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Spannweite, Standardabweichung und Varianz

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Martin Wabnik
Spannweite, Standardabweichung und Varianz
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Beschreibung Spannweite, Standardabweichung und Varianz

Inhalt

Spannweite, Standardabweichung und Varianz

Wenn Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler Experimente durchführen, wiederholen sie diese oft viele Male, um sie statistisch analysieren zu können. Eine solche Reihe von Experimenten nennt man auch eine Messreihe. Jede Messreihe hat die Messergebnisse $x_i$ mit einem Mittelwert $\bar{x}$. Die Statistik beschreibt die Streuungen der Messergebnisse unter anderem mit den drei Streuungsparametern Spannweite, Varianz und Standardabweichung.

Die Spannweite

Das Streuungsmaß Spannweite $R$ ist nichts anderes als der Abstand zwischen dem niedrigsten und dem höchsten Messwert einer Verteilung bzw. Stichprobe von Messwerten. Es gilt:

$R = x_{max} - x_{min}$

Die Spannweite $R$ wird auch Range oder Variationsbreite genannt.

Die Varianz und die Standardabweichung

Die Standardabweichung
Die Standardabweichung $s$ ist das wichtigste Streuungsmaß in der Statistik. Sie beschreibt den durchschnittlichen Abstand aller gemessenen Werte $x_i$ einer Variablen vom Mittelwert $\bar{x}$.

Die Formel für die Standardabweichung $s$ ist:

$s = \sqrt{\frac{\sum\limits_{n}^{i=1} {(x_i - \bar{x})}^2}{n-1}}$

mit: $n =$ Zahl der Messungen, $\bar{x} =$ Mittelwert, $x_{i} =$ einzelner Messwert

Anstatt $s$ wird als Symbol für die Standardabweichung auch $SD(x)$ oder $\sigma$ verwendet. Genau gesehen bezieht sich hier die Standardabweichung auf die Stichprobe der Messungen ($n-1$) und nicht auf die Gesamtheit der Messungen.

Die Varianz

Die Varianz beschreibt die quadrierte durchschnittliche Entfernung der Messwerte vom Mittelwert und ist damit kurz gesagt die quadrierte Standardabweichung.

Die Formel für die Varianz $s^{2}$ ist:

$s^{2} = \frac{\sum\limits_{n}^{i=1} {(x_i - \bar{x})}^2}{n-1}$

mit: $n =$ Zahl der Messungen, $\bar{x} =$ Mittelwert, $x_{i} =$ einzelner Messwert

Anstatt $s^{2}$ wird für die Varianz auch $Var(x)$ geschrieben. Eine wichtige Eigenschaft der Varianz gegenüber der Standardabweichung ist, dass sich positive und negative Abweichungen vom arithmetischen Mittel wegen der Quadrierung nicht gegenseitig neutralisieren können. Allerdings kann die Quadrierung manchmal nicht sinnvolle Einheiten erzeugen.

Dieses Video

Das Video stellt dir die Streuungsgrößen Spannweite, Standardabweichung und Varianz mit den Berechnungsformeln vor. Neben Video und Text findest du außerdem Übungen.

