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Volumen von Rotationskörpern – Kugelvolumen 08:29 min

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Transkript Volumen von Rotationskörpern – Kugelvolumen

Ich erkläre dir heute, wie man das allgemeine Volumen einer Kugel berechnet. Dazu werden wir überlegen, wie man aus einer Funktion, die um die x-Achse rotiert, eine Kugel als Rotationskörper beschreiben kann, dann werden wir die Volumenformel für Rotationskörper wiederholen und mithilfe dieser das Volumen der Kugel berechnen. Wir haben eine Kugel gegeben mit dem Radius r, das heißt der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Kugeloberfläche soll diese Zahl r sein, und wir suchen deren Volumen. Wir wollen jetzt allgemein herleiten, wie man das Volumen dieser Kugel berechnet. Das bedeutet wir haben am Schluss eine Formel in der noch dieser Radius r steht, das bedeutet egal wie groß eine Kugel ist man kann immer in diese Formel einsetzen und kann quasi damit das Volumen berechnen. Und diese Formel steht dann auch auf dem Tafelwerk. Bei den Rotationskörpern haben wir die Volumenformel kennengelernt, und wir müssen jetzt für unsere Kugel überlegen, wie diese Funktion aussieht aus der diese Kugel entsteht.Wenn wir uns hier diese Kugel betrachten, müssen wir erst einmal ein Koordinatensystem in das Bild legen und am einfachsten ist es, wenn der Koordinatenursprung im Mittelpunkt der Kugel liegt. Jetzt müssen wir überlegen, wie man so eine Kugel beschreiben kann. Und da sieht man nun anhand des Bildes, dass dieser obere Halbkreis diese Kugel bei Rotation um die x-Achse entstehen lässt. Und wie kann man einen Halbkreis als Funktionsgleichung aufschreiben? Dann müsste euch gleich einfallen das man einmal eine Kreisgleichung kennengelernt hat.Also als erstes gucken wir uns die Kreisgleichung an. Und wenn allgemein der Mittelpunkt bei (c, d) liegt dann ist die Kreisgleichung (x - c)² + (y - d)² = r². Bei uns liegt der Mittelpunkt in (0, 0) das heißt bei uns entsteht die Funktionsgleichung x² + y² = r² und jetzt müssen wir nach y umstellen, damit wir später eine Funktion haben, die wir später in die Volumenformel einsetzen können.Also ich ziehe erst einmal x² ab dann habe ich y² = r² - x² und jetzt müssen wir noch das Quadrat vom y wegbekommen, und da ziehen wir jetzt die Wurzel. Also, y = Wurzel(r² - x²). Und jetzt müssen wir noch überlegen in welchem Intervall dieser Halbkreis rotiert, und das ist jetzt hier, Intervall [a, b] = [-r, r].Und jetzt können wir ganz einfach im zweiten Schritt einfach das Volumen ausrechnen, V = π Integral von [-r, r] dadurch, dass wir quadrieren, fällt das Wurzelzeichen weg, also haben wir (r² - x²) dx. Und jetzt brauchen wir die Stammfunktion r² wird dann zu r²x, für x² geht der Exponent einen hoch also x³, multiplizieren mit dem Kehrwert des neuen Exponenten also mal 1/3 und wieder in den Grenzen von [-r, r].Jetzt müssen wir einsetzen, obere Grenze minus untere Grenze, und dann haben wir r² * r ist r³ - 1/3r³ - (-r³ + 1/3r³) und jetzt lösen wir die Klammer auf, π (r³ - 1/3r³ + r³ - 1/3r³) = π 4/3r³ = 4/3 * π * r³. Und das ist das allgemeine Volumen einer Kugel Sowie es auf dem Tafelwerk steht. Zum Schluss möchte ich noch einmal zusammenfassen, was du heute gelernt hast:Wir haben eine Kugel als Rotationskörper beschrieben, indem wir eine Funktion gefunden haben und zwar einen oberen Halbkreis, der die Kugel als Rotationskörper beschreibt. Und dann haben wir das Volumen berechnet indem wir die Volumenformel für Rotationskörper eingesetzt haben. Hoffentlich hast du alles verstanden.

Volumen von Rotationskörpern – Kugelvolumen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Rotationskörpern – Kugelvolumen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers an.

