30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Volumen von Rotationskörpern – Kugelvolumen 08:29 min

Textversion des Videos

Transkript Volumen von Rotationskörpern – Kugelvolumen

Ich erkläre dir heute, wie man das allgemeine Volumen einer Kugel berechnet. Dazu werden wir überlegen, wie man aus einer Funktion, die um die x-Achse rotiert, eine Kugel als Rotationskörper beschreiben kann, dann werden wir die Volumenformel für Rotationskörper wiederholen und mithilfe dieser das Volumen der Kugel berechnen. Wir haben eine Kugel gegeben mit dem Radius r, das heißt der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Kugeloberfläche soll diese Zahl r sein, und wir suchen deren Volumen. Wir wollen jetzt allgemein herleiten, wie man das Volumen dieser Kugel berechnet. Das bedeutet wir haben am Schluss eine Formel in der noch dieser Radius r steht, das bedeutet egal wie groß eine Kugel ist man kann immer in diese Formel einsetzen und kann quasi damit das Volumen berechnen. Und diese Formel steht dann auch auf dem Tafelwerk. Bei den Rotationskörpern haben wir die Volumenformel kennengelernt, und wir müssen jetzt für unsere Kugel überlegen, wie diese Funktion aussieht aus der diese Kugel entsteht.Wenn wir uns hier diese Kugel betrachten, müssen wir erst einmal ein Koordinatensystem in das Bild legen und am einfachsten ist es, wenn der Koordinatenursprung im Mittelpunkt der Kugel liegt. Jetzt müssen wir überlegen, wie man so eine Kugel beschreiben kann. Und da sieht man nun anhand des Bildes, dass dieser obere Halbkreis diese Kugel bei Rotation um die x-Achse entstehen lässt. Und wie kann man einen Halbkreis als Funktionsgleichung aufschreiben? Dann müsste euch gleich einfallen das man einmal eine Kreisgleichung kennengelernt hat.Also als erstes gucken wir uns die Kreisgleichung an. Und wenn allgemein der Mittelpunkt bei (c, d) liegt dann ist die Kreisgleichung (x - c)² + (y - d)² = r². Bei uns liegt der Mittelpunkt in (0, 0) das heißt bei uns entsteht die Funktionsgleichung x² + y² = r² und jetzt müssen wir nach y umstellen, damit wir später eine Funktion haben, die wir später in die Volumenformel einsetzen können.Also ich ziehe erst einmal x² ab dann habe ich y² = r² - x² und jetzt müssen wir noch das Quadrat vom y wegbekommen, und da ziehen wir jetzt die Wurzel. Also, y = Wurzel(r² - x²). Und jetzt müssen wir noch überlegen in welchem Intervall dieser Halbkreis rotiert, und das ist jetzt hier, Intervall [a, b] = [-r, r].Und jetzt können wir ganz einfach im zweiten Schritt einfach das Volumen ausrechnen, V = π Integral von [-r, r] dadurch, dass wir quadrieren, fällt das Wurzelzeichen weg, also haben wir (r² - x²) dx. Und jetzt brauchen wir die Stammfunktion r² wird dann zu r²x, für x² geht der Exponent einen hoch also x³, multiplizieren mit dem Kehrwert des neuen Exponenten also mal 1/3 und wieder in den Grenzen von [-r, r].Jetzt müssen wir einsetzen, obere Grenze minus untere Grenze, und dann haben wir r² * r ist r³ - 1/3r³ - (-r³ + 1/3r³) und jetzt lösen wir die Klammer auf, π (r³ - 1/3r³ + r³ - 1/3r³) = π 4/3r³ = 4/3 * π * r³. Und das ist das allgemeine Volumen einer Kugel Sowie es auf dem Tafelwerk steht. Zum Schluss möchte ich noch einmal zusammenfassen, was du heute gelernt hast:Wir haben eine Kugel als Rotationskörper beschrieben, indem wir eine Funktion gefunden haben und zwar einen oberen Halbkreis, der die Kugel als Rotationskörper beschreibt. Und dann haben wir das Volumen berechnet indem wir die Volumenformel für Rotationskörper eingesetzt haben. Hoffentlich hast du alles verstanden.