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Volumen eines Prismas berechnen 06:20 min

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Transkript Volumen eines Prismas berechnen

Hallo, ich bin Lennart. Heute erkläre ich dir, wie man das Volumen eines Prismas berechnet. Prismen begegnen uns im Alltag recht häufig. Zum Beispiel hat ein Zelt, eine Verpackung, eine einzelne Bienenwabe oder ein Dach die Form eines Prismas. Häufig ist es auch wichtig zu wissen, wie groß das Volumen dieser Prismen ist. Der Bauer will zum Beispiel wissen, wie viel Stroh er auf dem Dachboden seiner Scheune lagern kann. Zuerst werde ich dir anhand eines Quaders die Volumenformel für ein Prisma erklären. Danach zeige ich dir, wie man die Grundfläche bestimmt. An einem Beispiel werde ich dir die einzelnen Schritte zur Berechnung des Volumens eines Prismas demonstrieren. Zum Schluss fasse ich noch einmal alles Wichtige zusammen. Kommen wir zunächst zur Formel für die Volumenberechnung. Dazu schauen wir uns zuerst ein sehr einfaches Prisma an. Es ist der Quader mit den Seitenlängen a, b und c. Ein Quader ist ein spezielles Prisma. Die Volumenformel für einen Quader kennst du bestimmt. Sie lautet Volumen=Länge•Breite•Höhe, also V=a•b•c. Diese beiden Flächen sind die Grundflächen des Quaders. Du siehst, dass es Rechtecke mit den Seitenlängen a und b sind. Da es sich um ein Rechteck handelt, ist die Formel für den Flächeninhalt unserer Grundfläche AG=a•b. Wenn dies die Grundflächen des Prismas sind, dann ist die Seitenlänge c die Höhe. Also h=c. Setzen wir nun AG und h in die Volumenformel für das Quader ein, erhalten wir V=AG•h. Diese Volumenformel gilt nicht nur für Quader, sondern für alle Prismen. Mit dieser Formel kannst du also das Volumen von jedem beliebigen Prisma ausrechnen, sei es ein dreiseitiges, vierseitiges, fünfseitiges, sechsseitiges oder sogar ein hundertseitiges Prisma. Man muss nur bestimmen, welche Flächen die Grundflächen und welche Seitenlänge die Höhe des Prismas sind. Dann berechnet man den Flächeninhalt der Grundfläche. Hierfür solltest du erst herausfinden, welche geometrische Form deine Grundfläche hat und dementsprechend die Formel für den Flächeninhalt dieser Form anwenden. Zum Schluss multiplizierst du den Flächeninhalt der Grundfläche mit der Höhe h und du erhältst das Volumen des Prismas. Doch wie bekommt man noch einmal heraus, was die Grundflächen sind? Ein Prisma besitzt in der Regel zwei Grundflächen. Man erkennt sie daran, dass sie zueinander kongruent sind, das heißt, wenn man sie übereinanderlegen würde, wären sie deckungsgleich. Außerdem sind sie immer parallel zueinander und stehen senkrecht zu Höhe. Oft erkennst du die Grundfläche auch daran, dass sie keine Rechtecke sind. Die Mantelflächen von Prismen sind nämlich immer Rechtecke. Grundflächen hingegen können zum Beispiel auch Dreiecke, Fünfecke, Parallelogramme oder Trapeze sein. In diesem Prisma hier sind die Dreiecke die Grundflächen. Du siehst, es sind zwei Flächen, die zueinander deckungsgleich und parallel sind. Außerdem sind sie senkrecht zur Höhe. Häufig ist es so, dass das Prisma nicht auf einer Grundfläche steht. Wie dieses hier. Kannst du mir sagen, welche Flächen hier die Grundflächen sind? Genau, diese und diese. Denn sie sind deckungsgleich und parallel zueinander. Und stehen senkrecht zur Höhe. Ein weiteres Beispiel wäre dieses Prisma hier. Findest du auch hier die Grundfläche? Genau, es sind diese beiden. Auch hier siehst du, sie sind deckungsgleich und parallel zueinander und stehen senkrecht zur Höhe. Diesmal sind die Grundflächen Trapeze. Schauen wir uns nun anhand eines Beispiels an, wie man das Volumen eines Prismas berechnet. Gegeben ist folgendes Prisma. Die Abmessungen sind a=2cm, b=3cm und c=6cm. Gesucht ist das Volumen des Prismas. Für die Lösung benutzen wir die Volumenformel V=AG•h. Jetzt überlegen wir uns, welche Flächen die Grundflächen sind. Diese hier. Denn sie sind deckungsgleich und parallel zueinander. Wir sehen, dass es sich bei den Grundflächen um rechtwinklige Dreiecke handelt. Also ist die Seitenlänge c die Höhe von unserem Prisma. Wir schreiben h=c=6cm. Nun müssen wir den Flächeninhalt einer Grundfläche ausrechnen. Die Flächeninhaltsformel für ein rechtwinkliges Dreieck lautet A ist gleich ab durch Zwei. Unsere Seitenlänge a und b eingesetzt AG=2cm•3cm/2, also ist AG gleich drei Quadratzentimeter. Nun setzen wir AG und h in die Volumenformel ein und erhalten V=3cm2•6cm=18cm3. Das Prisma hat also ein Volumen von 18 Kubikzentimeter. Fassen wir zum Schluss noch einmal das Wichtigste zusammen. Die Volumenformel lautet: V=AG•h. Dabei ist h die Höhe des Prismas und AG der Flächeninhalt einer Grundfläche. Die beiden Grundflächen erkennst du daran, dass sie deckungsgleich und parallel zueinander sind. Außerdem stehen sie senkrecht zur Höhe des Prismas. Sie sind im Gegensatz zu den Mantelflächen nicht immer Rechtecke. Ich hoffe, du hast alles verstanden. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