    Tipps

    Du erhältst einen Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$ als Rotationskörper, wenn du die Funktion $f(x)=r$ über dem Intervall $[0;h]$ um die $x$-Achse rotieren lässt.

    Setze in die obigen Formeln ein und vergleiche sie mit der bekannten Formel für das Volumen eines Zylinders.

    Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet

    $V_{Zyl}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

    Dabei ist

    • $r$ der Radius des Grundkreises und
    • $h$ die Höhe des Zylinders.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern, welche durch die Rotation einer Funktion $f(x)$ um die x-Achse in dem Intervall $[a;b]$ entsteht, lautet

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Folgende Sachen spielen bei der Herleitung dieser Formel eine wichtige Rolle:

    • Der Faktor $\pi$ kommt daher, dass durch die Rotation Kreise beschrieben werden
    • und der Term $\left(f(x)\right)^2$ daher, dass $f(x)$ der Radius dieser Kreise ist.
    • Das Volumen des Rotationskörpers wird durch die Summe der Volumina von Zylindern approximiert.
    • Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet: $V_{Zyl}=\pi\cdot r^2 \cdot h$. Dabei ist $r$ der Radius und $h$ die Höhe des Zylinders.

  • Stelle die Gleichung der Funktion auf, durch deren Rotation eine Kugel entsteht.

    Tipps

    Schau dir das Bild oben genau an.

    Welche Funktion musst du nehmen, um eine Kugel als Rotationskörper zu erhalten?

    Jeder Punkt auf einem Kreisrand hat zum Mittelpunkt des Kreises den gleichen Abstand.

    Der Abstand zweier Punkte $A(a_1|a_2)$ und $B(b_1|b_2)$ ist gegeben durch

    $d(A;b)=\sqrt{\left(a_1-b_1\right)^2+\left(a_2-b_2\right)^2}$.

    Lösung

    Wenn man diesen Halbkreis um die x-Achse rotiert, entsteht eine Kugel.

    Wie kann eine Funktionsgleichung hergeleitet werden, welche diesen Halbkreis beschreibt?

    Da der Mittelpunkt des Halbkreises im Koordinatenursprung liegt und der Radius $r$ ist, gilt

    $x^2+y^2=r^2$.

    Dies ist die sogenannte Kreisgleichung für einen Kreis mit dem Mittelpunkt $(0|0)$ und dem Radius $r$.

    Nun kann diese Gleichung nach $y$ aufgelöst werden:

    $\begin{align*} x^2+y^2&=r^2&|&-x^2\\ y^2&=r^2-x^2&|&\sqrt{~}\\ y&=\sqrt{r^2-x^2}. \end{align*}$

    Da der Halbkreis oberhalb der x-Achse liegt, kann auf die negative Wurzel verzichtet werden. Da beim Verwenden der Volumenformel für Rotationskörper die betrachtete Funktion quadriert wird, erhält man bei der Betrachtung des Halbkreises unterhalb der x-Achse das gleiche Volumen für die Kugel.

    Es ist somit die Funktion $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$, welche rotiert um die x-Achse in dem Intervall $[-r;r]$ eine Kugel ergibt.

  • Bestimme die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel.

    Tipps

    Verwende die Formel $\large{V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx}$.

    Beachte, dass die rotierende Funktion quadriert wird. Das Quadrat kehrt die Wurzel um.

    Sortiere die Terme so, dass du die Formel erhältst, welche du bereits kennst.

    Lösung

    Hier in dem Bild ist zu erkennen, das die Kugel durch Rotation eines Halbkreises oberhalb der x-Achse um diese in dem Intervall $[-r;r]$ entsteht.

    Die Gleichung, welche diesen Halbkreis beschreibt, ist $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$.

    Nun kann die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern verwendet werden:

    $\large{V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx}$.

    Die Funktion sowie die Grenzen $a=-r$ und $b=r$ können eingesetzt werden:

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_{-r}^r\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)dx\\ &=\pi\left[r^2x-\frac13x^3\right]_{-r}^r\\ &=\pi\left[r^3-\frac13r^3-\left(-r^3+\frac13r^3\right)\right]\\ &=\pi\cdot \frac43 \cdot r^3\\ &=\frac43 \cdot\pi\cdot r^3. \end{align*}$

    Dies ist die bekannte Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel mit dem Radius $r$:

    $V_{Ku}=\frac43 \cdot\pi\cdot r^3$.

  • Bestimme das Volumen des Kegelstumpfs.

