Volumen von Rotationskörpern – Kugelvolumen

Volumen von Rotationskörpern – Kugelvolumen Übung

• Stelle die Gleichung der Funktion auf, durch deren Rotation eine Kugel entsteht.

  Tipps

  Schau dir das Bild oben genau an.

  Welche Funktion musst du nehmen, um eine Kugel als Rotationskörper zu erhalten?

  Jeder Punkt auf einem Kreisrand hat zum Mittelpunkt des Kreises den gleichen Abstand.

  Der Abstand zweier Punkte $A(a_1|a_2)$ und $B(b_1|b_2)$ ist gegeben durch

  $d(A;b)=\sqrt{\left(a_1-b_1\right)^2+\left(a_2-b_2\right)^2}$.

  Lösung

  Wenn man diesen Halbkreis um die x-Achse rotiert, entsteht eine Kugel.

  Wie kann eine Funktionsgleichung hergeleitet werden, welche diesen Halbkreis beschreibt?

  Da der Mittelpunkt des Halbkreises im Koordinatenursprung liegt und der Radius $r$ ist, gilt

  $x^2+y^2=r^2$.

  Dies ist die sogenannte Kreisgleichung für einen Kreis mit dem Mittelpunkt $(0|0)$ und dem Radius $r$.

  Nun kann diese Gleichung nach $y$ aufgelöst werden:

  $\begin{align*} x^2+y^2&=r^2&|&-x^2\\ y^2&=r^2-x^2&|&\sqrt{~}\\ y&=\sqrt{r^2-x^2}. \end{align*}$

  Da der Halbkreis oberhalb der x-Achse liegt, kann auf die negative Wurzel verzichtet werden. Da beim Verwenden der Volumenformel für Rotationskörper die betrachtete Funktion quadriert wird, erhält man bei der Betrachtung des Halbkreises unterhalb der x-Achse das gleiche Volumen für die Kugel.

  Es ist somit die Funktion $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$, welche rotiert um die x-Achse in dem Intervall $[-r;r]$ eine Kugel ergibt.

• Bestimme die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel.

  Tipps

  Verwende die Formel $\large{V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx}$.

  Beachte, dass die rotierende Funktion quadriert wird. Das Quadrat kehrt die Wurzel um.

  Sortiere die Terme so, dass du die Formel erhältst, welche du bereits kennst.

  Lösung

  Hier in dem Bild ist zu erkennen, das die Kugel durch Rotation eines Halbkreises oberhalb der x-Achse um diese in dem Intervall $[-r;r]$ entsteht.

  Die Gleichung, welche diesen Halbkreis beschreibt, ist $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$.

  Nun kann die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern verwendet werden:

  $\large{V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx}$.

  Die Funktion sowie die Grenzen $a=-r$ und $b=r$ können eingesetzt werden:

  $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_{-r}^r\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)dx\\ &=\pi\left[r^2x-\frac13x^3\right]_{-r}^r\\ &=\pi\left[r^3-\frac13r^3-\left(-r^3+\frac13r^3\right)\right]\\ &=\pi\cdot \frac43 \cdot r^3\\ &=\frac43 \cdot\pi\cdot r^3. \end{align*}$

  Dies ist die bekannte Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel mit dem Radius $r$:

  $V_{Ku}=\frac43 \cdot\pi\cdot r^3$.

• Leite die Gleichung der Funktion her, die rotiert um die x-Achse einen „gewölbten Zylinder“ ergibt.

  Tipps

  Der Scheitelpunkt der Funktion ist $S\left(0|\frac 12\right)$.

  Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=ax^2+b$. Dabei ist

  • $f(0)=\frac12$ und
  • $f(1)=1$.

  Die Scheitelpunktform mit Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ ist gegeben durch:

  $f(x)=a\left(x-x_s\right)^2+y_s$.

  Lösung

  Dem Bild kann entnommen werden, dass der Scheitelpunkt der Funktion bei $S\left(0|\frac 12\right)$ liegt.

  Somit ist die Scheitelpunktform durch

  $f(x)=a\left(x-0\right)^2+\frac12$

  gegeben.

  Da $f(1)=1$ sein soll, gilt

  $\begin{align*} 1&=a\cdot 1^2+\frac12 &|&-\frac12\\ \frac12&=a. \end{align*}$

  Also ist $f(x)=\frac12x^2+\frac12$.

• Berechne das Volumen des abgebildeten Körpers.