25 Kommentare
  1. cool

    danke für das hilfreiche Video
    sehr empfelenswert

    Von Melanie Obach, vor etwa einem Jahr
  2. Hallo Clemens B.,
    in dem Beispiel wird der Flächeninhalt eines rechteckigen Dreiecks berechnet. Die Formel für den Flächeninhalt eines rechteckigen Dreiecks lautet (a⋅b):2, also a mal b geteilt durch 2. Würdest du nur a mal b rechnen, hättest du den Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b. Da wir allerdings ein Dreieck haben, das nur halb so groß ist wie das entsprechende Rechteck, teilen wir a⋅b noch durch 2.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen konnten.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
  3. Ag wird am Anfang a mal b berechnet, aber warum wird das ganze im Beispiel nochmal durch 2 geteilt?

    Von Clemens B., vor mehr als einem Jahr
  4. Hallo Bruno R.,
    du hast recht, dass es etwas verwirrend ist. Die Höhe meint hier nicht die Höhe an sich (, die natürlich 2 Meter beträgt) sondern die die Höhe des Prismas. Der Dachboden ist ja ein Prisma. Insofern ist dessen Höhe gleich der Länge des des Dachbodens. Die Länge des Dachbodens entspricht hier der Höhe des Prismas. Diese ist dann auch wirklich 15m.
    Ich hoffe, dass wir die weiterhelfen konnten.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
  5. In der Aufgabe gibt es einen Fehler....
    dort steht das das Dach der Scheune 15 meter lang 5meter breit und 2 meter hoch ist dann steht in der Aufgabe wie hoch ist das Dach der Scheune und es ist 15 Meter richtig und nicht 2.
    Entweder bin ich dumm oder die aufgäbe hat einen Fehler ; )

    Von Bruno R., vor mehr als einem Jahr
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Volumen eines Prismas berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen eines Prismas berechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Leite die Volumenformel eines Prismas her.

    Tipps

    Möchte man das Volumen eines Quaders bestimmen, rechnet man

    Volumen = Länge · Breite · Höhe.

    Lösung

    Das Volumen eines Quaders berechnet man immer mit der Formel:

    Volumen = Länge · Breite · Höhe

    Wenn die Länge $a$, die Breite $b$ und die Höhe $c$ gegeben sind, gilt auch $V_{\text{Quader}} = a \cdot b \cdot c$.

    Die Grundflächen des Quaders bilden zwei Rechtecke. Den Flächeninhalt eines Rechtecks $A_G$ berechnet man, indem man die Länge mit der Breite des Rechtecks multipliziert. Für eine unserer Grundflächen gilt also: $A_G = a \cdot b$. In unserem Quader entspricht die Höhe der Seite $c$.

    Wir können also die Formel $V_{\text{Quader}} = a \cdot b \cdot c$ durch

    $V_{\text{Prisma}} = A_G \cdot h$

    ersetzen. Mit dieser Formel kannst du von allen Prismen das Volumen berechnen. Allerdings lässt sich die Grundfläche der Prismen je nach ihrer Form unterschiedlich berechnen.

