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Quadratische Gleichungen – Normalform

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen – Normalform
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen – Normalform

Herzlich Willkommen! Wir beschäftigen uns in diesem Video mit der Normalform einer quadratischen Gleichung. Wir wissen bereits, was man unter einer quadratischen Gleichung versteht. Eine Gleichung ist eine quadratische Gleichung, wenn der höchste Exponent der Variablen eine 2 ist. In der Mathematik gibt es verschiedene Formen einer quadratischen Gleichung. Was ist nun die Normalform? Wie sieht sie aus und was macht sie so besonders? Wir werden dir in diesem Video zeigen, wie eine quadratische Gleichung aussieht, welche sich in der Normalform befindet.

Transkript Quadratische Gleichungen – Normalform

Hallo. Nachdem wir also wissen, was quadratische Gleichungen sind, müssen wir uns an die Idee gewöhnen, dass es verschiedene Formen quadratischer Gleichungen gibt. Z. B. wenn jetzt hier in der Mitte das Gleichheitszeichen ist, dann könnten also auf beiden Seiten ein x2 stehen oder mehrere davon z. B. das wäre eine Form, alle x’e könnten auf der linken Seite stehen oder auf der rechten oder was weiß ich. Das sind unterschiedliche Formen, in denen so eine quadratische Gleichung vorliegen kann. Nur zur Wiederholung eben, eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable, bei der der höchste Exponent der Variablen eine 2 ist. Es kommt also kein x3 vor, falls x jetzt die Variable ist, kommt kein x3 vor, kein x4 es kommt aber ein x2 vor und der Rest ist dann egal, dann ist es eine quadratische Gleichung. Die unterschiedlichen Formen, in denen so eine Gleichung vorliegen kann, sind bis auf sehr wenige nicht weiter bedeutend, deshalb haben sie auch keine besonderen Namen, aber es gibt eine Form, die sehr interessant ist, und die uns auch noch weiter beschäftigen wird, und das ist die Normalform. Die Normalform geht folgendermaßen. Sie beginnt mit einem x2. Schöner geht es nicht. Hier links mit einem x2 beginnt die Normalform. Vor dem x2 steht nichts weiter, das versteht sich von selbst, wenn sie damit beginnt, sonst würde sie ja mit was anderem beginnen. Ich will darauf hinaus, kein Koeffizient steht hier vor kein 2x2 oder 3x2. Man könnte hier natürlich eine 1 einsetzen, 1×x2, das geht auch, manchmal ist das sinnvoll. In der Regel wird es aber weggelassen, deshalb können wir uns drauf einigen, vor dem x2 steht nichts und danach kommt ein Pluszeichen und danach kommt dann eine Zahl, hier dargestellt durch das P. Für P kann man irgendeine Zahl einsetzen, dann folgt also hier nach dem Pluszeichen eine Zahl. Dann kommt ×x, hier kommt ein 2. x hin, nicht wahr. Kein x2 übrigens, hier steht nur x. Und dann kommt ein Pluszeichen und ein Q, also irgendeine Zahl, die kann auch genauso groß sein wie P, das ist völlig egal, hier steht eine Zahl und das Gleichheitszeichen und dann kommt eine 0. Das ist die Normalform einer quadratischen Gleichung. Und dann möchte ich jetzt gleich mal ein Beispiel dazu zeigen. Das Beispiel geht so: x2, das kann ich nicht ändern. Aber ich kann jetzt hier das, das Pluszeichen kann ich auch nicht ändern, aber ich kann jetzt hier für das P jetzt eine Zahl einsetzen. Z. B. eine 2. Warum nicht, das steht da x2+2×x+, was könnte ich noch nehmen, noch eine Zahl, völlig egal, die 7. Und dann =0. Was hier noch interessant ist zu erwähnen, sind mehrere kleinere Möglichkeiten, ich könnte z. B. statt dieser 2 hier eine -2 einsetzen. Das geht, das ist kein Problem, dann brauche ich aber eine Klammer. Dann steht hier -2 und hier steht weiter das Pluszeichen, da ist es. Das ist zwar jetzt eine etwas umständliche Formulierung, also x2+(-2)x+7=0 aber es wäre dann auch die Normalform. Diese Gleichung hier unten steht hier in Normalform. Die Normalform schreibt man normalerweise, falls hier eine -2 steht, so: -2×x+7=0. Das ist trotzdem die Normalform, auch wenn hier jetzt kein Pluszeichen mehr steht, das würde man normalerweise weglassen, wenn da eine negative Zahl folgt. Wenn man für P also eine negative Zahl einsetzt, bei Q würde man das auch machen, wenn jetzt hier -7 stehen würde, würde man meistens nicht +(-7) schreiben. Dann ist es aber trotzdem die Normalform. Was übrigens auch eine Normalform ist, was vielleicht etwas ungewöhnlich ist, aber zählt zur Normalform, ist, wenn hier eine 0 steht. Hier darf eine 0 stehen, also z. B. kann man hier schreiben x2+0×x+0. Man kann normalerweise 0×x weglassen hier, wenn es addiert wird, weil 0×x=0 ist und wenn hier eine 0 addiert wird, auch noch, dann passiert da nichts, das Ergebnis ändert sich nicht. Das könnte man weglassen. Ist dann immer noch die Normalform. Ist ein extremes Beispiel, sehe ich ein, ich wollte aber nur sagen, dass das aber auch zur Normalform gehört. Und normalerweise gibt man eben die Normalform an als x2+p+q=0 und für P und Q kannst du irgendwelche Zahlen einsetzen. Das war es zur Normalform, ganz normal sag ich jetzt tschüss bis bald!  