    Tipps

    Welche Funktion wird rotiert? In welchem Intervall wird rotiert?

    Es wird eine Ursprungsgerade rotiert.

    Betrachte für die Herleitung der Ursprungsgeraden den kompletten Kegel.

    Die Gleichung der Geraden lautet $f(x)=m\cdot x$.

    Es muss gelten $f(5)=4$.

    Verwende die folgende Formel:

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Lösung

    Ein Kegel ist ein Rotationskörper. Somit ist auch ein Kegelstumpf ein Rotationskörper.

    Hier in dem Bild ist zu erkennen, dass der Kegel durch Rotation einer linearen Funktion um die x-Achse in dem Intervall $[0;5]$ entsteht.

    Wie lautet die Gleichung der linearen Funktion? Es handelt sich um eine Ursprungsgerade, auf welcher der Punkt $(5|4)$ liegt. Es gilt also $4=m\cdot 5$, was äquivalent zu $m=\frac45$ ist:

    $f(x)=\frac 45 x$.

    Nun kann die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern verwendet werden:

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Da es sich um einen Kegelstumpf der Höhe $2$ handelt, sind die Grenzen $a=3$ und $h=5$. Diese und die Funktion können in die obige Formel eingesetzt werden:

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_3^5\left(\frac 45 x\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_3^5\left(\frac {16}{25} x^2\right)dx\\ &=\pi\left[\frac {16}{25}\frac13 x^3\right]_3^5\\ &=\pi\cdot \left[\frac {16}{25}\cdot\frac{5^3}3-\frac {16}{25}\cdot\frac{3^3}3\right]\\ &=\pi\cdot \frac{1568}{75}\\ &\approx 65,7\text{ [VE]}. \end{align*}$

    Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt also ungefähr $65,7$ [VE].

  • Leite die Gleichung der Funktion her, die rotiert um die x-Achse einen „gewölbten Zylinder“ ergibt.

    Tipps

    Der Scheitelpunkt der Funktion ist $S\left(0|\frac 12\right)$.

    Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=ax^2+b$. Dabei ist

    • $f(0)=\frac12$ und
    • $f(1)=1$.

    Die Scheitelpunktform mit Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ ist gegeben durch:

    $f(x)=a\left(x-x_s\right)^2+y_s$.

    Lösung

    Dem Bild kann entnommen werden, dass der Scheitelpunkt der Funktion bei $S\left(0|\frac 12\right)$ liegt.

    Somit ist die Scheitelpunktform durch

    $f(x)=a\left(x-0\right)^2+\frac12$

    gegeben.

    Da $f(1)=1$ sein soll, gilt

    $\begin{align*} 1&=a\cdot 1^2+\frac12 &|&-\frac12\\ \frac12&=a. \end{align*}$

    Also ist $f(x)=\frac12x^2+\frac12$.

  • Berechne das Volumen des abgebildeten Körpers.

    Tipps

    Verwende die Formel $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Zur Berechnung des Quadrates der Funktion kannst du die 1. binomische Formel verwenden:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Die Potenzregel der Integration lautet:

    $\int x^n dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c,~n\neq -1$.

    Beim Berechnen des bestimmten Integrals kann die Integrationskonstante $c$ weggelassen werden.

    Achte beim Potenzieren von negativen Zahlen darauf, diese einzuklammern.

    Lösung

    Wird die Funktion $f(x)=\frac12x^2+\frac12$ um die x-Achse im Intervall $[-1;1]$ rotiert, entsteht ein „gewölbter Zylinder“. Nun kann die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern verwendet werden:

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Die Funktion sowie die Grenzen $a=-1$ und $b=1$ können eingesetzt werden:

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_{-1}^1\left(\frac12x^2+\frac12\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_{-1}^1\left(\frac14x^4+\frac12x^2+\frac14\right)dx\\ &=\pi\left[\frac1{20}x^5+\frac16x^3+\frac14x\right]_{-1}^1\\ &=\pi\left[\frac1{20}1^5+\frac161^3+\frac141-\left(\frac1{20}(-1)^5+\frac16(-1)^3+\frac14(-1)\right)\right]_{-1}^1\\ &=\pi\frac{14}{15}\\ &\approx 2,9\text{ [VE]}. \end{align*}$

    Das Volumen dieses Körpers beträgt also ungefähr $2,9$ [VE].