  Tipps

  Verwende die Formel $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

  Zur Berechnung des Quadrates der Funktion kannst du die 1. binomische Formel verwenden:

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Die Potenzregel der Integration lautet:

  $\int x^n dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c,~n\neq -1$.

  Beim Berechnen des bestimmten Integrals kann die Integrationskonstante $c$ weggelassen werden.

  Achte beim Potenzieren von negativen Zahlen darauf, diese einzuklammern.

  Lösung

  Wird die Funktion $f(x)=\frac12x^2+\frac12$ um die x-Achse im Intervall $[-1;1]$ rotiert, entsteht ein „gewölbter Zylinder“. Nun kann die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern verwendet werden:

  $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

  Die Funktion sowie die Grenzen $a=-1$ und $b=1$ können eingesetzt werden:

  $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_{-1}^1\left(\frac12x^2+\frac12\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_{-1}^1\left(\frac14x^4+\frac12x^2+\frac14\right)dx\\ &=\pi\left[\frac1{20}x^5+\frac16x^3+\frac14x\right]_{-1}^1\\ &=\pi\left[\frac1{20}1^5+\frac161^3+\frac141-\left(\frac1{20}(-1)^5+\frac16(-1)^3+\frac14(-1)\right)\right]_{-1}^1\\ &=\pi\frac{14}{15}\\ &\approx 2,9\text{ [VE]}. \end{align*}$

  Das Volumen dieses Körpers beträgt also ungefähr $2,9$ [VE].

• Gib die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers an.

  Tipps

  Du erhältst einen Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$ als Rotationskörper, wenn du die Funktion $f(x)=r$ über dem Intervall $[0;h]$ um die $x$-Achse rotieren lässt.

  Setze in die obigen Formeln ein und vergleiche sie mit der bekannten Formel für das Volumen eines Zylinders.

  Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet

  $V_{Zyl}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

  Dabei ist

  • $r$ der Radius des Grundkreises und
  • $h$ die Höhe des Zylinders.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern, welche durch die Rotation einer Funktion $f(x)$ um die x-Achse in dem Intervall $[a;b]$ entsteht, lautet

  $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

  Folgende Sachen spielen bei der Herleitung dieser Formel eine wichtige Rolle:

  • Der Faktor $\pi$ kommt daher, dass durch die Rotation Kreise beschrieben werden
  • und der Term $\left(f(x)\right)^2$ daher, dass $f(x)$ der Radius dieser Kreise ist.
  • Das Volumen des Rotationskörpers wird durch die Summe der Volumina von Zylindern approximiert.
  • Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet: $V_{Zyl}=\pi\cdot r^2 \cdot h$. Dabei ist $r$ der Radius und $h$ die Höhe des Zylinders.

• Bestimme das Volumen des Kegelstumpfs.

  Tipps

  Welche Funktion wird rotiert? In welchem Intervall wird rotiert?

  Es wird eine Ursprungsgerade rotiert.

  Betrachte für die Herleitung der Ursprungsgeraden den kompletten Kegel.

  Die Gleichung der Geraden lautet $f(x)=m\cdot x$.

  Es muss gelten $f(5)=4$.

  Verwende die folgende Formel:

  $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

  Lösung

  Ein Kegel ist ein Rotationskörper. Somit ist auch ein Kegelstumpf ein Rotationskörper.

  Hier in dem Bild ist zu erkennen, dass der Kegel durch Rotation einer linearen Funktion um die x-Achse in dem Intervall $[0;5]$ entsteht.

  Wie lautet die Gleichung der linearen Funktion? Es handelt sich um eine Ursprungsgerade, auf welcher der Punkt $(5|4)$ liegt. Es gilt also $4=m\cdot 5$, was äquivalent zu $m=\frac45$ ist:

  $f(x)=\frac 45 x$.

  Nun kann die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern verwendet werden:

  $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

  Da es sich um einen Kegelstumpf der Höhe $2$ handelt, sind die Grenzen $a=3$ und $h=5$. Diese und die Funktion können in die obige Formel eingesetzt werden:

  $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_3^5\left(\frac 45 x\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_3^5\left(\frac {16}{25} x^2\right)dx\\ &=\pi\left[\frac {16}{25}\frac13 x^3\right]_3^5\\ &=\pi\cdot \left[\frac {16}{25}\cdot\frac{5^3}3-\frac {16}{25}\cdot\frac{3^3}3\right]\\ &=\pi\cdot \frac{1568}{75}\\ &\approx 65,7\text{ [VE]}. \end{align*}$

  Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt also ungefähr $65,7$ [VE].