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Integralrechnung – Anwendungsaufgaben

Anwendungsgebiete der Integralrechnung sind Flächenberechnung, Rekonstruktion von Beständen, Berechnung von Kräften und Bewegungen.

Das unbestimmte und das bestimmte Integral

Das unbestimmte Integral

Gegeben sei $f$, eine beliebige reelle und integrierbare Funktion. Jede differenzierbare Funktion $F$, deren Ableitung $F'=f$ ist, wird Stammfunktion der Funktion $f$ genannt.

Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$, also $F'(x)=f(x)$, dann gilt auch, dass $F_{C}(x)=F(x)+C$ mit einer Konstanten $C\in\mathbb{R}$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist. $C$ wird Integrationskonstante genannt.

Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion $f$ ist das unbestimmte Integral von $f$, also

$\int~f(x)~dx = \{ F(x) | F'(x)=f(x) \}$

Das bestimmte Integral

Bei einem bestimmten Integral kommen noch Integrationsgrenzen $a$ und $b$ hinzu:

$\int\limits_a^b~f(x)~dx $

Hierbei ist $a$ die untere und $b$ die obere Integrationsgrenze.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Das bestimmte Integral kannst du mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung berechnen:

$\int\limits_a^b~f(x)~dx =\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$

Dabei ist $F$ eine Stammfunktion von $f$.

Flächenberechnung

Der Funktionsgraph von $f$ mit $f(x)=x^2+3$ schließt mit der $x$-Achse über dem Intervall $[1;2]$ ein Flächenstück ein. Berechne den Inhalt dieser Fläche. Diese ist in dem Bild schraffiert.

1077_Flächenberechnung.jpg

Da der Funktionsgraph über dem betrachteten Intervall komplett oberhalb der $x$-Achse liegt, ist der Flächeninhalt gegeben durch $A=\int\limits_1^2~(x^2+3)~dx$.

  • Bestimme zunächst eine Stammfunktion $F$ von $f$. Hierfür verwendest du die Potenzregel sowie die Summenregel der Integration: $F(x)=\frac13x^3+3x$.
  • Wende nun den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an:

$\begin{array}{rcl} A&=&\int\limits_1^2~(x^2+3)~dx\\ &=&\left[\frac13x^3+3x\right]^2_1\\ &=&\left(\frac13\cdot 2^3+3\cdot 2\right)-\left(\frac13\cdot1^3+3\cdot 1\right)\\ &=&\frac{16}3~\text{[FE]}\end{array}$

Federkraft

Wenn du eine Feder zusammendrücken möchtest, wirkt diese mit der Kraft $F$, der Federkraft, der von dir aufgebrachten Kraft entgegen. Diese Federkraft ist proportional zur zusammengestauchten Strecke $s$. Verwende nach dem Hookeschen Gesetz die folgende Formel: $F(s)=D\cdot s$ mit der Federkonstanten $D=10~\frac{\text{N}}{\text{cm}}$.

1077_Feder.jpg

Die Arbeit, welche du aufbringen musst, um die Feder um $s=20~\text{cm}$ zusammenzudrücken, beträgt

$\Delta W=\int\limits_0^{20}~F(s)~ds=\left[\frac12 \cdot D\cdot s^2\right]_0^{20}=2000~\text{[N]}$.

Berechnung einer Bogenlänge

Mit Hilfe der Integration kannst du die Länge eines Bogens bestimmen. Wir schauen uns nochmal das obige Beispiel der quadratischen Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+3$ an. Wie lang ist der Bogen des Funktionsgraphen über dem Intervall $[1;2]$?

1077_Berechnung_Bogenlänge.jpg

Diese kannst du mit der folgenden Formel berechnen. Dabei sind die Integrationsgrenzen die entsprechenden Intervallgrenzen.

$L=\int\limits_a^b~\sqrt{1+(f'(x))^2}~dx$

Nun kannst du starten:

$L=\int\limits_1^2~\sqrt{1+(2x)^2}~dx=\int\limits_1^2~\sqrt{1+4x^2}~dx\approx 3,17~[\text{LE}]$

Rekonstruktion von Beständen

Eine weitere Anwendung der Integration ist die Rekonstruktion von Beständen. Wir schauen uns ein Beispiel zum freien Fall an.

Wenn ein Gegenstand aus einer Höhe von $50$ Metern fallen gelassen wird, bewegt er sich mit der Geschwindigkeit $v$ mit $v(t)=g\cdot t$ mit $g\approx 9,81~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$.

Mit Hilfe der Potenzregel der Integration erhältst du als eine Stammfunktion $s$ zu $v$ die Funktion $s(t)=\frac12\cdot g\cdot t^{2}$. Die Größe $s(t)$ steht dabei für den zurückgelegten Weg in Metern pro $t$ Sekunden. Im Folgenden gilt $s(0)=0$. Das bedeutet, dass zum Zeitpunkt $0$ Sekunden noch kein Weg zurückgelegt wurde. Du kommst damit zu $s$ mit $s(t)=4,905\cdot t^{2}$.

  • Du kannst nun bestimmen, wie tief der Gegenstand nach drei Sekunden gefallen ist $s(3)=44,145$. Der Gegenstand ist also ungefähr $44$ Meter gefallen.
  • Wann kommt der Gegenstand auf dem Boden auf? Löse hierfür die Gleichung $4,905\cdot t^{2}=50$. So erhältst du $t\approx 3,2$. Nach etwa $3,2$ Sekunden kommt der Gegenstand auf dem Boden auf.