  • Berechne das Volumen des Prismas.

    Tipps

    Die Grundflächen erkennst du daran, dass sie

    • kongruent (deckungsgleich),
    • parallel zueinander sind und
    • senkrecht auf der Höhe stehen.

    Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet man so: „Grundlänge mal Höhe geteilt durch zwei“.

    Oder mit den obigen Variablen ausgedrückt ausgedrückt $A_G = \frac{a \cdot b}{2}$.

    Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = A_G \cdot h$.

    Lösung

    Um das Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir zunächst die Grundflächen des Prismas bestimmen. Die Grundflächen des Prismas sind die beiden Dreiecke. Sie sind kongruent (deckungsgleich), parallel zueinander und stehen senkrecht auf der Höhe.

    Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet man, indem man die Grundseite mit der Höhe des Dreiecks multipliziert und das Produkt durch zwei teilt. Für unser Prisma lautet diese Formel:

    $A_G = \frac{ a \cdot b}{2}$

    Setzen wir nun die jeweiligen Größen ein, erhalten wir einen Flächeninhalt von:

    $\begin{align} A_G& = \frac{ a \cdot b}{2} \\ &= \frac{ 2~cm \cdot 3~cm}{2} \\ & = \frac{ 6~cm^2}{2} \\ & = 3~cm^2 \end{align}$

    Das Volumen berechnet man durch die Formel $V = A_G \cdot h$. Die Höhe $h$ entspricht in unserer Skizze der Seite $c$. Wir setzen also ein und erhalten:

    $\begin{align} V& = A_G \cdot h \\ &= 3~cm^2 \cdot 6~cm \\ & = 18~cm^3 \end{align}$

    Das Volumen des Prismas beträgt also $18~cm^3$.

  • Entscheide, bei welchen Prismen die richtigen Grundflächen markiert sind.

    Tipps

    Die Grundflächen eines Prisma sind kongruent, also deckungsgleich.

    Die Grundflächen sind immer parallel zueinander und stehen senkrecht zur Höhe.

    Die Grundflächen eines Prismas können verschiedene n-Ecke (Polygone) sein.

    Lösung

    Ein Prisma hat in der Regel zwei Grundflächen, welche zueinander kongruent sind. Das heißt, dass sie deckungsgleich sind. Die Grundflächen sind immer parallel zueinander und stehen senkrecht zur Höhe. Oftmals erkennt man die Grundflächen eines Prismas daran, dass sie keine Rechtecke sind, aber natürlich können sie auch Rechtecke, wie zum Beispiel beim Quader, sein. Neben Rechtecken können die Grundflächen auch die Form von Dreiecken, Parallelogrammen und Trapezen haben.

    In dem Bild kannst du die Prismen mit den richtig markierten Grundflächen erkennen.

  • Berechne das Volumen des Dachbodens.

    Tipps

    So sieht der Dachboden in einem Schrägbild aus. Es handelt sich um ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Trage die gegebenen Werte in die Skizze ein.

    Stell dir mal vor, du würdest den Dachboden von Herrn Bauer abreißen und den Dachboden senkrecht aufstellen können. Welche der Größen, die wir kennen, entspricht der Höhe des Prismas?

    Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit

    „Grundseite mal Höhe auf der Grundseite durch zwei“.

    Oder mit Formeln ausgedrückt: $A_G = \frac{g \cdot h_g}{2}$.

    Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = A_G \cdot h$

    Lösung

    Der Dachboden von Herrn Bauer hat die Form eines Prismas. Die Grundflächen des Prismas sind Dreiecke. Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel

    $A_G = \frac{g \cdot h_g}{2}$. Dabei ist $g$ die Grundseite des Dreiecks und $h_g$ die Höhe, die auf der Grundseite steht.

    Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass der Dachboden $5~m$ breit und $2~m$ hoch ist. Es sind also $g = 5~m$ und $h_g = 2~m$. Setzen wir diese Werte in die Formel für den Flächeninhalt ein, erhalten wir:

    $\begin{align} A_G &= \frac{g \cdot h_g}{2} \\ &= \frac{5~m \cdot 2~m}{2} \\ & = 5~m^2 \end{align}$

    Um das Volumen zu berechnen, brauchen wir neben dem Flächeninhalt der Grundfläche noch die Höhe. In diesem Falle ist unsere Höhe die Länge des Dachbodens. Daher gilt $h =15~m$. Für das Volumen folgt daraus:

    $\begin{align} V &= A_G \cdot h \\ &= 5~m^2 \cdot 15~m \\ & = 75~m^3 \end{align}$

    Das Volumen des Dachbodens beträgt $75~m^3$.

