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Potenzgesetze – Zusammenfassung 06:32 min

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Transkript Potenzgesetze – Zusammenfassung

In diesem Video geht es um Potenzgesetze und wir wollen uns mal anschauen, wie man mit denen so rechnen kann. Kurz zur Erinnerung: So sieht eine Potenz aus. Dabei heißt die 2 Basis, die 3 Exponent und die 8 ist die Potenz.  Kommen wir zum 1. Potenzgesetz. 23×25 heißt die 2 wird 3-mal und dann 5-mal mit sich selbst multipliziert, insgesamt also 8-mal. Wir brauchten also nur die 3 und die 5 addieren. Das 1. Potenzgesetz lautet also: am×an=am+n. Wir haben also 2 Potenzen mit gleicher Basis und verschiedenen Exponenten.  Im 2. Potenzgesetz geht es um eine Division von Potenzen. 35/34, können wir auch als Bruch schreiben und dann die Potenz explizit hinschreiben, dann sehen wir, dass sich die 3 4-mal wegkürzt. Also bleibt nur 31 und die 1 hat sich berechnet, indem wir 5-4 gerechnet haben. Das entsprechende Gesetz heißt dann: am/an=am-n. Bei einem Quotienten aus Potenzen mit gleicher Basis werden also die Exponenten subtrahiert.  So jetzt überlegen wir uns mal, was es heißt, wenn der Exponent negativ ist. Wir nehmen die 2 als Basis und schreiben in einer Tabelle die Potenzen zu den verschiedenen Exponenten auf. Man sieht, dass von einer Potenz zur nächsten immer mit 2 multipliziert wird. Laufen wir also an den Potenzen rückwärts, müssen wir immer durch 2 teilen. Demnach ist 20=1 und 2^-1=½. Diese Regel gilt auch allgemein. a0=1 und a^-m=1/am. Überprüfen wir mal, ob dieses Gesetz auch mit den beiden anderen Gesetzen kompatibel ist. Hier erhalten wir durch Kürzen 23/24=½, also 1/21, also 2^-1. Und tatsächlich ist -1=3-4, so wie es nach der 2. Regeln sein musste.  Hat man in dem Nenner einen negativen Exponenten, so formt man diesen als Bruch um, multipliziert mit dem Kehrwert und erhält so in diesem Beispiel 7×x3. Der negative Exponent von unten wandert also als Positiver nach oben. Als Faustregel kann man sich merken, dass Potenzen mit negativen Exponenten auf die andere Seite des Bruchstrichs wandern und der Exponent dann positiv wird. Möchte man jedoch den Bruchstrich los werden, schreibt man alle Exponenten aus dem Nenner mit dem jeweils entgegengesetzten Vorzeichen nach oben. Das Ergebnis bleibt das gleiche.  Im 3. Gesetz geht es um die Potenz eines Produkts. Das Produkt 2×5 wird 3-mal mit sich selber multipliziert. Dabei können wir die einzelnen Faktoren auch ordnen. Es entsteht 23×53. Allgemein haben wir (a×b)m=am×bm. Ein häufiger Fehler ist, dass man in dieser Potenz vergisst, die 3 mit zu quadrieren. Das richtige Ergebnis ist 32×x2=9x2.  Als 4. Gesetz kommt die Potenz eines Bruchs. Schreiben wir das Quadrat von 5/7 als 5/7×5/7, nehmen wir Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, erhalten wir 52/72. Das Gesetz lautet entsprechend (a/b)m=am/bm.  Aber Potenzen können auch selber wieder potenziert werden. Nehmen wir die Potenz (32)3 wird sie also 3-mal mit sich selber multipliziert, das heißt, wir haben 3 Zweierprodukte von 3, also 3×2 wird die 3 mit sich selber multipliziert, also 6-mal. Kommt also 36 raus. Die Formel lautet (am)n=am×n. Man kann auch Wurzeln als Potenzen schreiben. Die n-\sqrt(a)=a1/n und die n\sqrt(am)=am/n. Nun noch ein paar Hinweise. Hat man die Potenz (23)0, so ist das nicht die 0. Potenz von 23, sondern man muss zu erst den Exponenten 30 berechnen und dann 2 hoch Diesen nehmen. Kommt also 21 raus. 1x ergibt immer 1, egal was x ist. 0x ergibt immer 0, außer wenn x 0 ist. 00 ist 1, darauf haben sich die Mathematiker nach langem Streit geeinigt. So zum Schluss möchte ich noch mal eine große Aufgabe vorrechnen. Und zwar möchte ich diesen Bruch so vereinfachen, dass es einfach nur ein Produkt ist aus Potenzen, ohne Wurzeln und ohne Brüche. Zu erst kürzen wir mal das a und schreiben die Wurzeln als Potenzen. Da kriegen wir also 1/x^¼ und 1/x^½. Jetzt schaffen wir die kleinen Brüche weg, indem wir die mit negativen Exponenten schreiben. Also x^-¼, x^-½ und z^-1. Jetzt wenden wir an: Regel 3, Potenz eines Produkts und Regel 5, Potenz einer Potenz. Da ergibt sich 49x2 und y24/4, das heißt, y6. Jetzt schreiben wir alles, was unten steht, nach oben, indem wir jeweils den Exponenten mit dem anderen Vorzeichen versehen. Dabei ordnen wir schon mal gleiche Basen zueinander. Jetzt kommt Regel 1 zum Zug, Produkt von Potenzen mit gleicher Basis, und da addieren wir die Exponenten: -¼, 2 und ½ und das ergibt zusammen 9/4. Und das Ergebnis sieht ja auch schon viel besser aus, als am Anfang. Das war es!

