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Potenzgesetze – Einführung 08:25 min

Textversion des Videos

Transkript Potenzgesetze – Einführung

Hallo! Hier ist Mandy. Heute erkläre ich dir etwas über die Potenzgesetze. In diesem Video erhältst Du einen Überblick über die Potenzgesetze. Möchtest Du die einzelnen Gesetze näher betrachten, dann schaue dir die weiteren Teile an. Als Grundlage für dieses Video musst Du wissen, was eine Potenz ist. Wir definieren die Potenz wie folgt: Ist a eine reelle Zahl und n eine natürliche Zahl, dann ist an = a * a * ... * a. Wobei wir n-mal den Faktor a haben. Beachte hierbei, dass -an nicht das gleiche ist, wie (-a)n.Ich versuche nun die Definition an einem Beispiel zu verdeutlichen. Wir greifen dazu auf bekanntes Wissen zurück. Wir wählen dazu den Term 4 + 4 + 4 + 4 + 4, der den Summanden 4 insgesamt 5-mal enthält. Verkürzt kann man auch schreiben 5 * 4. Die Multiplikation ist also eine Vereinfachung der Addition gleicher Summanden. Wobei die Einschränkung besteht, dass diese Summanden natürliche Zahlen sind. Analog ergibt sich auch die Potenz. So wurde die Potenz als Vereinfachung der Multiplikation gleicher Faktoren definiert. Das heißt zum Beispiel für den Term 2 * 2 * 2, dass man ihn vereinfachen kann zu 2³. Der Faktor bildet dabei die Basis und die Anzahl der Faktoren den Exponenten.Kommen wir nun zu den Bestandteilen einer Potenz. Den Ausdruck an nennt man den Potenzwert oder kurz "die Potenz". Das a bezeichnet die Basis und das n den Exponenten. Für Potenzen gibt es besondere Rechenregeln. Man nennt sie "Potenzgesetze". Dazu wählen wir uns a und b als reelle Zahlen, die ungleich null sind. Sowie m und n, die natürliche Zahlen sind. Dann gilt für die Potenz von Produkten: an * bn = (a * b)n. In Worten ausgedrückt heißt das: Man multipliziert zwei Potenzen mit gleichem Exponenten, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. Für die Potenz von Quotienten gilt: an / bn = (a/b)n. In Worten ausgedrückt heißt das: Man dividiert zwei Potenzen mit gleichem Exponenten, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält. In beiden Fällen haben wir den gleichen Exponenten. Diese Rechenregeln werden in Teil zwei betrachtet. Dann gibt es noch drei weitere Potenzgesetze. So gilt für die Potenz von Potenzen: amn = a(m * n). Das heißt: Man potenziert eine Potenz, in dem man die Basis beibehält und die Exponenten multipliziert. Für das Produkt von Potenzen gilt: am * an = a(m + n). In Worten ausgedrückt, heißt das: Man multipliziert Potenzen mit gleicher Basis, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert. Für den Quotienten von Potenzen gilt: am/an = a(m - n). Dies bedeutet: Man dividiert Potenzen mit gleicher Basis, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert. In diesen drei Potenzgesetzen ist die Basis immer gleich. Diese Rechenregeln werden in Teil drei und vier betrachtet.Dann gibt es noch ein paar Sonderfälle, die betrachtet werden müssen.So gilt für a0, dass das 1 ist. Wobei a ungleich 0 ist. Fast jede Zahl hoch 0 ist also 1. 0 ist dabei ausgenommen, denn 00 ist nämlich nicht definiert. Aber dafür ist 0n definiert. Das ist nämlich 0. Denn 0 * 0 * ... * 0 ist nämlich 0. Die 0 gibt es nämlich n-mal.Ähnlich kann man die Regel 1n = 1 erklären. Denn 1 * 1 * ... * 1 ist 1. Die 1 gibt n-mal.Für a1 kann man auch a schreiben beziehungsweise für a kann man auch a1 schreiben. Das heißt, fehlt der Exponent, so ergänze den Exponenten 1. Dies kann zum Anwenden der Potenzgesetze nützlich sein.Es gibt auch noch eine Regel, die lautet: 1/an = a-n. Hat man also eine Potenz im Nenner, so kann man die zu einem Zähler umschreiben, in dem man vor den Exponenten ein Minus setzt.Gleiches gilt auch andersherum. So gilt: 1/a-n = an.Dann gibt es noch eine weitere Regel, die sich ebenfalls auf das Vorzeichen des Exponenten bezieht. So gilt: (a/b)-n = (b/a)n. Vertauscht man in einer Potenz also den Zähler und den Nenner, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten. Zum Schluss gibt es noch eine wichtige Regel, die Potenzen und Wurzeln verbindet. Potenzieren ist nämlich die Gegenoperation des Wurzelziehens. Man kann einen Wurzelausdruck wie folgt in die Potenzschreibweise umschreiben. Die n-te Wurzel aus a ist gleich a1/n. Man wählt dazu den Radikanden, also die Zahl unter der Wurzel als Basis. Und in den Exponenten schreibt man einen Bruch. Dabei ist der Zähler 1 und der Nenner entspricht dem Wurzelexponenten n. Hierbei darf aber a nicht kleiner als 0 sein. Da man keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen darf.Jetzt hast Du einen Überblick über alle Potenzgesetze und die nötigen Grundlagen erhalten, um dein Wissen weiter zu vertiefen.Und nun sage ich: Bye, bye. Und bis zum nächsten Mal!

