Terme vereinfachen

Terme vereinfachen Übung

• Ergänze die Erklärung, ob die beiden Terme $3x$ und $2y$ zusammengefasst werden dürfen.

  Tipps

  Du kannst dir das so überlegen:

  • Die Variable $x$ entspricht dem Pinguin.
  • Die Variable $y$ entspricht dem Hai.

  Was sind zwei Pinguine und drei Haie?

  Ein anderes Beispiel: Wenn du zu zwei Handys fünf Handys dazutust, hast du sieben Handys.

  Wie sieht es aber aus, wenn du zu zwei Handys fünf Taschenrechner dazutust? Das kannst du nicht weiter zusammenfassen.

  $3x+2x$ kann vereinfacht werden, da die Terme $3x$ und $2x$ gleichartig sind:

  $3x+2x=5x$.

  Lösung

  Merke dir:

  Du kannst Terme nur dann zusammenfassen, also addieren oder subtrahieren, wenn sie gleichartig sind.

  Zum Beispiel ist $3x+2x=5x$.

  Das ist wie bei Pinguinen. Wenn du beispielsweise $3$ Pinguine auf einer Eisscholle und $2$ Pinguine unter Wasser siehst, sind das insgesamt $5$ Pinguine.

  Du kannst allerdings nicht Pinguine mit Haien kombinieren. Diese Erfahrung hat auch Dr. Evil gemacht. Was bedeutet das mathematisch?

  Fasse nur Terme zusammen, die gleichartig sind, also genau die gleichen Variablen enthalten.

• Fasse den Term $x+3\cdot(10+y)-7x-y$ zusammen.

  Tipps

  Das Distributivgesetz verwendest du, um Klammerterme auszumultiplizieren:

  $a(b+c)=ab+ac$.

  Den Faktor vor einer Variablen nennt man Koeffizient. Der Koeffizient von $x$ bei dem Term $5x$ ist also $5$.

  Wenn du Terme addierst, in welchen die Variablen gleich sind, kannst du die Koeffizienten addieren. Das gilt natürlich auch, wenn du subtrahierst.

  Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

  $2x+3x=(2+3)x=5x$.

  Wenn in einem Term nur noch verschiedenartige Terme vorkommen, dann kannst du nicht weiter vereinfachen.

  Lösung

  Hier kannst du die komplette Rechnung sehen.

  Du startest mit dem Ausmultiplizieren. Hierfür verwendest du das Distributivgesetz: Du multiplizierst die beiden Summanden $10$ und $y$ in der Klammer mit dem Faktor $3$. Du erhältst als Zwischenschritt:

  $x+3\cdot (10+y)-7x-y=$ $x+30+3y-7x-y$.

  Merke dir, dass du nur Terme zusammenfassen kannst, in denen die Variablen gleich sind. Stelle also den Term so um, dass die gleichen Terme mit den gleichen Variablen hintereinander stehen. Du verwendest hier das Kommutativgesetz. Vielleicht kennst du dieses auch unter dem Namen Vertauschungsgesetz. Dies ergibt folgenden Zwischenschritt:

  $x+30+3y-7x-y=x-7x+3y-y+30$.

  Nun kannst du zusammenfassen. Addiere oder subtrahiere hierfür die Koeffizienten, also die Faktoren vor den Variablen:

  $x-7x+3y-y+30=-6x+2y+30$.

  Nun bist du fertig. Du kannst diesen Term nicht weiter vereinfachen.

• Prüfe, welche Terme gleichartig sind.

  Tipps

  Beachte: In dem Term $xy$ kommen sowohl $x$ als auch $y$ vor.

  Terme mit einem $xy$ können also weder mit Termen, die nur ein $x$, noch mit Termen, die nur ein $y$ enthalten, zusammengefasst werden.

  Sie können aber natürlich mit anderen Termen, die auch $xy$ enthalten, zusammengefasst werden.

  So gilt beispielsweise $8xy - 6xy = 2xy$.

  Schaue dir die folgenden Beispiele an:

  • $5x$ und $8x$ sind gleichartige Terme.
  • $5x$ und $8y$ sind nicht gleichartig.

  In gleichartigen Termen stimmen sowohl die Variablen als auch die Exponenten überein:

  • $3x$ und $4x^2$ sind nicht gleichartig.
  • $5xy$ und $7xy$ sind gleichartig.
  • $6y^2$ und $-3y^2$ sind gleichartig.

  Lösung

  Um Terme zu vereinfachen, musst du dir Folgendes merken: Du darfst nur Terme zusammenfassen, die gleichartig sind.

  Fasse niemals Terme zusammen, die verschiedenartig sind.

  Hier kannst du üben, welche Terme zusammengefasst werden können.

  Nachdem du die Terme, die zusammengefasst werden können, markiert hast, kannst du sie hintereinander schreiben und zusammenfassen.

  1. Wir starten mit dem Term $3x+4y-7xy+7+3y-x-5x^2-5$. Nun sortieren wir die Terme nach ihrer Gleichartigkeit. Das ergibt den Term $3x-x+4y+3y+7-5-7xy-5x^2$. Nun kannst du zusammenfassen zu $2x+7y+2-7xy-5x^2$.
  2. Wir starten mit dem Term $5xy+7x-7+7+3x-4y-5y^2+2y$. Umsortieren ergibt $7x+3x-4y+2y-7+7+5xy-5y^2$. Auch diesen Term kannst du vereinfachen zu $10x-2y+5xy-5y^2$.
  3. Wir beginnen mit $12-3x-5y^2+8x-6xy-7y+2y-8$. Umsortieren führt zu $-3x+8x-7y+2y+12-8-5y^2-6xy$. Fasse die gleichartigen Terme zusammen: $5x-5y+4-5y^2-6xy$.