  • Gib die Erkennungsmerkmale von Grundflächen bei einem Prisma wieder.

    Tipps

    Wenn du zwei Flächen übereinander legst und sie sich an keiner Stelle überlappen, dann sind die beiden Flächen kongruent.

    Hier siehst du ein Prisma. Die zwei Grundflächen sind die zwei Dreiecke und wurden mit AG markiert.

    Lösung

    Ein Prisma hat in der Regel zwei Grundflächen, welche kongruent (deckungsgleich) sind.

    Die Grundflächen sind immer parallel zueinander und stehen senkrecht zur Höhe.

    Oftmals erkennt man die Grundflächen eines Prismas daran, dass sie keine Rechtecke sind, aber natürlich können sie auch Rechtecke, wie zum Beispiel bei einem Quader, sein.

    Neben Rechtecken können die Grundflächen auch die Form von Dreiecken, Parallelogrammen, Trapezen oder anderen n-Ecken (Polygonen) annehmen. Allerdings ist bei jedem Prisma die Form der Grundflächen gleich.

  • Bestimme das Volumen des Prismas und die Höhe des Wasserspiegels.

    Tipps

    Die Grundfläche des Prismas besitzt die Form eines Trapezes. Die parallelen Seiten sind $2~cm$ und $5~cm$ lang. Das Trapez ist $1,5~cm$ hoch.

    Den Flächeninhalt des Trapezes kann man mit der folgenden Formel berechnen

    $A_G = \frac{(a +b) \cdot c}{2}$

    $a$ und $b$ sind dabei die parallelen Seiten und $c$ die Höhe des Trapezes.

    Das Volumen eines Prismas kannst du mit der Formel $V=A_G \cdot h$ berechnen.

    Es fließen $5~cm^3$ Wasser pro Minute. Nach zwei Minuten fließen dann $10~cm^3$ Wasser. Wie viele $cm^3$ Wasser befinden sich dann nach vier Minuten in dem Prisma?

    Wenn du weißt, wie viele $cm^3$ Wasser sich in dem Prisma befinden, ist die Höhe dieses „neuen“ Prismas gesucht. Stelle dafür die Volumenformel geschickt um.

    Lösung

    Um das Volumen des ganzen Prismas zu bestimmen, müssen wir zunächst die Grundflächen des Prismas bestimmen.

    Die Grundfläche hat die Form eines Trapezes. Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man mit der Formel $A_G = \frac{(a +b) \cdot c}{2}$. $a$ und $b$ sind dabei die parallelen Seiten und $c$ die Höhe des Trapezes. In diese Formel können wir die uns bekannten Werte, nämlich $a = 2~cm$, $b = 5~cm$ und $c = 1,5~cm$, einsetzen und erhalten

    $\begin{align} A_G &= \frac{(a +b) \cdot c}{2} \\ & = \frac{(2~cm +5~cm) \cdot 1,5~cm}{2} \\ & = \frac{7~cm \cdot 1,5~cm}{2} \\ & = \frac{10,5~cm^2}{2} \\ & = 5,25~cm^2 \\ \end{align}$

    Das Prisma hat eine andere Höhe als die Grundfläche. Die Höhe des Prismas entspricht der Länge des Prismas. Das heißt, die Höhe des Prismas beträgt $h = 10~cm$. Setzen wir dies in die Formel zur Berechnung des Volumens ein, erhalten wir:

    $\begin{align} V &= A_G \cdot h \\ & = 5,25~cm^2 \cdot 10~cm \\ &= 52,5~cm^3 \end{align}$

    Das Volumen des Prismas beträgt also $52,5~cm^3$.

    Wir wissen, dass pro Minute $5~cm^3$ in das senkrecht stehende Prisma hineinfließen. Also befinden sich nach vier Minuten $5~cm^3 \cdot 4 = 20~cm^3$ in dem Prisma. Um nun die Höhe des Wasserspiegels zu bestimmen, müssen wir die Formel für das Volumen nach $h$ umstellen. Es gilt:

    $\begin{align} V &= A_G \cdot h &&| :A_G \\ h& = \frac{V}{AG} \\ &= \frac{20~cm^3}{5,25~cm^2} \\ h & \approx 3,8cm \\ \end{align}$

    Nach vier Minuten ist der Wasserspiegel ungefähr $3,8~cm$ hoch.