11 Kommentare
  1. Sehr übersichtlich

    Von NJNS J., vor etwa 4 Jahren
  2. gutes video :)

    Von S Joseph, vor etwa 5 Jahren
  3. Naja

    Von S H Dombrowski, vor mehr als 5 Jahren
  4. 0 hoch n ist nur definiert, wenn n ungleich 0 ist :-)
    Sonst wären wir ja wieder bei 0 hoch 0.

    Von Tutor 2, vor mehr als 5 Jahren
  5. Was sind reelle Zahlen ?

    Von Kerstin Laubsch, vor fast 6 Jahren
  1. Toll erklärt

    Von Uta Günther, vor fast 6 Jahren
  2. Super erklärt!

    Von Georgi Thomas, vor etwa 6 Jahren
  3. Dankeschön, wow, du hast mir sehr geholfen!

    Von Ertelt Marianne, vor mehr als 6 Jahren
  4. GENIAL! Super aufgebaut! Besser geht's nicht!

    Von Cuibono, vor mehr als 6 Jahren
  5. Das Video war sehr Hilfreich!

    Von Ruut, vor mehr als 6 Jahren
  6. Das Video war sehr Hilfreich!

    Von Ruut, vor mehr als 6 Jahren
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Potenzgesetze – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzgesetze – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was man unter einer Potenz versteht.

    Tipps

    Die Multiplikation ist eine abkürzende Schreibweise für eine Summe, bei welcher der gleiche (natürliche) Summand mehrmals vorkommt.

    Schaue dir das folgende Beispiel an:

    $\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}_{\text{3-mal}}=2^3$.

    • Der wiederkehrende Faktor ist die Basis der Potenz und
    • die Anzahl, wie oft dieser Faktor vorkommt, ist der Exponent.

    Überlege dir bei dem Begriff „Basis“, woher du diesen auch noch kennen könntest.

    Lösung

    Was ist eine Potenz?

    Eine kurze Wiederholung: Die Multiplikation ist eine abkürzende Schreibweise für eine Addition, bei welcher der gleiche (natürliche) Summand mehrmals vorkommt.

    Zum Beispiel ist $4+4+4+4+4=5\cdot 4$.

    Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem ein Faktor mehrmals vorkommt.

    Auch hierfür kann man sich ein Beispiel anschauen

    $\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}_{\text{3-mal}}=2^3$

    • In diesem Beispiel kommt der Faktor $2$ dreimal vor.
    • Der wiederkehrende Faktor $2$ ist die Basis der Potenz und
    • die Anzahl, wie oft dieser Faktor vorkommt, ist der Exponent.
    Ganz allgemein sieht eine Potenz so aus

    $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$

    Die reelle Zahl $a$ ist die Basis und die natürliche Zahl $n$ ist der Exponent. Der Term $a^n$ wird als die Potenz oder der Potenzwert bezeichnet.

  • Bestimme einige spezielle Potenzen.