Transkript Spannweite, Standardabweichung und Varianz

Hallo. Kommen wir zu einem weiteren Streuungsmaß. Wir hatten schon die Varianz und jetzt kommt die Standardabweichung. Und wie du unschwer erkennen kannst, ist die Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz. Das ist schon alles dazu. Deshalb die Varianz heißt s2, die Wurzel daraus folgerichtig heißt dann s. Was ist dazu zu sagen? Warum macht man so etwas? Wir haben hier gesagt, dass Abweichungen vom Mittelwert, die jetzt weiter vom Mittelwert weg liegen als andere, also quasi Messwerte, die sich am Rand der Grenzenmessung befinden hier stärker ins Gewicht fallen, weil diese Differenzen quadriert werden. Die fallen stärker ins Gewicht als die Messwerte oder die Abweichungen der Messwerte, die näher am Mittelwert dran sind. Also sie fallen überproportional hier ins Gewicht. Das ist hier jetzt, wenn wir die Wurzel aus dem Ganzen ziehen, nicht mehr ganz so. Allerdings muss ich dazu sagen, man kann schon einmal lesen, dass quasi die Wurzel dieser Quadrate hier neutralisiert. Darunter ist natürlich nicht zu verstehen, dass man hier das Quadrat und die Wurzel einfach weglassen kann und die Standardabweichung einfach ohne dem berechnet. Das sind unterschiedliche Rechnungen. Da kommt auch in der Regel nicht dasselbe heraus. Das kann schon einmal sein bei bestimmten Messreihen, dass da dasselbe herauskommt. In der Regel ist es aber nicht so. Man rechnet ja auch etwas anderes. Also damit es irgendwie sinnvoll ist, müsste man hier natürlich dann die Beträge bilden, wenn man das Quadrat weglässt und die Wurzel weglässt. Aber auch dann ist eben nicht das Ergebnis die Standardabweichung, sondern etwas Anderes. Und ich sage das deshalb so deutlich, weil doch häufiger Menschen der Ansicht sind, dass Folgendes gleich sei: Wenn wir nämlich irgendwelche Zahlen quadrieren a2+b2+c2 zum Beispiel und diese Quadrate alle addieren, dann können wir daraus die Wurzel ziehen und dann gibt es doch eine erhebliche Anzahl von Menschen, die sagen: Dann kann ich doch gleich einfach a+b+c rechnen, dann ist das doch das Gleiche. Und das ist nicht der Fall. Das ist nicht das Gleiche in der Regel. Also das solltest du nicht schreiben, weil sonst bekommen Ihre Gnaden Herzversagen. Das ist nicht das Gleiche hier, und deshalb ist es bei der Standardabweichung so, dass man nicht das Quadrat und die Wurzel einfach weglassen kann. Eine kleine Sache noch. Eigenschaften der Standardabweichung. Da ist Folgendes zu sagen: Wir hatten schon bei der Varianz, dass man zu allen Messwerten eine Zahl addieren kann, positiv oder negativ, ist egal. Dann ändert sich die Varianz nicht. Entsprechend ändert sich die Standardabweichung dann auch nicht. Allerdings hatten wir bei der Varianz die Situation, dass, wenn wir alle Messwerte mit b multiplizieren, also wenn wir statt xi, b×xi nehmen, dann müssen wir die Varianz mit b2 multiplizieren. Oder wir erhalten dann das b2-fache der ursprünglichen Varianz. Bei der Standardabweichung, das mache ich hier jetzt mal mit S., weil es sonst nicht ganz hinpasst. Bei der Standardabweichung ist es ein kleines bisschen anders, wenn wir die Messwerte alle mit einer Zahl b multiplizieren, dann folgt daraus - ja, da kann ich vielleicht einen richtigen Folgungspfeil machen hier mit dem Doppelstrich - dann folgt daraus, dass die Standardabweichung auch einfach mit b multipliziert werden muss. Man kann auch sagen, wenn wir jetzt die Wurzel daraus ziehen, dann hat man b×s. Da geht das, wenn das hier multipliziert wird. Also nicht das, was ich gerade bei den Summen vorgemacht habe. Das ist halt eine Eigenschaft der Standardabweichung und mehr möchte ich an der Stelle auch dazu gar nicht sagen. Das wird uns noch sehr häufig beschäftigen. Deshalb hier erst einmal nur so die Erklärung, was es ist. Dann gibt es weitere Streuungsmaße, nämlich die, die alle gleich sind hier, das ist die Spannweite, die Variationsbreite oder Range genannt. Was ist das? Da brauche ich gar nicht viel dazu zu sagen. Man rechnet größter Messwert minus kleinster Messwert, das ist die Spannweite. Eigenschaften, die sich daraus ergeben, glaube ich, sind offensichtlich, brauche ich auch nichts weiter dazu zu sagen. Das war es dazu. Viel Spaß. Tschüss.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. gut

    Von Doggy , vor 5 Monaten
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