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Die Produktregel

Die Produktregel ist eine Ableitungsregel. Wir verwenden sie, um das Produkt von Funktionen $u(x)\cdot v(x)$ abzuleiten:

$\left(u(x)\cdot v(x)\right)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

In deiner Formelsammlung findest du vielleicht auch die Kurzschreibweise $(uv)'=u'v+uv'$.

Herleitung der partiellen Integration

Mithilfe der Produktregel kann die partielle Integration hergeleitet werden. Das wollen wir nun einmal Schritt für Schritt tun:

In der Produktregel stehen auf beiden Seiten der Gleichung Funktionen. Das bedeutet, dass diese Funktionen identisch sind.

Somit stimmen auch die unbestimmten Integrale dieser Funkionen überein („Wir setzen einfach auf beiden Seiten ein Integral davor.“):

$\begin{align} \int\left(u(x)\cdot v(x)\right)'dx & =\int\left(u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\right)dx\\\ &= \int\left(u'(x)\cdot v(x)\right)dx+\int\left(u(x)\cdot v'(x)\right)dx\end{align}$

Da die Differentiation und die Integration sich gegenseitig aufheben ($\int f'(x)dx=f(x)$), gilt

$u(x)\cdot v(x)=\int\left(u'(x)\cdot v(x)\right)dx+\int\left(u(x)\cdot v'(x)\right)dx$

Nun subtrahieren wir den Term $\int\left(u(x)\cdot v'(x)\right)dx$:

$u(x)\cdot v(x)-\int\left(u(x)\cdot v'(x)\right)dx=\int\left(u'(x)\cdot v(x)\right)dx$

Zu besseren Übersicht vertauschen wir noch die beiden Seiten der Gleichung:

$\int\left(u'(x)\cdot v(x)\right)dx=u(x)\cdot v(x)-\int\left(u(x)\cdot v'(x)\right)dx$

Die hier abgebildete Regel heißt partielle Integration oder auch Produktintegration. Leichter merken lässt sich die Kurzschreibweise:

$\int (u'v) dx= uv-\int (uv')dx$.

Was sollten wir bei der partiellen Integration beachten?

Du kannst erkennen, dass auf beiden Seiten der partiellen Integration ein Integral steht. Wo soll da nun ein Vorteil liegen? Wir wollen es doch leichter haben und nicht schwerer!

Zu diesem Zweck müssen wir bei der Integration einer Produktfunktion überlegen, welcher der beiden Faktoren „die Rolle von $u'(x)$ spielt“. Von dieser Funktion müssen wir auch die Stammfunktion kennen. Die andere Funktion „spielt dann die Rolle von $v(x)$“.

Beispiel

Betrachten wir die Funktion $f(x)=x^2\cdot x$. Natürlich kannst du diese Funktion mithilfe der Potenzregel der Integration auch einfacher integrieren. $f(x)=x^2\cdot x=x^3$ und damit ist

$\int f(x) dx=\frac14x^4+c$

Für die partielle Integration sei $u'(x)=x^2$ und $v(x)=x$. Außerdem benötigen wir noch die Ableitung von $v$. Diese ist $v'(x)=1$:

$\begin{align} \int \underbrace{x^2}_{u'(x)}\cdot \underbrace{x}_{v(x)}dx&=\underbrace{\frac13x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{x}_{v(x)}-\int\underbrace{\frac13x^3}_{u(x)}\cdot \underbrace{1}_{v'(x)}dx\\ &=\frac13x^4-\frac1{12}x^4+c\\ &=\frac3{12}x^4+c\\ &=\frac14 x^4+c \end{align}$

Beispiele für die partielle Integration

Im Folgenden schauen wir uns anhand einiger Beispiele an, welcher der beiden Faktoren der zu integrierenden Produktfunktion die Rolle von $u'(x)$ spielen sollte und wie wir die partielle Integration schließlich anwenden.

Exponentialfunktionen

Wir wollen das unbestimmte Integral $\int (x\cdot e^x) dx$ berechnen.

Wir wählen $u'(x)=e^x$ und $v(x)=x$, weil die Stammfunktion von $u'(x)$, nämlich $u(x)=e^x$, bekannt ist und weil $v'(x)=1$ leicht zu handhaben ist.

Beim Ableiten von Polynomen wird der Exponent immer um $1$ kleiner. Deswegen wählst du bei Exponentialfunktionen der obigen Gestalt immer das Polynom als $v(x)$ und den exponentiellen Faktor als $u'(x)$. Dies wird oft auch als Abräumen von Polynomen bezeichnet.

Nun können wir die partielle Integration anwenden:

$\begin{align} \int (x\cdot e^x)dx & = x\cdot e^x-\int (1\cdot e^x)dx\\ & = x\cdot e^x-e^x+c\\ & = (x-1)\cdot e^x \end{align}$

Zweifellos ist das rechte Integral leichter zu berechnen. Wenn wir $f(x)=x^2\cdot e^x$ integrieren wollen, gehen wir genauso vor. Es muss jedoch zweimal partiell integriert werden.

Trigonometrische Funktionen

Ein häufiges Anwendungsgebiet für die partielle Integration sind die trigonometrischen Funktionen. Nehmen wir als Beispiel die Funktion $f(x)=\sin(x)\cdot \cos(x)$. Bestimmen wir zunächst, was wir später brauchen:

  • $u'(x)=\sin(x)$ und damit $u(x)=-\cos(x)$ sowie
  • $v(x)=\cos(x)$ und damit $v'(x)=-\sin(x)$

Dann können wir anfangen zu rechnen:

$\begin{align} \int (\sin(x)\cdot \cos(x))dx&= -\cos(x)\cdot \cos(x)-\int((-\cos(x))\cdot (-\sin(x)))dx\\ &= -(\cos(x))^2-\int(\sin(x)\cdot \cos(x))dx \end{align}$

Wie wir sehen, taucht das Ausgangsintegral wieder auf. Wenn wir auf beiden Seiten $\int(\sin(x)\cdot \cos(x))dx$ addieren, erhalten wir

$\begin{align}2\int(\sin(x)\cdot \cos(x))dx&=-(\cos(x))^2&|&:2\\ \int(\sin(x)\cdot \cos(x))dx&=-\frac12(\cos(x))^2 \end{align}$

Logarithmusfunktionen

Zuletzt wenden wir noch einen Trick zur Integration von Logarithmusfunktionen an. Betrachten wir das einfache Beispiel $f(x)=\ln(x)$ an. Um diese Funktion partiell zu integrieren, ergänzen wir den Faktor $1$, da wir ja ein Produkt benötigen: $ \int \ln(x)dx=\int(1\cdot \ln(x))dx$. Dann ist

  • $u'(x)=1$ und damit $u(x)=x$ sowie
  • $v(x)=\ln(x)$ und damit $v'(x)=\frac 1x$

und somit

$\begin{align} \int \ln(x)dx&=\int(1\cdot \ln(x))dx\\ &=x\cdot \ln(x)-\int\left(x\cdot \frac1x\right)dx\\ &=x\cdot \ln(x)-\int 1dx\\ &=x\cdot \ln(x)-x+c \end{align}$

Da die Ableitung von $\ln(x)$ gerade $\left(\ln(x)\right)'=\frac1x $ ist, heben sich $x$ und $\frac1{x}$ auf. Deswegen wählst du immer das Polynom als $u'(x)$ und den Logarithmus $v(x)=\ln(x)$.