Potenzgesetze – Einführung

Potenzgesetze – Einführung Übung

• Belege die beiden Potenzgesetze zur Multiplikation mit Beispielen.

  Tipps

  Beispiel:

  $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

  Bei einer Potenz gibt der Exponent an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.

  Lösung

  Die beiden Potenzgesetze zur Multiplikation behandeln die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis und die Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten.

  Potenzgesetz zur Multiplikation mit gleicher Basis:
  $\color{#99CC00}{x^m \cdot x^n = x^{m+n}}$
  Wir betrachten als Beispiel die Rechnung $3^2 \cdot 3^4$
  Um das Ergebnis zu ermitteln, schreiben wir zunächst die Potenzen aus:
  $3^2 = \color{#99CC00}{3 \cdot 3}$
  $3^4 = \color{#99CC00}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$
  Wenn wir beide Potenzen multiplizieren, müssen wir die beiden Produkte hintereinanderschreiben:
  $3^2 \cdot 3^4 = \underbrace{3 \cdot 3}_{2~\text{mal}} ~\cdot~ \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{4~\text{mal}}$
  Wir erhalten also ein Produkt mit insgesamt $2+4=\color{#99CC00}{6}$ Faktoren.
  Daher gilt:
  $3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$

  Potenzgesetz zur Multiplikation mit gleichem Exponenten:
  $\color{#99CC00}{x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n}$
  Wir betrachten als Beispiel die Rechnung $2^4 \cdot 3^4$
  Um das Ergebnis zu ermitteln, schreiben wir zunächst die Potenzen aus:
  $2^4 \cdot 3^4 = \color{#99CC00}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \color{black}{~\cdot~} \color{#99CC00}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$
  Wenn wir Faktoren neu ordnen, können wir immer zwei Faktoren zusammenfassen:
  $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2\cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2\cdot 3) \cdot (2 \cdot 3)$
  Wir erhalten also ein Produkt aus vier Faktoren, welche das Produkt $\color{#99CC00}{(2 \cdot 3)}$ sind.
  Daher gilt:
  $2^4 \cdot 3^4=(2 \cdot3)^4 = 6^4$

• Vervollständige die Potenzgesetze.

  Tipps

  Wir können zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, indem wir die Exponenten addieren und die Basis beibehalten.

  Wir können zwei Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren, indem wir die Basen multiplizieren und den Exponenten beibehalten.

  Lösung

  Die Potenzgesetze helfen uns, Terme mit Potenzen zusammenzufassen und zu vereinfachen. Wir können dabei die folgenden Potenzgesetze anwenden:

  Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:
  Wir können zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren, indem wir die Exponenten addieren und die Basis beibehalten. Kurz gefasst:
  $x^m \cdot x^n = x^\color{#99CC00}{m~+~n}$
  Beispiel: $5^3 \cdot 5^5 = 5^{3~+~5} = 5^8$

  Division von Potenzen mit gleicher Basis:
  Wir können zwei Potenzen mit gleicher Basis dividieren, indem wir die Exponenten subtrahieren und die Basis beibehalten. Kurz gefasst:
  $\dfrac{x^m}{x^n} = x^\color{#99CC00}{m~-~n}$
  Beispiel: $\dfrac{3^8}{3^5} = 3^{8~-~5} = 3^3$

  Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten:
  Wir können zwei Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren, indem wir die Basen multiplizieren und den Exponenten beibehalten. Kurz gefasst:
  $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^\color{#99CC00}{n}$
  Beispiel: $5^3 \cdot 3^3 = (5 \cdot 3)^3 = 15^3$

  Division von Potenzen mit gleichem Exponenten:
  Wir können zwei Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren, indem wir die Basen dividieren und den Exponenten beibehalten. Kurz gefasst:
  $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^\color{#99CC00}{\!n}$
  Beispiel: $\dfrac{15^2}{5^2} = \left(\dfrac{15}{5}\right)^2 = 3^2$

  Potenzieren von Potenzen:
  Wir können eine Potenz potenzieren, indem wir die Basis beibehalten und die Exponenten multiplizieren. Kurz gefasst:
  $(x^m)^n = x^\color{#99CC00}{m ~\cdot~ n}$
  Beispiel: $(2^2)^5 = 2^{2 ~\cdot~ 5} = 2^{10}$

• Fasse die Potenzen zusammen.

