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Potenzschreibweise 04:45 min

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Transkript Potenzschreibweise

Hallo, das was ich in den letzten Filmen über die Kommaverschiebung gesagt habe, bei der Multiplikation von Zahlen mit 10ner Potenzen, das mündet jetzt in eine einfache, kleine Definition und zwar: die wissenschaftliche Schreibweise. Wir können Zahlen darstellen, nicht nur einfach irgendwie, sondern auch in wissenschaftlicher Schreibweise. Und das bedeutet - ich nehme wieder irgendwelche Ziffern hier raus - wir haben immer eine Zahl vor dem Komma, dann kommt ein Komma - die 1 steht jetzt hier nur, weil ich eben eine 1 gezogen habe - dann kommt irgendwas nach dem Komma, zum Beispiel die 9. Da können auch noch mehr Nachkommastellen kommen, zum Beispiel die 8 - macht nichts. Aber dann kommt irgendwann ein Multiplikationszeichen. Dann kommt da eine 10 und eine 10ner Potenz zum Beispiel die 3. Das bedeutet diese Zahl hier: 1,98 × 103 steht für die Zahl - ich muss ja nur drei mal das Komma nach rechts verschieben und mir entsprechend viele Nullen dazu denken, das erkläre ich jetzt nicht noch mal, keine Angst. 1, 2, 3, hier hinter ist das Komma, das das schreibt man nicht mehr, wenn nach dem Komma nichts mehr kommt. Das heißt also 1980 hab ich hier so in dieser wissenschaftlichen Schreibweise dargestellt. Hier ist es bei der 1980 kein großes Problem, man braucht die nicht so darzustellen, denn so ist sie auch recht kompakt. Nur wenn man eben sehr sehr viele Nullen hat, oder sehr lange Zahlendarstellungen, dann macht es schon Sinn, das in der wissenschaftlichen Schreibweise zu schreiben.  Noch ein Beispiel möchte ich eben bringen. Ich könnte auch die 4 haben, dann kommt ein Komma. Wissenschaftliche Schreibweise bedeutet eben immer: eine einzige Ziffer vor dem Komma, das heißt, die Einerstelle steht vor dem Komma, danach kommt etwas, oder auch nicht. Zum Beispiel können auch Nullen danach kommen, das macht auch nichts und dann erst die 5 - das ist völlig egal. Aber dann in der wissenschaftlichen Schreibweise  ist immer ein × 10^-8 zum Beispiel. Wenn ich das in der anderen Schreibweise schreiben möchte, muss ich also 8 mal das Komma nach links verschieben. Das bedeutet, ich habe 0,000000004005 8 mal habe ich das Komma nach links verschoben und dann kommen die restlichen Ziffern hierin. Die Zahl die hier steht ist also dieselbe, die hier auch steht. Nur in der unteren Schreibweise ist sie wesentlich unübersichtlicher. Hier weiß ich gleich, was die Stunde geschlagen hat, denn ich sehe hier -8 zum Beispiel in der 10ner Potenz und kann gleich einschätzen, wie groß oder wie klein diese Zahl ist.  Also wissenschaftliche Schreibweise: Einerstelle ist da, Komma ist da, irgendetwas nach dem Komma, eine 10 ist da, also ein Multiplikationszeichen, eine 10 und ein Exponent an dieser 10 - das ist die wissenschaftliche Schreibweise. Übrigens kann man alle Zahlen mit etwas Böswilligkeit dann auch in dieser wissenschaftlichen Schreibweise darstellen. Ich könnte zum Beispiel die 4 auch so darstellen. Dann wird es natürlich etwas umständlicher. Dann könnte ich nämlich schreiben: 4 × 100. 100 ist ja 1 und 4 × 1 = 4. Das wäre die einfache natürliche Zahl 4 in wissenschaftlicher Schreibweise. Oh hier hab ich einen Fehler gemacht, das ist natürlich fatal, ich brauche ja ein Komma und eine 0 noch dazu. Aber man sieht, das ist auch wirklich umständlich jetzt, da kommt man schon gar nicht mehr drauf, wie man das richtig macht. Also das ist die echte wissenschaftliche Schreibweise. Ich brauche immer ein Komma, und wenn nach dem Komma nichts kommt, dann schreibe ich immer noch die 0 hin. Das ist natürlich umständlich. Aber wenn man so eine Zahl hier in der wissenschaftlichen Darstellung schreiben kann, dann ist das schon sehr praktisch. Ja, dann viel Spaß damit. Bis bald, tschüs.

