auch sofort mit der Subtraktion von $x$ auf beiden Seiten starten. In dieser Aufgabe geht es nicht darum, die Lösung möglichst schnell zu finden, sondern anschaulich zu begründen, wieso der Lösungsweg funktioniert.

  • Leite die Lösung der Gleichung durch Äquivalenzumformungen her.

    Tipps

    Hier siehst du das Distributivgesetz: $a(b+c)=ab+ac$.

    Du kannst immer nur Terme zusammenfassen, die gleichartig sind. Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

    $2x-3-4x+5=2x-4x-3+5=-2x+2$.

    Führe eine Probe durch. Setze die erhaltene Lösung in die Ausgangsgleichung ein.

    Lösung

    Du startest mit dieser Gleichung: $3(x-2)+2x=4x-4$.

    Forme immer zunächst auf einer oder gegebenfalls auf beiden Seiten der Gleichung um und fasse dann, sofern möglich, die Terme zusammen.

    Wende zunächst das Distributivgesetz an.

    $\begin{array}{crclll} &3(x-2)+2x&=&4x-4&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&3x-6+2x&=&4x-4 \end{array}$

    Fasse nun die Terme mit $x$ auf der linken Seite zusammen.

    $\begin{array}{crclll} &3x-6+2x&=&4x-4&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&5x-6&=&4x-4 \end{array}$

    Bringe nun alle Terme, in denen die Unbekannte vorkommt, auf die eine Seite der Gleichung und die bekannten Terme auf die andere Seite.

    Jetzt kannst du auf beiden Seiten $6$ addieren.

    $\begin{array}{crclll} &5x-6&=&4x-4&|&+6\\ \Leftrightarrow&5x&=&4x+2 \end{array}$

    Zuletzt subtrahierst du $4x$.

    $\begin{array}{crclll} &5x&=&4x+2&|&-4x\\ \Leftrightarrow&x&=&2 \end{array}$

    Nun bist du fertig. Die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung ist $\mathbb{L}=\{2\}$.

    Du kannst dies durch eine Probe absichern.

    $3(2-2)+2\cdot 2=3\cdot 0+4=4=4\cdot 2-4$ ✓

  • Entscheide jeweils, ob es sich um Äquivalenzumformungen handelt.

    Tipps

    Beachte, dass du Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung durchführen kannst.

    Wenn du jedoch eine Zahl addierst oder subtrahierst, musst du dies auf beiden Seiten der Gleichung tun.

    Dies gilt auch für die Multiplikation und Division.

    Stelle sicher, dass du nicht mit $0$ multiplizierst oder durch $0$ dividierst.

    Die Reihenfolge, in welcher du die Äquivalenzumformungen durchführst, ist egal. Ziel ist es immer, dass am Schluss die Unbekannt, hier immer $x$, alleine steht.

    Lösung

    Zum Lösen von Gleichungen wendest du Äquivalenzumformungen an.

    Bis auf die Termumformungen musst du diese immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen.

    Ganz wichtig: Achte beim Multiplizieren oder Dividieren darauf, dass du nicht mit $0$ multiplizierst und auch nicht durch $0$ dividierst. Insbesondere solltest du nie mit einem Term multiplizieren oder durch einen solchen dividieren, in welchem die Unbekannte vorkommt. Dieser könnte nämlich tatsächlich $0$ sein.

    Schauen wir uns einmal die erste Gleichung an:

    $\begin{array}{rclll} 2x&=&3x&|&:x\\ 2&=&3 \end{array}$

    Das Dividieren durch $x$ ist keine Äquivalenzumformung. Hier musst du $2x$ subtrahieren und erhältst $0=x$. Du siehst, die Division durch $x$ ist nicht erlaubt.

    Die zweite Gleichung ($2x+3 = 3x$) ist richtig zu $3=x$ umgeformt worden. Du kannst auch die Probe machen: $2\cdot 3+3=6+3=9=3\cdot 3$ ✓

    Bei der dritten Gleichung haben Paul und Luke die $3$ nur auf der rechten Seite subtrahiert. Sie hätten dies allerdings auf beiden Seiten tun sollen.

    Richtig wäre:

    $\begin{array}{rclll} 2x+3&=&3x+3&|&-3\\ 2x&=&3x&|&-2x\\ 0&=&x \end{array}$

    Auch bei der vierten Gleichung haben sie $2x$ nur auf einer Seite subtrahiert.

    Hier wäre die folgende Lösung richtig:

    $\begin{array}{rclll} 2x+3&=&3&|&-3\\ 2x&=&0&|&:2\\ x&=&0 \end{array}$

    Bei der fünften Gleichung ($4x+2 = 2x$) haben die beiden alles richtig gemacht. Die Lösung lautet $x=-1$.