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41 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo,
    ja ich verstehe, was du meinst. Vielen Dank für die Kritik und die Hinweise. Ich sehe es mittlerweile genauso. Man merkt, dass ich unter Zeitdruck stand. Das würde ich beim nächsten Mal anders machen. Momentan habe ich leider keine Zeit, das Video neu zu machen.
    Danke und viel Erfolg! Steve

    Von Steve Taube, vor etwa einem Monat
  2. Default

    ups! Mir sind paar Fehler unterlaufen.
    Ich hoffe, du verstehst was ich meine.
    Tolles Video!!! :)

    Von Toll201133, vor etwa einem Monat
  3. Default

    Eigentlich sehr informativ, aber es wird ZU schnell erklärt worden!
    Man kann die Geschwindigkeit senken, ist aber für mich trotzdem nicht verständlich. Man muss es immer zurückspulen oder stoppen...
    Dadurch kommt man SEHR durcheinander und bekommt nichts mit.
    Ich wünschte, dass der Inhalt des Videos nächstes mal langsam und ruhiger (nicht hektisch) erzählt wird und zB. am Ende der Regel nicht, dass direkt zur nächsten Regel gewendet wird, sondern dass die Formel für paar Sekunden stehen gelassen werden, um es nochmal zu vertiefen. Das Stoppen und Zurückspulen kann sehr nervig sein...

    Von Toll201133, vor etwa einem Monat
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo Fares A.,

    kannst du eine konkrete Frage stellen - vielleicht zu einer Stelle im Video? Dann kann ich dir vielleicht helfen.

    Viele Grüße

    Von Steve Taube, vor etwa 2 Monaten
  5. Default

    hab wie nichts verstanden

    Von Fares A., vor etwa 2 Monaten
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Gediwe,

    ich empfehle dir, das Video langsamer anzuschauen. Rechts neben der Zeitleiste ist ein kleines Tacho-Symbol. Dort kann man die Geschwindigkeit des Videos auf 50% und auf 80% runterregulieren. Außerdem kannst du es ja immer anhalten.