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Hilfreich

    Von Maria S., vor mehr als einem Jahr
  2. Wunderbar gemaht. Allergrößten Respekt.

    Von Jonas Heintze, vor etwa 5 Jahren
  3. cool

    Von Tbraese, vor etwa 5 Jahren
  4. @Carsten W.:
    Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut. Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren Support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Martin B., vor etwa 6 Jahren
  5. Im Viedeo ist ein Fehler. Ungefär in der Mitte war kein Ton mehr, aber zum Ende hin war der Ton wieder da. Sonst sehr gut gemacht.

    Von Carsten W., vor etwa 6 Jahren
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Quadratische Gleichungen – Normalform Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen – Normalform kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie eine quadratische Gleichung in Normalform aussieht.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung in Normalform ist auf jedem Fall eine quadratische Gleichung.

    In einer quadratischen Gleichung hat die Variable als höchsten Exponenten die $2$.

    $4x^2+2x-3=0$ ist eine quadratische Gleichung, allerdings keine in Normalform.

    Lösung

    Unter einer quadratischen Gleichung mit der Variablen $x$ versteht man eine Gleichung, in welcher die Variable höchsten den Exponenten $2$ hat.

    Was ist nun eine quadratische Gleichung in Normalform?

    • Bei einer Normalform steht auf der rechten Seite $0$.
    • Der Koeffizient vor dem quadratischen Term $x^2$ ist $1$.
    • Die Koeffizienten $p$ und $q$ können beliebig sein, also auch $0$.
    Die Normalform der quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus: $x^2+px+q=0$.

  • Bestimme $p$ und $q$ in den Beispielen.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet $x^2+px+q=0$.

    Vergiss beim Bestimmen von $p$ und $q$ das Vorzeichen nicht.

    Womit muss man $x$ multiplizieren, damit dieser Term nicht mehr auftaucht?

    $p$ und $q$ können auch negativ oder $0$ sein.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet:

    $x^2+px+q=0$.

    Man könnte nun die Beispiele direkt darunter schreiben und so $p$ und $q$ bestimmen. Dabei muss man auf das Vorzeichen achten:

    1. $x^2+2x+7$. Hier ist $p=2$ und $q=7$.
    2. $x^2-2x+7=0$. Hier ist $p=-2$ und $q=7$.
    3. $x^2=0$. Hier ist $p=0$ und $q=0$. Auch dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform.

  • Entscheide, ob eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegt.

    Tipps

    Damit eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegt, muss die Gleichung quadratisch sein.

    Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet $x^2+px+q=0$.

    Beachte, dass in der Normalform auf der rechten Seite $0$ steht.

    Jede quadratische Gleichung kann in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Äquivalenzumformungen umgeformt werden.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet:

    $x^2+px+q=0$.

    Es liegt also keine quadratische Gleichung in Normalform vor, wenn

    • keine quadratische Gleichung vorliegt oder
    • vor dem $x^2$ ein Faktor $\neq 1$ steht oder
    • auf der rechten Seite nicht $0$ steht.
    Jede beliebige quadratische Gleichung kann in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Äquivalenzumformungen umgeformt werden.
    • $x^2-2x+3=0$ ist eine quadratische Gleichung in Normalform.
    • $\frac12 x^2-2x+3=0$ ist keine quadratische Gleichung in Normalform, da vor dem $x^2$ der Faktor $\frac12$ steht. Durch Multiplikation mit $2$ käme man zu $x^2-4x+6=0$ und dies ist eine Normalform.
    • $2x+3=0$ ist eine lineare Gleichung.
    • $2x^2+3=0$ ist keine quadratische Gleichung in Normalform. Division durch $2$ würde zu $x^2+1,5=0$ führen. Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform.
    • $x^2+1,5=4$ ist keine quadratische Gleichung in Normalform, da rechts vom Gleichheitszeichen nicht $0$ steht. Durch Subtraktion von $4$ gelangt man zu der Normalform $x^2-2,5=0$.
    • $x^2-2,5=0$ ist eine quadratische Gleichung in Normalform.

