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Potenzschreibweise – Aufgabe (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik

Potenzschreibweise – Aufgabe (2)

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Potenzschreibweise – Aufgabe (2)

Wie wir ja bereits festgehalten haben, hat die Mathematik ihre eigene Sprache und eigene Schreibweise ( Notation ) zur Darstellung von mathematischen Rechnungen, funktionalen Zusammenhängen und Zahlen. Im letzten Video haben wir bereits die wissenschaftliche Schreibweise für lange Dezimalzahlen kennen gelernt. Dazu wurde die Zehnerpotenz verwendet. Hierzu möchte ich nun noch ein weiteres Beispiel vorrechnen. Die Zahl 0,000964 • 107 soll in die Form 9,64 • 10^? gebracht werden. Dazu muss man die Zahl umformen. Wie das funktioniert, siehst du im Video!

Potenzschreibweise – Aufgabe (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzschreibweise – Aufgabe (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche der Schreibweisen die wissenschaftliche Schreibweise ist.

    Tipps

    Bei der wissenschaftlichen Schreibweise folgt auf eine Dezimalzahl mit einer Stelle vor dem Komma ungleich $0$ und mindestens einer Nachkommastelle, ein Multiplikationszeichen und dann eine Zehnerpotenz mit ganzzahligem Exponenten.

    Jede der oben angegebenen Darstellungen steht für die gleiche Zahl.

    Die wissenschaftliche Schreibweise einer Zahl ist eindeutig.

    Lösung

    Nicht jede Darstellung einer Zahl ist eine wissenschaftliche Darstellung.

    Bei einer wissenschaftlichen Darstellung wird eine Zahl als Produkt einer Dezimalzahl sowie einer Zehnerpotenz mit ganzzahligem Exponenten dargestellt. Dabei hat die Dezimalzahl genau eine Stelle ungleich $0$ vor dem Komma und mindestens eine Nachkommastelle.

    Die wissenschaftliche Schreibweise lautet:

    $9,64\cdot 10^3$.

  • Beschreibe, wie die gegebene Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise dargestellt werden kann.

    Tipps

    Verwende die Rechenregel für die Multiplikation von Potenzen:

    $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$.

    Beachte, dass in der wissenschaftlichen Darstellung die Dezimalzahl, genau eine Stelle vor dem Komma, diese muss ungleich $0$ sein, und mindestens eine Nachkommastelle, besitzt.

    Wenn du wissen willst, mit welcher Zehnerpotenz $9,64$ multipliziert werden muss, um $0,000964$ zu erhalten, kannst du zählen, um wie viele Stellen das Komma nach links verschoben werden muss.

    Lösung

    In dieser Aufgabe soll Schritt für Schritt geklärt werden, wie eine gegebene Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise dargestellt werden kann:

    $a,bcd...\cdot 10^?$.

    Die obige Zahl $0,000964\cdot 10^7$ soll in der wissenschaftlicher Schreibweise aufgeschrieben werden:

    1. Zunächst schaut man sich den Faktor vor der Zehnerpotenz an. Dieser ist $9,64$.
    2. $0,000964=9,64\cdot 10^{-4}$ und somit ist
    3. $0,000964\cdot 10^7= 9,64\cdot 10^{-4}\cdot 10^7$.
    4. Nun kann verwendet werden, dass Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden, indem die Basis beibehalten wird und die Exponenten addiert werden: $10^{-4}\cdot 10^7=10^{-4+7}=10^3$.
    Die gesuchte Darstellung lautet dann:

    $0,000964\cdot 10^7=9,64\cdot 10^3$.

  • Ordne jeder der gegebenen Zahlen ihre wissenschaftliche Schreibweise zu.

    Tipps

    Beachte: Bei der wissenschaftlichen Schreibweise ist die Zahl vor dem Komma einstellig und ungleich $0$.

    $6,9\cdot 10^2$ ist eine wissenschaftliche Schreibweise für zum Beispiel

    • $690$
    • $69\cdot 10^1$
    • $0,00069\cdot 10^5$.

    Multipliziere gegebenenfalls mit der Zehnerpotenz und forme dann in wissenschaftliche Schreibweise um.

    Lösung

    Jede beliebige Zahl kann in der wissenschaftlichen Schreibweise dargestellt werden. Damit umgeht man die Schreibweise:

    • $0,0...0abc$ bei sehr kleinen Zahlen und
    • $abc0...0$ bei sehr großen Zahlen.
    Die wissenschaftliche Schreibweise lautet dann:

    $a,bc...\cdot 10^?$.

    Die Bedeutung von $a$, $b$, $c$ ergibt sich durch den Abgleich mit der allgemeinen Darstellung:

    • $a$ ist die führende Zahl ungleich $0$, ob vor (bei großen Zahlen) oder hinter (bei kleinen Zahlen) dem Komma.
    • Die darauf folgenden Zahlen sind $b$, $c$, ...
    Jedoch ist nicht jede Schreibweise in der Form $a,bc...\cdot 10^?$ eine wissenschaftliche Schreibweise. Es muss gelten, dass $a$ eine einstellige Zahl ungleich $0$ ist.

    1. $14,1\cdot 10^{-4}=0,00141=1,41\cdot 10^{-3}$.
    2. $0,000141\cdot 10^{-2}=0,00000141=1,41\cdot 10^{-6}$.
    3. $707000\cdot 10^{4}=7070000000=7,07\cdot 10^{9}$.
    4. $7070\cdot 10^{-3}=7,07\cdot 10^{0}$.
  • Vergleiche die Zahlen miteinander.