    Ich hoffe, das hilft dir! Viel Erfolg! Steve

    Von Steve Taube, vor 7 Monaten
  2. Default

    Habe so gut wie nichts verstanden, viel zu schnell! :(

    Von Gediwe, vor 7 Monaten
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo C Gehlen,
    ich hatte mir leider zu viel Stoff für das Video vorgenommen.
    Du kannst aber auf dem kleinen Tacho-Symbol neben der Zeitleiste die Geschwindigkeit steuern - auf 80% oder sogar 50% Geschwindigkeit. Außerdem kannst du das Video immer anhalten und dir das Bild nochmal in Ruhe anschauen.

    Ich hoffe, das hilft dir. Viel Erfolg!

    Steve

    Von Steve Taube, vor 7 Monaten
  4. Default

    Viel zu schnell! Hatten sie keine Zeit oder warum rasseln sie alles runter? Ansonsten wäre es bestimmt gut.

    Von C Gehlen, vor 7 Monaten
  5. Default

    RICHTIG GUT !!!

    Von Chakib1, vor mehr als einem Jahr
  6. Default

    hallo

    Von Ser Mueller, vor fast 2 Jahren
  7. Default

    ok perfekt und vielen Dank. Habe das in meiner Hausaufgabe mal vorausgesetzt und gehofft das es stimmt aber da es es ja richtig ist brauch ich mir da keine Sorgen zu machen :)

    Von Moritzm99, vor etwa 2 Jahren
  8. Bewerbungsfoto

    Hallo Moritz,
    die Regel gilt auch für gleiche Exponenten. Dass in der Formel m und n steht, bedeutet nicht, dass m und n verschieden sein müssen. Man kann quasi für beide alles einsetzen, was man möchte, auch zweimal die gleiche Zahl. Also gilt zum Beispiel:
    3² * 3² = 3 hoch 4

    Von Steve Taube, vor etwa 2 Jahren
  9. Default

    gibt es auch eine Regel bei gleichem Exponent ?

    Von Moritzm99, vor etwa 2 Jahren
  10. Bewerbungsfoto

    Hallo Ivoelk,

    ja, alle deine Gleichungen sind korrekt.

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  11. Default

    Hat teilweise geholfen, ich wollte fragen ob folgende Aussagen stimmen: 3^1= 3; 2^1= 2;
    3^0=1; 2^0=1;
    ?

    Von Ivoelk, vor fast 3 Jahren
  12. Giuliano test

    @Ilona Dahmen:
    Deine Schreibweise lässt zwei Varianten zu:
    1) Wurzel { (3+x²)/(x-2) } (also von dem Gesamten) oder
    2) Wurzel { (3+x²)} /(x-2) (nur der Zähler in der Wurzel)
    Welchen Ausdruck du auch gemeint hast, er lässt sich in eine Potenzschreibweise mit 1/2 umformnen, d.h.
    Wurzel (x)= x^(1/2) =x^0,5
    Wir erhalten also für deine Ausdrücke folgende Nicht-Brüche:
    1) (3+x²)^(1/2) * (x-2)^-(1/2)
    2) (3+x²)^(1/2) * (x-2)^-1
    Wenn ein Ausdruck unter dem Bruch steht, dann wird der Exponent negativ.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 3 Jahren
  13. Default

    wie macht man das hier denn mit?
    Wurzel aus (3+x^2)/(x-2)

    Ich habe es so versucht wie sie es gesagt haben aber nicht geschafft.

    Von Ilona Dahmen, vor fast 3 Jahren
  14. Default

    danke*

    Von Ilona Dahmen, vor fast 3 Jahren
  15. Default

    halb halb geholfen aber dnke

    Von Ilona Dahmen, vor fast 3 Jahren
  16. Default

    thx

    Von Der, Der Lehrnt, vor fast 3 Jahren
  17. Default

    Das Video hat mir sehr geholfen :) danke

    Von Deleted User 32417, vor mehr als 3 Jahren
  18. Default

    Ja, danke :)