  Tipps

  Überlege zunächst, ob die Basen gleich sind oder ob die Exponenten gleich sind.

  Potenzgesetzte zur Division:

  $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$

  Lösung

  Die Potenzgesetze geben uns vor, wie wir Potenzen vereinfachen und zusammenfassen können:

  • $x^m \cdot x^n = x^{m~+~n}$
  • $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m~-~n}$
  • $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$
  • $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$
  • $(x^m)^n = x^{m ~\cdot~ n}$

  Da es sich bei unseren Aufgaben nur um Multiplikationen und Divisionen handelt, benötigen wir nur die ersten vier Gesetze.

  Wir betrachten die einzelnen Aufgaben und überlegen, welches Gesetz wir anwenden können:

  Aufgabe 1:
  $3^5 \cdot 4^5 = \square^{\,5}$
  Es handelt sich um eine Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten. Das passende Gesetz lautet:
  $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$
  Wir fassen also die Basen zusammen:
  $3^5 \cdot 4^5 = (3 \cdot 4)^5 = \color{#99CC00}{12}^\color{black}{\,5}$

  Aufgabe 2:
  $\dfrac{7^5}{7^3} = \square^{\,2}$
  Es handelt sich um eine Division von Potenzen mit gleicher Basis. Das passende Gesetz lautet:
  $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m~-~n}$
  Wir fassen also die Exponenten zusammen:
  $\dfrac{7^5}{7^3} =7^{5~-~3} = \color{#99CC00}{7}^\color{black}{\,2}$

  Aufgabe 3:
  $\square^{\,4} \cdot 4^4 = 24^4$
  Es handelt sich um eine Multiplikation. Der Exponent bleibt erhalten. Es geht also um die Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten. Das passende Gesetz lautet:
  $x^n \cdot y^n = (x ~\cdot~ y)^n$
  Die Basen wurden also zu $24$ zusammengefasst. Um die fehlende Basis zu ermitteln, rechnen wir $24:4$ und erhalten:
  $\color{#99CC00}{6}^{\color{black}{\,4}} \color{black}{\cdot 4^4 = 24^4}$

  Aufgabe 4:
  $6^4 : \square^{\,4} = 2^4$
  Es handelt sich um eine Division. Der Exponent bleibt erhalten. Es geht also um die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten. Das passende Gesetz lautet:
  $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$
  Die Basen wurden also zu $2$ zusammengefasst. Um die fehlende Basis zu ermitteln, rechnen wir $6 \cdot 2$ und erhalten: $6^4 : \color{#99CC00}{3}^{\color{black}{\,4}} \color{black}{= 2^4}$

• Wende die Potenzgesetze an.

  Tipps

  Unterscheide:

  • Multiplikation bei gleicher Basis: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
  • Multiplikation bei gleichem Exponenten: $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$

  Beispiel:

  $(5^3)^5 = 5^{3 \cdot 5} = 5^{15}$

  Lösung

  Um Potenzen zu vereinfachen und zusammenzufassen, können wir bei den einzelnen Rechenoperationen Potenzgesetze anwenden:

  • Multiplikation bei gleicher Basis:

  $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$

  • Division bei gleicher Basis:

  $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  • Multiplikation bei gleichem Exponenten:

  $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$

  • Division bei gleichem Exponent:

  $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$

  • Potenzieren:

  $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

  
  

  Wir wenden die Gesetze auf die gegebenen Aufgaben an:

  $3^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$

  $(3^4)^5 = 3^{4 \cdot 5} = 3^{20}$

  $\dfrac{4^5}{4^2} = 4^{5-2} = 4^3$

  $4^3 \cdot 3^3 = (4 \cdot 3)^3 = 12^3$

  $\dfrac{12^4}{3^4} = \left( \dfrac{12}{3} \right)^4 = 4^4$

• Stelle die Potenzen in der ausführlichen Schreibweise dar.