  • Leite aus der quadratischen Gleichung eine quadratische Gleichung in Normalform her.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet:

    $x^2+px+q=0$.

    Forme die Gleichung zunächst so um, dass $0$ auf der rechten Seite der Gleichung steht.

    Ist der Faktor vor dem $x^2$ eine $1$, dann bist du fertig.

    Ansonsten musst du durch den Faktor teilen.

    Achte darauf, dass sowohl zu $p$ als auch zu $q$ auch die Vorzeichen gehören.

    Zum Beispiel sind in der Normalform $x^2-3x+4=0$ die Koeffizienten $p=-3$ und $q=4$.

    Lösung

    Betrachtet wird die quadratische Gleichung

    $3x^2-2+3x=2+4x+x^2$.

    Wie sieht eine quadratische Gleichung in Normalform aus?

    $x^2+px+q=0$.

    Zunächst können also die Terme, welche sich auf der rechten Seite der Gleichung befinden, durch Subtraktion auf die linke Seite gebracht werden:

    $3x^2-2+3x=2+4x+x^2~\Leftrightarrow~2x^2-x-4=0$.

    Die einzelnen Summanden wurden nach der Größe der Exponenten sortiert.

    Zur quadratischen Gleichung in Normalform fehlt nur noch der Faktor $1$ vor dem $x^2$. Man muss also durch den Faktor $2$ vor dem $x^2$ teilen:

    $2x^2-x-4=0~\Leftrightarrow~x^2-0,5x-2=0$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Hier ist $p=-0,5$ und $q=-2$.

  • Beschreibe, was eine quadratische Gleichung in Normalform ist.

    Tipps

    Was bedeutet Quadrat?

    $2^2$ liest man „Zwei zum Quadrat“.

    $2x-5x^2+13=23-x-24x^2$

    ist zum Beispiel eine quadratische Gleichung. Aber es liegt keine Normalform vor.

    $2x-5x^5+13=23-x-24x^2$ ist zum Beispiel keine quadratische Gleichung.

    Lösung

    Was ist eine quadratische Gleichung?

    Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in welcher der höchste Exponent der Variablen eine $2$ ist. Dieser darf also nicht $3$ oder $4$ sein.

    Die Variable kann auf beiden Seiten der Gleichung auftauchen. Es gilt einzig die Einschränkung an den höchsten Exponenten der Variablen.

    $2x-5x^2+13=23-x-24x^2$

    ist zum Beispiel eine quadratische Gleichung.

    Soll eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegen, so muss auf einer der beiden Seite eine $0$ stehen. Ansonsten darf vor dem $x^2$ nur eine Zahl stehen, nämlich die $1$.

  • Leite eine quadratische Gleichung in Normalform her.

    Tipps

    Du musst nur die Gleichung aufstellen. Die Lösung der Gleichung ist nicht erforderlich.

    Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ hat den Flächeninhalt $A=a^2$.

    Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $A=a\cdot b$.

    Eine quadratische Gleichung in Normalform hat die Gestalt:

    $x^2+px+q=0$.

    Lösung

    Der Flächeninhalt des Quadrates ist $x^2$.

    Die eine Seite des Rechtecks hat die Länge $x-2$ und die andere $x+2$. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $(x-2)\cdot (x+2)=x^2-4$.

    Da der Flächeninhalt des Quadrates doppelt so groß ist wie der des Rechtecks, führt dies zu der quadratischen Gleichung

    $x^2=2\cdot(x^2-4)$.

    Dies kann man äquivalent umformen zu $x^2-8=0$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform.

    Diese kann man wie folgt lösen:

    $\begin{align*} &&x^2&=2\cdot(x^2-4)\\ &\Leftrightarrow&x^2&=2x^2-8&|&-x^2+8\\ &\Leftrightarrow&8&=x^2&|&\sqrt{~}\\ &\Leftrightarrow&x&=±\sqrt{8}. \end{align*}$

    Auf die negative Lösung kann verzichtet werden, da es sich hier um Längen handelt.

    Die gesuchte Länge für $x$ beträgt also $\sqrt8\approx2,83$.

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