    Von Stuschud, vor etwa 4 Jahren
  19. Bewerbungsfoto

    Hallo Stuschud,

    das Gesetz (a^b)^c = a^(b*c) gilt für alle Zahlen, nicht nur für c=0.
    Zu deinem 2. Kommentar: Man KANN das Gesetz hier anwenden. Wenn du eine Potenz potenzierst, musst du Klammern setzen, um klarzustellen, was zuerst berechnet werden soll. Es ist zum Beispiel (2^3)^0 = 8^0 = 1. Aber 2^(3^0) = 2^1 = 2. Das hast du ja selbst schon festgestellt. Das Potenzgesetz lautet aber eindeutig so: (a^b)^c = a^(b*c), also (2^3)^0 = 2^(3*0), also 1 = 1. Das Potenzgesetz a^(b^c) = a^(b*c) GIBT ES NICHT! Du hast ja selbst schon ein Gegenbeispiel gefunden...

    Ich hoffe, jetzt ist alles klar!

    Von Steve Taube, vor etwa 4 Jahren
  20. Default

    Gutes Video. Eine Frage: bei 2^(3^0) ist das nicht das selbe wie 2^(3x0) nach den Potenzgesetzen? Dann wäre das Ergebnis doch 2^0 also 1. Ich verstehe zwar auch, wie man auf 2^1 kommt, aber irgendwie verwirren mich die zwei verschiedenen Ergebnisse. Man müsste doch auf beiden Wegen auf dasselbe Ergebnis kommen oder wieso kann man hier nicht das Potenzgesetz 2^a^b=2^(axb) nicht verwenden?

    Von Stuschud, vor etwa 4 Jahren
  21. Default

    Achso, gilt das 5.Potenzgesetz nur bei (2^3)^0 ? Ok dann habe ich das verstanden :) Danke für die gute Erklärung im Video.

    Von Stuschud, vor etwa 4 Jahren
  22. Default

    Also ich meine 0^0 ist nicht definiert!

    Von Sofatutor 3, vor mehr als 4 Jahren
  23. Default

    Hallo,
    ich fand das Video sehr hilfreich, aber an einigen Stellen wäre es besser, du würdest es etwas langsamer erklären...
    Gruß
    Murks

    Von Murks, vor mehr als 4 Jahren
  24. Default

    gut verständlich nur etwas zu schnell

    Von David23, vor mehr als 4 Jahren
  25. Default

    ach so, trotzdem super verständlich erklärt:)

    Von Fibroe, vor mehr als 4 Jahren
  26. Default

    sorry aber bei dem Tempo werden 8klässler nur fertig, wenn sie echt konzentriert sind! ansonsten SUPER

    Von René123, vor fast 5 Jahren
  27. Default

    Sehr sehr gut und verständlich erklärt!
    Nur das nächste Mal bitte ein wenig langsamer!

    Von Moer16, vor fast 5 Jahren
  28. Default

    SUPER. Mehr input

    Von Black Brush, vor fast 5 Jahren
  29. Default

    super, nur etwas zu schnell :)

    Von Sophie Genie, vor fast 5 Jahren
  30. Default

    Schließe mich an: absolut verständlich, etwas langsamer wäre noch komfortabler :)

    Von Vivi10, vor etwa 5 Jahren
  31. Default

    Danke!
    Es war sehr hilfreich.

    Von Peter Amann, vor etwa 5 Jahren
  32. Default

    sehr gut aber etwas zu schnell ;)

    Von Berg, vor mehr als 5 Jahren
  33. Default

    sehr gut aber etwas zu schnell ;)

    Von Berg, vor mehr als 5 Jahren
  34. Default

    alles verstanden und die Übungsaufgabe konnte man auch selbständig lösen mit den Gesetzen. Sehr Übersichtlich gestaltet. Danke!

    Von Durchdetuergeha, vor mehr als 6 Jahren
  35. Default

    erste Sahne

    Von Christian O., vor mehr als 6 Jahren
  36. Default

    gut gemacht

    Von Franansen, vor mehr als 6 Jahren
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