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Numerische Integrationsverfahren

Die Integration ist ein Teilgebiet der Analysis. Eine Anwendung davon ist die Flächenberechnung. Es gibt Beispiele, bei welchen eine solche Flächenberechnung analytisch nicht möglich ist.

Anwendung der numerischen Integration

Wofür benötigst du die numerische Integration? Wir klären zunächst einmal, worum es häufig im Zusammenhang mit der Integration geht: Ein Hauptanwendungsgebiet ist die Flächenberechnung.

Du musst also zu einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion finden. Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung kannst du das bestimmte Integral bei einem gegebenen Intervall berechnen. Unter gewissen Voraussetzungen ist dieses bestimmte Integral der Inhalt der Fläche, welche von dem Graphen der betrachteten Funktion sowie der $x$-Achse über dem gegebenen Intervall eingeschlossen wird.

Es gibt Beispiele für Funktionen, von welchen eine Stammfunktion nicht ermittelt werden kann. Ein Beispiel für eine Solche Funktion ist die Funktion $f$ mit $f(x)=e^{x^{2}}$. Es könnte auch sein, dass die Ermittlung einer solchen Stammfunktion zu aufwendig ist. Dann verwendest du numerische Integrationsverfahren, mittels derer du bestimmte Integrale näherungsweise berechnen kannst. Üblicherweise werden zur numerischen Integration Algorithmen verwendet, welche mit Hilfe von Computern umgesetzt werden.

Im Folgenden siehst du verschiedene Ansätze, wie bestimmte Integrale, und hier insbesondere Flächeninhalte, näherungsweise berechnet werden können.

Die jeweiligen Verfahren wirst du jeweils anhand des gleichen Beispiels sehen: $f(x)=e^{(x-1)^{2}}$

Den zugehörigen Funktionsgraphen siehst du hier.

1078_e__(x-1)_2_.jpg

Die Streifenmessung

Um den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen in einem Intervall $[a; b]$ näherungsweise zu bestimmen, wird die Fläche durch Parallelen zur $y$-Achse in gleich breite Streifen mit leicht berechenbarem Inhalt zerlegt. Die Summe der Flächeninhalte ergibt dann einen Näherungswert für das bestimmte Integral im Intervall $[a; b]$.

Das Rechteckverfahren

Beim Rechteckverfahren gehst du ähnlich vor. Du verwendest Rechtecke einer vorgegebenen Breite, die entweder komplett unter- oder oberhalb des Funktionsgraphen liegen. Die so erhaltenen Flächeninhalte der Rechtecke addierst du nun. Dieses Verfahren führt zu Ober- und Untersummen. Die Untersumme liegt immer unterhalb des tatsächlich gesuchten Flächeninhaltes und die Obersumme oberhalb. Durch Grenzwertbildung erhältst du den tatsächlichen Flächeninhalt.

Hier siehst du vier Rechtecke mit der Breite $0,25$, welche den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen der Funktion $f(x)=e^{(x-1)^{2}}$ über dem Intervall $[0;1]$ annähern.

1078_Untersumme.jpg

Wie du hier schon erkennen kannst, ist dieses Verfahren noch recht ungenau. Wenn die Breite der jeweiligen Rechtecke jedoch immer kleiner wird, wird das Verfahren genauer. Dies entspricht der bereits beschriebenen Grenzwertbildung bei den Ober- und Untersummen.

Das Trapezverfahren

Ein etwas genaueres Verfahren ist das Trapezverfahren. Bei diesem werden auf den entsprechenden Unterteilungen des Intervalls nicht Rechtecke, sondern Trapeze verwendet. Deren Flächeninhalt ist ähnlich wie bei den Rechtecken einfach zu berechnen. Die jeweiligen Flächeninhalte werden schließlich addiert.

1078_Trapezmethode.jpg

Die Kepler'sche Fassregel

Die Kepler'sche Fassregel ist eine Methode zur näherungsweisen Berechnung eines Integrals. Insbesondere kann damit auch das Volumen eines Rotationskörpers näherungsweise berechnet werden. Dabei wird die zu integrierende Funktion auf dem betrachteten Intervall durch eine Parabel approximiert.

Dies führt zu der von Johannes Kepler (27.Dez 1571 - 15.Nov 1630), einem deutschen Mathematiker, angegebenen Formel zur näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx≈\frac{b−a}{6}\cdot \left(f(a)+4⋅f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$

Er verwendet also ausschließlich die Funktionswerte am linken sowie rechten Rand des Intervalls und den genau in der Mitte.

Das Simpson-Verfahren

Das Simpson-Verfahren verwendet ebenso wie die Kepler'sche Fassregel die Approximation der zu integrierenden Funktion durch Parabeln. Dabei wird das betrachtete Intervall jedoch in mehrere gleich große Teilintervalle unterteilt. Auf jedem dieser Intervalle wird die Kepler'sche Fassregel angewendet. Dieses Verfahren ist sicher aufwendiger, allerdings auch sehr viel genauer als die Kepler'sche Fassregel.