    Tipps

    Schaue dir die Reihe der Zweierpotenzen an:

    • $2^2=4$
    • $2^3=8$
    • $2^4=16$
    ... der Exponent erhöht sich jeweils um $1$ und der Potenzwert wird immer mit $2$, der Basis, multipliziert.

    Wenn du nun rückwärts gehst, verringert sich der Exponent immer um $1$ und der Potenzwert wird immer durch $2$ dividiert.

    Bei einer Potenz mit der Basis $0$ taucht in einem Produkt $n$-mal der Faktor $0$ auf.

    Beachte, dass $0\cdot 0=0$ ist.

    Bei einer Potenz mit der Basis $1$ taucht in einem Produkt $n$-mal der Faktor $1$ auf.

    Beachte, dass $1\cdot 1=1$ ist.

    Lösung

    Die folgenden speziellen Potenzen sollte man sich einprägen. Diese werden häufig im Zusammenhang mit den Potenzgesetzen benötigt.

    • $a^0=1$.
    • $a^1=a$. Das bedeutet, man kann den Exponenten $1$ auch weglassen oder, umgekehrt, jede Zahl als Zahl hoch $1$ schreiben.
    • $0^n=\underbrace{0\cdot 0\cdot ... \cdot 0}_{\text{n-mal}}=0$ für alle natürlichen Exponenten $n$.
    • $1^n=\underbrace{1\cdot 1\cdot ... \cdot 1}_{\text{n-mal}}=1$.
    negative Exponenten

    • Es ist $a^{-n}=\frac1{a^n}$ und
    • $\frac1{a^{-n}}=a^n$.
    • Wenn man einen Bruch mit einem negativen Exponenten potenziert, kann man auch den Kehrwert des Bruches mit dem positiven Exponenten potenzieren: $\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^{n}$.
    Wurzeln als Potenzen

    Die Wurzel mit dem Wurzelexponenten $n$ kann auch als Potenz geschrieben werden. Dabei ist der Radikand die Basis und der Kehrwert des Wurzelexponenten der Exponent:

    $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$.

  • Gib an, wie man mit Potenzen rechnen kann.

    Tipps

    Mache dir jedes der Gesetze an einfachen Zahlenbeispielen klar.

    Zum Beispiel ist

    $2^3\cdot 2^4=\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}_{\text{3-mal}}\cdot\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}_{\text{4-mal}}$.

    Zähle nun, wie oft der Faktor $2$ insgesamt vorkommt: $3+4=7$ mal.

    Also ist $2^3\cdot 2^4=2^7$.

    Du kannst dir die Potenzgesetze auch in Worten merken: Zum Beispiel

    Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert.

    Achte bei dem Quotient von Potenzen auf die Reihenfolge der Division.

    Lösung

    Potenzen mit gemeinsamem Exponenten

    Potenzen von Produkten

    $a^n\cdot b^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{\text{n-mal}}$.

    Die Reihenfolge der Faktoren beim Multiplizieren darf verändert werden: Es werden jeweils die beiden Faktoren $a$ und $b$ zu einem Produkt zusammen gefasst. Dieses Produkt ist dann wieder selbst ein Faktor, welcher $n$-mal vorkommt:

    $a^n\cdot b^n=\underbrace{(a\cdot b)\cdot ... \cdot (a\cdot b)}_{\text{n-mal}}=(a\cdot b)^n$.

    Gesamt gilt somit

    $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

    In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

    Potenzen von Quotienten

    $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$

    In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

    Potenzen von Potenzen $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Potenzen mit gemeinsamer Basis

    Produkt von Potenzen: Dies kann man sich an einem Beispiel klarmachen:

    $2^3\cdot 2^4=\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}_{\text{3-mal}}\cdot\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}_{\text{4-mal}}$.

    Nun kann man zählen, wie oft der Faktor $2$ insgesamt vorkommt: $3+4=7$ mal.

    Also ist $2^3\cdot 2^4=2^7$.

    Dies kann verallgemeinert werden zu

    $a^n\cdot a^m=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{m-mal}}=a^{n+m}$

    In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert.

    Quotient von Potenzen:

    $\frac{a^m}{a^n}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{\text{m-mal}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}}$.