  Du kannst an jedem der Beispiele erkennen, dass schließlich die Koeffizienten, also die Faktoren vor den Variablen, addiert oder subtrahiert werden.

  Du kannst beim Üben gleichartige Terme immer mit der gleichen Farbe markieren, dann fällt das Zusammenfassen etwas leichter.

• Fasse die Terme zusammen.

  Tipps

  Du kannst Terme nur dann zusammenfassen, wenn sie gleichartig sind.

  Denke daran: Das Kombinieren von Pinguinen und Haien ist schiefgelaufen.

  Du kannst auch Zahlen zusammenfassen, wenn sie nicht gemeinsam mit einer Variablen als Produkt auftauchen.

  Betrachte zum Beispiel $2+x+7 = 9 + x$.

  Lösung

  Ganz wichtig: Erschaffe keine Haiguine. Das heißt, Du darfst Terme nur dann zusammenfassen, wenn sie gleichartig sind.

  Das bedeutet, dass nur die folgenden Terme zusammengefasst werden dürfen:

  • $3x-4x=(3-4)x=-1x=-x$: Du siehst, hier werden die Koeffizienten $3$ und $4$ subtrahiert.
  • So kann auch $3y-4y$ zusammengefasst werden zu $-y$.
  • Du kannst auch Zahlen ohne Variablen zusammenfassen: $3-4=-1$

  Du kannst $3x-4y$ nicht zusammenfassen, da hier $x$ und $y$ vorkommen, also verschiedenartige Terme.

  Übrigens: $2x$ ist eine Schreibweise für $2\cdot x$. Das Malzeichen zwischen Koeffizienten (hier die $2$) und der Variablen (hier $x$) wird oft weggelassen. Man hat sich darauf geeinigt, dass das Hintereinanderschreiben von einer Zahl und einer Variablen als Multiplikation gewertet wird.

• Beschreibe, wann du Terme zusammenfassen kannst.

  Tipps

  Die folgenden Terme kannst du nicht zusammenfassen (also addieren oder subtrahieren):

  • $2x$ und $3y$,
  • $2$ und $3y$ sowie
  • $3y$ und $5$.

  Diese Terme kannst du zusammenfassen:

  • $2x+3x=5x$,
  • $2-3=-1$ sowie
  • $3y+5y=8y$.

  Merke dir: Fasse niemals Terme zusammen, die verschiedenartig sind.

  Unter „Zusammenfassen“ versteht man hier Addieren oder Subtrahieren.

  Lösung

  Merke dir: Fasse niemals Terme zusammen, die verschiedenartig sind.

  Mache nicht den gleichen Fehler wie Dr. Evil und versuche, Haiguine zu erschaffen.

  Für die Mathematik bedeutet das, dass du nur Terme zusammenfassen darfst, die gleichartig sind.

  Das heißt: Du darfst Terme nur dann addieren oder subtrahieren, wenn sie gleichartig sind.

  Du darfst beispielsweise $4x + 7x$ zu $11x$ zusammenfassen.

  Der Term $3a + 2b$ lässt sich jedoch nicht weiter zusammenfassen.

  Zusatz: Du darfst Terme, die verschiedenartig sind, durchaus multiplizieren.

  $2x\cdot 3y=6xy$

• Untersuche die folgenden Terme.

  Tipps

  Beachte: Fasse nur gleichartige Terme zusammen.

  Zwei Terme werden dabei als gleichartig betrachtet, wenn sie dieselbe(n) Variable(n) enthalten.

  Wichtig ist dabei auch der Exponent der Variablen. Beispielsweise sind die Terme $4x$ und $3x^2$ nicht gleichartig.

  Hier siehst du zwei Beispiele für das Distributivgesetz:

  • $3(2x-y)=3\cdot 2x-3y=6x-3y$ und
  • $(x+y)\cdot(-2)=-2x-2y$.

  Du multiplizierst also den Faktor vor (oder hinter) der Klammer mit jedem Term in der Klammer.

  Wenn du Terme zusammenfasst, addierst oder subtrahierst du die Koeffizienten. Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

  $7x+3x-8x=(7+3-8)x=2x$.

  Die Terme müssen dafür gleichartig sein, also dieselbe(n) Variable(n) beinhalten.

  Lösung

  Da haben sich die beiden Wissenschaftler ganz schön schwere Aufgaben einfallen lassen.

  Dr. Evil's Term: $3(x-6)+4x-4(x+y)+8y+12$

  • Er wendet das Distributivgesetz an:

  $\begin{array}{rcl} &3x-3\cdot6+4x-4x-4y+8y+12\\ =&3x-18+4x-4x-4y+8y+12\end{array}$

  • Nun sortiert er die Terme so, dass gleiche Terme hintereinander stehen: $3x+4x-4x-4y+8y-18+12$.
  • So kann er die Terme leichter zusammenfassen zu $3x-4y-6$.

  Prof. Knevels Term: $12x-3(x-y)+8+2y+4(2x+3y)-5$

  • Auch er wendet zunächst das Distributivgesetz an: $12x-3x+3y+8+2y+4\cdot 2x+4\cdot 3y-5=12x-3x+3y+8+2y+8x+12y-5$.
  • Nun ordnet er die Terme so an, dass gleiche Terme hintereinander stehen: $12x-3x+8x+3y+2y+12y+8-5$.
  • Zuletzt kann er die Terme zusammenfassen zu $17x+17y+3$.

  Puh, das war ganz schön viel Arbeit. Die beiden Wissenschaftler entscheiden sich, dass es vielleicht doch einfacher ist, Pinguine und Haie zu kombinieren. Sie starten einen neuen Versuch. Da sind wir mal gespannt, was dabei herauskommt.