  Tipps

  Der Exponent (die Hochzahl) gibt die Anzahl der Faktoren an:

  $x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \dots x}_{n\text{-mal}}$

  Beispiel:

  $7^5 = \underbrace{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}_{5\text{-mal}}$

  Lösung

  Eine Potenz ist die Kurzschreibweise für eine wiederholte Multiplikation. Den Faktor, welcher mit sich selbst multipliziert wird, schreiben wir dabei nach unten als Basis. Die Anzahl der Faktoren kommt in die Hochzahl, den Exponenten.
  Umgekehrt können wir also auch jede Potenz als Multiplikation ausschreiben, indem wir die Basis als Faktor verwenden und so viele Faktoren notieren, wie der Exponent vorgibt.

  Allgemein gilt: $~x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \dots x}_{n\text{-mal}}$

  Für die Beispiele dieser Aufgabe ergibt sich somit:

  • $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

  Die Zahl $3$ wird $4$-mal mit sich selbst multipliziert.

  • $4^2 = 4 \cdot4$

  Die Zahl $4$ wird $2$-mal mit sich selbst multipliziert.

  • $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

  Die Zahl $2$ wird $4$-mal mit sich selbst multipliziert.

  • $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$

  Die Zahl $2$ wird $3$-mal mit sich selbst multipliziert.

  • $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$

  Die Zahl $5$ wird $3$-mal mit sich selbst multipliziert.

• Überprüfe die Anwendung der Potenzgesetze.

  Tipps

  Rechne immer von innen nach außen. Beginne also immer mit der innersten Klammer.

  Bei einer Multiplikation zweier Brüche rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Die Faktoren im Zähler und die Faktoren im Nenner kannst du dann jeweils vertauschen.

  Lösung

  Um Terme mit Potenzen zusammenzufassen, müssen wir uns an die Potenzgesetze halten. Diese lauten:

  • Multiplikation bei gleicher Basis:

  $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$

  • Division bei gleicher Basis:

  $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  • Multiplikation bei gleichem Exponenten:

  $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$

  • Division bei gleichem Exponent:

  $\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$

  • Potenzieren:

  $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

  Wir überprüfen die Rechnungen:

  Erste Rechnung:
  $\begin{array}{ll} \dfrac{(a^3 \cdot b^3)^4}{b^2} &= \dfrac{a^{12} \cdot b^{12}}{b^2} = a^{12} \cdot b^{12-2} \\ & \\ &= a^{12} \cdot b^{10} \end{array}$
  Dieser Term wurde richtig zusammengefasst.

  Zweite Rechnung:
  $\left( \dfrac{x^8}{x^3} \right) \cdot y^6 \color{red}{~\neq~} \color{black}{\dfrac{(xy)^6}{x^3}}$
  Dieser Term wurde falsch zusammengefasst. Korrekt gehen wir wie folgt vor:
  $\left( \dfrac{x^8}{x^3} \right) \cdot y^6 = x^{8-3} \cdot y^6 = x^5 \cdot y^6 = \dfrac{(xy)^6}{x}$

  Dritte Rechnung:
  $\begin{array}{ll} \left( \dfrac{z^5}{y^5} \cdot \dfrac{1}{z^3} \right)^4 &= \left( \dfrac{z^5}{z^3} \cdot \dfrac{1}{y^5} \right)^4 = \left( z^{5-3} \cdot \dfrac{1}{y^5} \right)^4 \\ & \\ &= \left( \dfrac{z^2}{y^5} \right)^4 = \dfrac{z^8}{y^{20}} \end{array}$
  Dieser Term wurde richtig zusammengefasst.

  Vierte Rechnung:
  $\dfrac{(3^x \cdot 5^x)^4}{15^y} \color{red}{~\neq~} \color{black}15^{\small{\frac{4x}{y}}}$
  Dieser Term wurde falsch zusammengefasst. Korrekt gehen wir wie folgt vor:
  $\begin{array}{ll} \dfrac{(3^x \cdot 5^x)^4}{15^y} &= \dfrac{((3 \cdot5)^x)^4}{15^y} = \dfrac{(15^x)^4}{15^y} = \dfrac{15^{4x}}{15^y} \\ & \\ &= 15^{4x-y} \end{array}$