Volumen von Rotationskörpern – Erste Beispiele

Volumen von Rotationskörpern – Erste Beispiele Übung

• Berechne das Volumen des Rotationskörpers.

  Tipps

  Verwende die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

  $V=\pi\cdot\int\limits_a^b~(f(x))^2~dx$.

  Beachte, dass die Funktion $f(x)$ zunächst quadriert und dann integriert wird.

  Zur Berechnung eines bestimmten Integrals verwendest du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

  wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

  Lösung

  Da der Kegelstumpf durch Rotation des Graphen von $f(x)=\frac12x$ um die x-Achse entsteht, kann die Volumenformel für Rotationskörper verwendet werden:

  $V=\pi\cdot\int\limits_a^b~(f(x))^2~dx$.

  Hier ist $a=1$ und $b=5$. Die bekannten Integrationsgrenzen sowie die Funktion $f(x)$ können nun in diese Formel eingesetzt werden:

  $\begin{align}V&=\pi\cdot\int\limits_1^5~\left(\frac12x\right)^2~dx=\pi\cdot\int\limits_1^5~\left(\frac14x^2\right)~dx\\ &=\pi\cdot\left[\frac1{12}x^3\right]_1^5\\ &=\pi\cdot\left[\frac1{12}5^3-\frac1{12}1^3\right]\\ &=\pi\cdot\left(\frac{125}{12}-\frac1{12}\right)\\ &=\frac{31}{3}\pi\approx 32,5~\text{[VE]} \end{align}$.

  Hier wurde der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwendet:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

  wobei $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$ ist.

• Ergänze die Berechnung des Volumens des Rotationskörpers.

  Tipps

  Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

  wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

  Zur Bestimmung einer Stammfunktion kannst du die Potenzregel der Integration verwenden:

  $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1};~n\neq -1$.

  Lösung

  Die untere und obere Integrationsgrenze sind gegeben durch den linken sowie rechten Intervallrand, also

  $V=\pi\cdot\int\limits_0^4~\left(\frac13\sqrt x\right)^2~dx$.

  Das Quadrat der Wurzel von $x$ ist $x$, also

  $V=\pi\cdot\int\limits_0^4~\left(\frac19 x\right)~dx$.

  Nun muss eine Stammfunktion bestimmt werden

  $V=\pi\cdot\left[\frac1{18} x^2\right]_0^4$.

  Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man

  $V=\pi\cdot \frac1{18} \cdot 4^2=\frac89\pi\approx2,8$ [VE].

• Verwende die Volumenformel für die Berechnung eines Zylinders.

  Tipps

  Das Intervall, über dem der Körper rotiert wird, findest du auf der x-Achse.

  Die begrenzende Funktion verläuft parallel zur x-Achse.

  Die Volumenformel für Zylinder mit dem Radius $r$ und der Höhe $h$ lautet

  $V=\pi\cdot r^2\cdot h$.

  Lösung

  Dieser Zylinder entsteht, indem die konstante Funktion $f(x)=r$ um die x-Achse rotiert wird. Die Grenzen sind $0$ und $h$.

  Es kann also die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers verwendet werden:

  $V=\pi\cdot\int\limits_a^b~(f(x))^2~dx$.

  Somit ist das Volumen dieses Zylinders gegeben durch

  $\begin{align} V&=\pi\cdot\int\limits_0^h~(r)^2~dx\\ &=\pi\left[r^2x\right]_0^h\\ &=\pi\cdot r^2\cdot h \end{align}$

  Dies ist die bekannte Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders. Ein kleiner Applaus ist an dieser Stelle doch gerechtfertigt!

• Leite das Volumen einer Kugel her.

  Tipps

  Zur Bestimmung einer Stammfunktion kannst du die Potenzregel der Integration verwenden:

  $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1};~n\neq -1$.

  Um ein bestimmtes Integral zu berechnen, verwendest du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

  wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

  Du kannst deine Rechnung mit der Volumenformel für Kugeln überprüfen

  $V=\frac43\pi\cdot r^3$.

  Lösung

  Wenn man das Volumen dieses Rotationskörpers verdoppelt, erhält man das Volumen der Kugel mit dem Radius $r=3$.

  Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet

  $V=\frac43\pi\cdot r^3$,

  also mit $r=3$ führt dies zu $V=36\pi$. Dies sollte auch herauskommen, wenn die Volumenformel für Rotationskörper verwendet wird:

  Es ist $V=\pi\cdot\int\limits_0^3~(\sqrt{9-x^2})^2~dx$.

  Durch Quadrieren fällt die Wurzel weg.

  $V=\pi\cdot\int\limits_0^3~(9-x^2)~dx$.

  Nun wird eine Stammfunktion der Funktion $9-x^2$ bestimmt. Eine solche ist gegeben durch $9x-\frac13x^3$. Mit Hilfe dieser Stammfunktion kann nun das Volumen der Halbkugel berechnet werden.

  $V=\pi\cdot\left[9x-\frac13x^3\right]_0^3=\pi\cdot (27-9)=18\pi$.

  Multiplikation mit $2$ führt zu dem Volumen der Kugel $36\pi$.

• Beschreibe, wie das Volumen eines Rotationskörpers berechnet werden kann.

  Tipps

  Schaue dir den obigen Rotationskörper an. Die obere begrenzende Linie ist der Graph einer linearen Funktion.

  Der obige Rotationskörper ist ein Kegel. Die Formel für das Volumen eines Kegels mit dem Radius $r$ und der Höhe $h$ lautet

  $V=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$.

  Zu Flächen kannst du einen Flächeninhalt und zu Körpern einen Rauminhalt, also ein Volumen, berechnen.

  Lösung

  Ein Rotationskörper entsteht - wie der Name vermuten lässt - durch Rotation: Der Graph einer Funktion $f(x)$ wird über dem Intervall $I=[a;b]$ um die x-Achse rotiert.

  Mit Hilfe der hier abgebildeten Formel kann das Volumen eines solchen Körpers berechnet werden.

• Berechne das Volumen des Rotationskörpers.

  Tipps

  Verwende die Volumenformel

  $V=\pi\cdot\int\limits_0^{3}~\left(\frac13x^2\right)^2~dx$.

  Eine Stammfunktion ist gegeben durch $\frac1{45} x^5$.

  Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

  wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

  Lösung

  Die untere und obere Integrationsgrenze sind gegeben durch Intervallgrenzen, also

  $V=\pi\cdot\int\limits_0^{3}~\left(\frac13x^2\right)^2~dx$.

  Zunächst wird $f(x)$ quadriert:

  $V=\pi\cdot\int\limits_0^3~\left(\frac19 x^4\right)~dx$.

  Zu $\frac19x^4$ wird eine Stammfunktion bestimmt

  $V=\pi\cdot\left[\frac1{45} x^5\right]_0^{3}$.

  Die Stammfunktion wird an der oberen Grenze ausgewertet und an der unteren und in dieser Reihenfolge die Differenz gebildet:

  $V=\pi\cdot \frac1{45} 3^5=5,4\pi\approx17$ [VE].