    Tipps

    Du kannst jede der angegebenen Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise notieren.

    Stimme die Exponenten in der wissenschaftlichen Schreibweise überein, so kannst du an dem Faktor vor der Zehnerpotenz erkennen, welche Zahl größer und welche kleiner ist.

    Bei verschieden Exponenten gilt:

    Die Zahl mit dem größeren Exponenten ist die größere Zahl, unabhängig von dem Faktor vor der Zehnerpotenz.

    Lösung

    Wenn eine Zahl in der Schreibweise $0,000964\cdot 10^7$ und eine andere so angegeben ist: $314\cdot 10^{-3}$, dann kann man mit Hilfe der wissenschaftlichen Schreibweise sofort erkennen, welche der Zahlen größer und welche kleiner ist.

    • Sind die Exponenten identisch, entscheidet der Faktor vor der Zehnerpotenz: $3,14\cdot 10^3<7,07\cdot 10^3$.
    • Ansonsten entscheidet die Größe des Exponenten:
    $3,14\cdot 10^3<7,07\cdot 10^4$,

    aber

    $3,14\cdot 10^3>7,07\cdot 10^2$.

    Die wissenschaftliche Schreibweise mit einer Zehnerpotenz kann somit als Schreibweise mit einer Maßeinheit, dies ist die Zehnerpotenz, verstanden werden.

    1. $278,1\cdot 10^{-5}=2,781\cdot 10^{-2}$ und $0,00123\cdot 10^5=1,23\cdot 10^2$. Somit ist $278,1\cdot 10^{-5}<0,00123\cdot 10^5$.
    2. $2781,0\cdot 10^{-1}=2,781\cdot 10^{2}$ und $0,00123\cdot 10^5=1,23\cdot 10^2$. Somit ist $278,1\cdot 10^{-1}>0,00123\cdot 10^5$.
    3. $0,000002781\cdot 10^{7}=2,781\cdot 10^{1}$ und $1230000\cdot 10^{-5}=1,23\cdot 10^1$. Somit ist $0,000002781\cdot 10^{7}>1230000\cdot 10^{-5}$.
  • Benenne die Regel, die zur Vereinfachung der Zehnerpotenz verwendet wird.

    Tipps

    Ein Term der Form $a^n$ heißt Potenz. Dabei ist

    • $a$ die Basis und
    • $n$ der Exponent.

    Es gibt verschiedene Regeln zum Rechnen mit Potenzen. So zum Beispiel:

    • $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
    • $a^n: a^m=a^{n-m}$
    • $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$
    • $a^n: b^n=(a: b)^n$
    • ...
    Die gesuchte Regel ist dabei.

    Es gilt zum Beispiel:

    $2^3\cdot2^2=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5$.

    Lösung

    Bei der Umformung von $0,000964\cdot 10^7$ gelangt man zu

    $0,000964\cdot 10^7=9,64\cdot 10^{-4}\cdot 10^7$.

    Dies ist noch nicht die wissenschaftliche Schreibweise. Hierfür muss das Produkt der Zehnerpotenzen noch berechnet werden:

    Man kann verwenden, dass Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden, indem die Basis beibehalten wird und die Exponenten addiert werden: $10^{-4}\cdot 10^7=10^{-4+7}=10^3$.

    Also lautet die wissenschaftliche Schreibweise:

    $0,000964\cdot 10^7=9,64\cdot 10^3$.

  • Bestimme zu jeder der Zahlen die wissenschaftliche Schreibweise.

    Tipps

    Du kannst bei jedem der Beispiele die Zahl mit der entsprechenden Zehnerpotenz multiplizieren, das heißt, ein Komma verschieben, und dann die wissenschaftliche Schreibweise herleiten.

    Du kannst alternativ auch die Zahl vor der Zehnerpotenz in wissenschaftlicher Schreibweise darstellen und dann die Zehnerpotenzen multiplizieren.

    Verwende hierzu: $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$.

    Beachte, dass der Faktor vor der Zehnerpotenz in der wissenschaftlichen Schreibweise eine Dezimalzahl ist, bei der vor dem Komma eine einstellige Zahl ungleich $0$ steht.

    Lösung

    Die wissenschaftliche Schreibweise ist eine Darstellungsform von großen oder kleinen Zahlen, welche man häufig bei der Ausgabe von Ergebnissen am Taschenrechner sieht.

    Dabei wird eine Zahl geschrieben als das Produkt aus einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz.

    Die Dezimalzahl setzt sich zusammen aus

    • der führenden Zahl ungleich $0$ der darzustellenden Zahl,
    • einem Komma und
    • den auf die führende Zahl folgende Zahlen.
    Die Bestimmung des Exponenten der Zehnerpotenz ist die eigentliche Aufgabe bei der wissenschaftlichen Darstellungsform.

    1. $51200=5,12\cdot 10^4$. Die Zahl $4$ ergibt sich aus der Anzahl der Stellen hinter der führenden $5$.
    2. $0,00243\cdot 10^3=2,43\cdot 10^{-3}\cdot 10^3=2,43\cdot 10^0$.
    3. $163,84\cdot 10^{-5}=1,6384\cdot 10^2\cdot 10{-5}=1,6384\cdot 10^{-3}$.
    4. $0,000078125\cdot 10^{10}=7,8125\cdot 10^{-5}\cdot 10^{10}=7,8125\cdot 10^5$.
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