    Nun können, je nachdem welche Anzahl der Faktoren größer ist, entsprechend viele Faktoren gekürzt werden und man erhält

    $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

    Auch dies kann in Worten formuliert werden: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert.

  • Gib jeweils die Potenz als Potenz mit der Basis $2$ an und bestimme den entsprechenden Exponenten.

    Tipps

    Merke dir:

    • $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$
    • $\frac1{a^n}=a^{-n}$

    Es ist

    • $4=2^2$
    • $8=2^3$
    • ...

    Es kommen zwei negative Exponenten vor.

    • $8^6=\left(2^3\right)^6=2^{3\cdot 6}=2^{18}$
    • $4^3=\left(2^2\right)^3=2^{2\cdot 3}=2^{6}$
    Lösung

    Potenzen mit der Basis $2$ sind die Grundlage für den binären Zahlencode, mit dem Computer arbeiten. Das zu Grunde liegende Zahlensystem ist das Zweiersystem.

    Üblicherweise nutzt man das Zehnersystem: In diesem System wird die Basis $10$ genutzt.

    In dieser Aufgabe werden verschiedene Potenzgesetze geübt, wobei die Potenzen jeweils Zweierpotenzen sind.

    1. $4^4=\left(2^2\right)^4=2^{2\cdot 4}=2^8$
    2. $0,25=\frac14=\frac1{2^2}=2^{-2}$
    3. $\frac{8^6}{4^3}=\frac{2^{3\cdot 6}}{2^{2\cdot 3}}=\frac{2^{18}}{2^6}=2^{18-6}=2^{12}$
    4. $\sqrt{16}=4=2^2$
    5. $\frac{\sqrt{16}}{0,25}=2^2\cdot \left(\frac12\right)^{-2}=2^2\cdot 2^2=2^{2+2}=2^4$
    6. $\frac{2^3}{4^3}=\left(\frac24\right)^3=\left(\frac12\right)^3=2^{-3}$
  • Stelle die folgenden Produkte als Potenzen dar.

    Tipps

    Beachte, dass der wiederkehrende Faktor in der Basis der Potenz, also unten, steht.

    Zähle, sofern nötig, die Anzahl der wiederkehrenden Faktoren.

    Beachte, dass die Basis und der Exponent in der Regel nicht vertauschbar sind:

    $2^5\neq 5^2$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollen die verschiedenen Schreibweisen von Potenzen geübt werden.

    Ein Produkt kann ausgeschrieben werden:

    • $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4$ oder
    • $5\cdot 5\cdot 5=5^3$.
    Jedes Mal ist der wiederkehrende Faktor (die $2$ oder die $5$) die Basis und die Zahl, wie oft der Faktor wiederkehrt, der Exponent.

    Das Produkt kann auch mit einer geschwungenen Klammer geschrieben werden. Unter der Klammer steht die Anzahl der Faktoren:

    • $\underbrace{3\cdot 3\cdot ... \cdot 3}_{\text{6-mal}}=3^6$
    • $\underbrace{6\cdot 6\cdot ... \cdot 6}_{\text{5-mal}}=6^5$
  • Prüfe, welche der Rechnungen zu $2^8$ führen.

    Tipps

    Hier siehst du die einzelnen Potenzgesetze

    • $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$
    • $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$
    • $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$
    • $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
    • $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

    Achte bei dem Gesetz

    $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

    auf die Reihenfolge der Subtraktion.

    Schaue dir ein Beispiel an

    $\left(2^4\right)^2=2^8$.

    Beachte, dass $2=2^1$ ist.

    Lösung

    Viele Wege führen zu $2^8$. Mit Hilfe der Potenzgesetze können die folgenden Terme vereinfacht werden:

    • $\left(2^2\right)^4=2^{2\cdot 4}=2^8$
    • $2^2\cdot 2^4=2^{2+4}=2^6$
    • $\sqrt{2^{16}}=\left(2^{16}\right)^{\frac12}=2^{16\cdot \frac12}=2^8$
    • $\frac{2^{16}}{2^2}=2^{16-2}=2^{14}$
    • $\frac{2^9}{2}=\frac{2^9}{2^1}=2^{9-1}=2^8$
    • $\frac{8^8}{4^8}=\left(\frac84\right)^8=2^8$