    Bei der sechsten Gleichung ist ihnen ein Fehler unterlaufen. Richtig sieht die Lösung so aus:

    $\begin{array}{rclll} 2x+3x&=&5x&|&\text{T}\\ 5x&=&5x&|&-5x\\ 0&=&0 \end{array}$

    Diese Gleichung weist eine Besonderheit auf. Sie hat unendlich viele Lösungen. Probiere doch zum Beispiel mal $x=5$ oder $x=10$ aus, indem du in die Ausgangsgleichung einsetzt.

  • Gib an, welche der Umformungen Äquivalenzumformungen sind.

    Tipps

    Du kannst dir eine Gleichung wie eine Waage vorstellen.

    Das Gleichheitszeichen zeigt an, dass die Waage im Gleichgewicht sein soll.

    Du kannst auf einer oder beiden Seiten der Waage aufräumen, zum Beispiel die grünen Zylinder auf der rechten Seite zusammenstellen. Dadurch ändert sich das Gleichgewicht nicht.

    Schaue dir diese Gleichung an: $4=4$. Diese Gleichung stellt sicher eine wahre Aussage dar.

    Wenn auf der rechten Seite $2$ addierst und auf der linken nicht, erhältst du $4=6$.

    Ist diese Gleichung noch erfüllt?

    Wenn du die Gleichung $4=6$, welche nicht erfüllt ist, mit $0$ multiplizierst, erhältst du $0=0$, also eine wahre Aussage.

    Dies kann keine Äquivalenzumformung sein.

    Lösung

    Stelle dir eine Gleichung wie eine Waage vor. Rechts und links steht jeweils ein Term.

    Was darfst du nun mit dieser Gleichung machen, ohne dass sich die Lösung der Gleichung oder, anders ausgedrückt, der Wahrheitsgehalt verändert?

    Dies machen wir uns wieder an der Waage klar und übersetzen es dann jeweils in mathematische Ausdrücke, die Äquivalenzumformungen.

    Auf beiden Seiten der Waage aufräumen

    Wenn die Waage im Gleichgewicht ist, kannst du sicher die Körper auf einer der beiden Seiten oder gerne auch auf beiden Seiten verschieben und räumen. Dies bezeichnet man als Termumformung. Du kannst Terme zusammenfassen oder aber Rechenregeln wie das Distributivgesetz anwenden.

    Beispielsweise kann man den Term $5+6$ zu $11$ zusammenfassen.

    Etwas wegnehmen oder dazutun

    Du kannst auch noch Körper auf beiden Seiten der Waage zufügen. Dabei ist es wichtig, dass auf beiden Seiten die gleichen Körper zugefügt werden. Ansonsten kommt es zu einem Ungleichgewicht. Natürlich kannst du auch auf beiden Seiten die gleichen Körper wegnehmen. Dies ist die Addition oder Subtraktion von Termen oder Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung.

    Zum Beispiel wird aus der Gleichung $8x+11 = 15$ durch Subtraktion von $11$ auf beiden Seiten die Gleichung $8x = 4$.

    Die Anzahl verdoppeln, halbieren oder...

    Du kannst auch die Anzahl der Körper verdoppeln oder halbieren oder auch mit jeder Zahl multiplizieren oder durch jede Zahl dividieren. Doch Vorsicht: Diese Zahl darf nicht $0$ sein. Natürlich musst du auch dies wieder auf beiden Seiten der Waage machen. Dies ist die Multiplikation mit einem Term oder einer Zahl ungleich $0$ oder die Division durch einen Term oder eine Zahl ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.

    Als Beispiel betrachten wir die Gleichung $4x = 12$. Wenn wir bei dieser auf beiden Seiten durch $4$ teilen, erhalten wir $x = 3$.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Zuerst wird das Distributivgesetz $a(b+c)=ab+ac$ angewendet.

    Achte auf das Vorzeichen.

    Denke daran, dass eine Termumformung auch eine Vereinfachung sein kann.

    Man kann $6+3x+7$ z.B. vereinfachen zu $13+3x$ bzw. $3x+13$.

    Achte darauf, dass du alle Äquivalenzumformungen, bis auf die Termumformungen, immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen musst.

    Lösung

    Um die Gleichung $-2(x-4)+4x=21-2x$ zu lösen, musst du auf einiges achten.

    1. Zuerst wenden wir das Distributivgesetz auf der linken Seite an. So kommen wir auf $-2x+8+4x=20-2x$.
    2. Jetzt fassen wir die Terme auf der linken Seite der Gleichung zusammen: $2x+8=20-2x$.
    3. Nun kannst du auf beiden Seiten der Gleichung $2x$ addieren zu $4x+8=20$.
    4. Subtrahiere $8$. So erhältst du $4x=12$.
    5. Zuletzt dividierst du durch $4$. Dies führt zu $x=3$.
    Die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung $-2(x-4)+4x=21-2x$ ist $\mathbb{L}=\{3\}$.

    Mit Hilfe der Probe (Einsetzen der Lösung für $x$) können wir prüfen, ob wir richtig umgeformt haben.

    $-2(3-4)+4\cdot 3=-2\cdot -1+12=2+12=14=20-2\cdot 3$ ✓

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