5 Kommentare
  1. Super hat mir geholfen

    Von Lina Z., vor 21 Tagen
  2. Hallo Lasse,
    das Verschieben des Kommas funktioniert so natürlich nur bei der Multiplikation mit einer Zehnerpotenz. Eine ähnlich einfache Regel für die Multiplikation mit der Potenz anderer Zahlen gibt es leider nicht. Da müsste man dann erst die Potenz berechnen und diese dann mit dem Faktor davor multiplizieren.

    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Florian H., vor mehr als einem Jahr
  3. Und wenn es jetzt nicht x10 heißt sondern x3/5 oder so?

    Von Lasse Schleker, vor mehr als einem Jahr
  4. Mir würde ein Video helfen wo man zb kg in g oder mg in g etc umwandeln muss (in der normdarstellung)

    Von Laura2000, vor mehr als 4 Jahren
  5. hat mir sehr geholfen danke

    Von Tanya Elshorst, vor mehr als 4 Jahren

Potenzschreibweise Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzschreibweise kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur wissenschaftlichen Schreibweise.

    Tipps

    $123$ lässt sich in wissenschaftlicher Weise wie folgt schreiben

    $123=1,23\cdot 10^2$.

    Beachte: Vor dem Komma steht nur auf der Einerposition etwas.

    Ein Term der Form $a^n$ heißt eine Potenz.

    Lösung

    Was versteht man unter einer wissenschaftlichen Schreibweise?

    Dies ist eine Darstellungsweise für Zahlen.

    Vor dem Komma befindet sich eine Zahl.

    Nach dem Komma folgen weitere Zahlen.

    Darauf folgt ein Multiplikationszeichen sowie eine Zehnerpotenz mit einem Exponenten.

    Zum Beispiel ist

    $1,23\cdot 10^2=123$.

    Auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht $123$ in der wissenschaftlichen Schreibweise.

    Anmerkung zur Darstellung der Schreibweise auf dem Taschenrechner oder Tabellenkalkulationen.

    Der Taschenrechner oder die Tabellenkalkulation könnte dafür auch $1,23\text{E}2$ ausgeben, dies meint aber nichts anderes als $1,23\cdot 10^2$.

  • Bestimme die korrekte wissenschaftliche Schreibweise.

    Tipps

    Achte auf die Form

    $123=1,23\cdot 10^2$.

    Vor dem Komma steht eine Zahl und hinter dem Komma (mindestens) eine Zahl oder mehrere, gefolgt von einem Multiplikationszeichen und einer Zehnerpotenz.

    Es ist

    • $10^0=1$ und
    • $10^1=10$.

    Auch wenn die ein oder andere Rechnung richtig ist: darum geht es hier nicht; es geht ausschließlich um die korrekte wissenschaftliche Schreibweise.

    Lösung

    Jede beliebige Zahl kann in der Zehnerpotenzschreibweise dargestellt werden.

    Dies ist nicht immer sinnvoll, so würde man zum Beispiel die natürliche Zahl $4$ nicht unbedingt in dieser Form schreiben. Korrekt wäre dennoch die folgende Schreibweise

    $4=4,0\cdot 10^0$.

  • Stelle die jeweilige Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise dar.

    Tipps

    Beachte, dass die Zahl vor dem Multiplikationszeichen nur eine Einerposition besitzt.

    Bei (sehr) großen Zahlen ist der Exponent positiv.

    Bei (sehr) kleinen Zahlen, zum Beispiel $0,000000123$, ist der Exponent negativ.

    Lösung

    Wie kann man sich die wissenschaftliche Schreibweise einprägen?

    Man betrachtet die Zahl, welche umgeschrieben werden soll: $1980$. Die führende Zahl, hier die $1$, steht vor dem Komma und hinter dem Komma folgen ebenso viele Zahlen wie in der Ausgangszahl. Die Nullen am Schluss werden nicht mehr aufgeschrieben: $1,98$.

    Nun folgt ein Multiplikationszeichen: $1,98\cdot $

    und darauf eine Zehnerpotenz: $1,98\cdot 10^?$.

    Welche Zahl gehört in den Exponenten?

    Hierfür kann man bei großen Zahlen die Anzahl der Zahlen, welche auf die führende folgen, bei $1980$ sind dies drei, zählen. Diese Anzahl gehört mit positivem Vorzeichen in den Exponenten: $1,98\cdot 10^3$.

    Ebenso kann man bei (sehr) kleinen Zahlen verfahren: $0,00000004005$.

    Zunächst schreibt man die erste Zahl ungleich hinter dem Komma, hier $4$, vor das Komma. Die folgenden Zahlen gehören hinter das Komma: $4,005$.

    Jetzt folgt ein Multiplikationszeichen sowie eine Zehnerpotenz: $4,005\cdot 10^?$.

    Man kann zählen, an der wievielten Stelle hinter dem Komma die $4$ steht; dies ist in diesem Beispiel die achte Stelle. Diese $8$ gehört mit negativem Vorzeichen in den Exponenten: $4,005\cdot 10^{-8}$.

  • Wende jeweils die wissenschaftliche Schreibweise an.

    Tipps

    Die wissenschaftliche Schreibweise lautet

    $a,bc...\cdot 10^?$.

    Der Exponent ist bei großen (kleinen) Zahlen positiv (negativ).

    Beachte, dass auch positive Zahlen ein Komma haben können.

    Lösung

    Jede beliebige Zahl kann in der wissenschaftlichen Schreibweise dargestellt werden. Damit umgeht man die Schreibweise:

    • $0,0...0abc$ bei sehr kleinen Zahlen und
    • $abc0...0$ bei sehr großen Zahlen.
    Die wissenschaftliche Schreibweise lautet dann

    $a,bc...\cdot 10^?$.

    Die Bedeutung von $a$, $b$, $c$ ergibt sich durch den Abgleich mit der allgemeinen Darstellung:

    • $a$ ist die führende Zahl ungleich $0$, ob vor (bei großen Zahlen) oder hinter (bei kleinen Zahlen) dem Komma.
    • Die darauf folgenden Zahlen sind $b$, $c$, ...
    Die Frage ist jedes Mal, welche Zahl in den Exponenten gehört. Hierfür zählt man
    • bei großen Zahlen die Anzahl der auf die führende Zahl folgenden Zahlen bis zum gegebenenfalls vorhandenen Komma und
    • bei kleinen Zahlen die Stelle hinter dem Komma, auf welcher die führende Zahl sich befindet.
    1. $23450000=2,345\cdot 10^7$
    2. $0,0004567=4,567\cdot 10^{-4}$
    3. $1234,5=1,2345\cdot 10^3$
    4. $0,000000789=7,89\cdot 10^{-7}$

  • Erkläre, wie eine gegebene Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise geschrieben werden kann.

    Tipps

    Allgemein sieht die wissenschaftliche Schreibweise wie folgt aus

    $a,bcd...\cdot 10^?$.

    Was ist $a$? $a$ ist die führende Position der darzustellenden Zahl.

    $b$, $c$, $d$, ... sind die auf die führende Position folgenden Zahlen.

    Welche Zahl gehört in den Exponenten?

    • Bei (sehr) großen Zahlen eine positive und
    • bei (sehr) kleinen eine negative.

    Bei großen Zahlen zählst du die auf die führende Positon folgende Anzahl der Zahlen.

    Bei kleinen Zahlen zählst du die Position, auf welcher sich die führende Zahl befindet.

    Lösung

    In dieser Aufgabe soll Schritt für Schritt geklärt werden, wie eine gegebene Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise dargestellt werden kann:

    $a,bcd...\cdot 10^?$.

    Die obige Zahl $271800000$ soll in der wissenschaftlichen Schreibweise aufgeschrieben werden:

    1. Zunächst schaut man sich die führende $2$ an, diese gehört an die Stelle von $a$, also vor das Komma: $2,$
    2. Danach folgen die weiteren Zahlen, bis nur noch Nullen kommen: $2,718$. Die weiteren Nullen werden nicht aufgeschrieben, denn ansonsten hätte man ja durch die wissenschaftliche Schreibweise keine kürzere Schreibweise.
    3. Nun kommt ein Multiplikationszeichen: $2,718\cdot$,
    4. gefolgt von einer Zehnerpotenz: $2,718\cdot 10^?$.
    5. Um den Exponenten zu bestimmen, zählt man die Stellen hinter der führenden $2$, diese sind $8$: $2,718\cdot 10^8$.
    Dies ist die gesuchte Darstellung:

    $271800000=2,718\cdot 10^8$.

  • Ordne der jeweiligen wissenschaftlichen Schreibweise die zugehörige Zahl zu.

    Tipps

    Beachte:

    • ist der Exponent positiv, handelt es sich um eine (sehr) große Zahl und
    • um eine (sehr) kleine bei einem negativen Exponenten.

    Es ist zum Beispiel

    $1,23\cdot 10^7=12300000$.

    Die Anzahl der Zahlen hinter der führenden $1$ ist sieben, dies ist gerade der Exponent.

    Bei negativen Exponenten kannst du wie folgt vorgehen:

    $1,23\cdot 10^{-7}=0,000000123$.

    Die führende $1$ befindet sich an der siebten Stelle hinter dem Komma.

    Lösung

    Wofür benötigt man eigentlich die wissenschaftliche Schreibweise?

    Eine solche Darstellung ist sinnvoll, wenn es um sehr große Zahlen geht oder um sehr kleine.

    Diese lassen sich auf dem Taschenrechner nicht mehr darstellen, da die Anzahl der Stellen zu groß ist.

    1. $1,41\cdot 10^4$. Dies ist eine große Zahl, da der Exponent positiv ist: $1410...0$. Wie viele Nullen gehören hier hin? $1,41\cdot 10^4=1,41\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=14,1\cdot 10\cdot 10\cdot 10=141\cdot 10\cdot 10=1410\cdot 10=14100$. Da dies sehr aufwändig ist, kann man sich alternativ auch überlegen: An den Anfang der Zahl gehört $141$, dies sind zwei Stellen hinter der führenden $1$, im Exponenten steht jedoch die $4$, also fehlen noch zwei ($2=4-2$) weitere Stellen. An diese schreibt man Nullen: Somit ist $1,41\cdot 10^4=14100$.
    2. $1,41\cdot 10^{-4}$. Dies ist eine sehr kleine Zahl, was man an dem negativen Exponenten erkennen kann. Die Zahl lautet also $0,0...0141$. Nur, auch hier, wie viele Nullen folgen nach dem Komma. Hier kann wie folgt vereinfachen: Die führende $1$ steht an der vierten Stelle hinter dem Komma: $1,41\cdot 10^{-4}=0,000141$.
    3. $2,236\cdot 10^6=2236000$. Die Argumentation verläuft analog zu der in 1.
    4. $2,236\cdot 10^{-6}=0,000002236$. Die Argumentation verläuft analog zu der in 2.