Potenzgesetze – Aufgaben 9

Hallo! Wer bisher das Teilen von Potenzen vermisst hat in den Übungsaufgaben, der wird sich freuen, hier kommt es. Wir haben 4⁴:4. Welches Potenzgesetz könnten wir da theoretisch anwenden? Wir haben also a^m:aⁿ noch mal anders geschrieben, als Bruch geht das natürlich auch: a^m:aⁿ=a^m-n und Voraussetzung ist, dass m und n natürliche Zahlen sind und m soll größer oder gleich n sein. Sodass also hier eine negative Zahl entsteht. Das geht auch mit negativen Zahlen, aber hier in dem Zusammenhang wird es nicht behandelt. Die Frage ist jetzt, kannst Du diese Formel hier auf diesen Ausdruck anwenden? Nun, da muss man noch eine Kleinigkeit ändern, denn die 4 ist ja bisher so, wie sie da steht, keine Potenz. Das lässt sich aber auch wohl machen, dass das eine Potenz ist, denn vier ist ja auch gleich 4¹. Also können wir das so schreiben: 4⁴:4 = 4⁴:4¹. Es entsteht nun dieser Ausdruck, wenn sich wir in der Formel für a die 4 einsetzen, für m 4 einsetzen und für n 1 einsetzen. Ja, man muss sich das genau überlegen, was setze ich denn da ein. Ich kann ja auf diesen Ausdruck hier diese Formel anwenden, wenn dieser Ausdruck entsteht, wenn ich hier in der Formel für die Buchstaben etwas einsetze. Und das ist also hier der Fall, habe ich gerade gesagt, was man einsetzen kann. Dann kann ich jetzt also hier die Formel anwenden, und zwar statt dieses Ausdrucks, den hier hinschreiben. Für a habe ich ja 4 eingesetzt, für m habe ich auch 4 eingesetzt, dann kommt ein Minuszeichen, das muss ich hier abschreiben und für n habe ich die 1 eingesetzt. Ja, so langsam muss man sich das wirklich überlegen, damit man auch klar sieht, was hier passiert. 4-1 ist kein Problem, kann ich ausrechnen. Dann ist das Ganze hier also 4³ und 4³ kann man auch problemlos im Kopf rechnen 4×4 ist 16 und 4×16 ist 64. Und weil das so oft falsch gemacht wird, möchte ich das hier nur noch mal erwähnen. Also oft wird gerechnet 4³, und zwar falsch folgendermaßen: Erst 4×4 und das Ergebnis dann noch mal ². Das ist aber was anderes. Wenn ich hier erst 4×4 rechne, also, wie soll ich das sagen. Ja, doch ich mache es so. Erst rechne ich 4×4, in dem Fall also 16 und dann noch mal 16×16. Dann rechne ich hier also (4×4)². Wir wissen, dass 4×4 4¹×4¹ ist, das kann ich also zusammenfassen zu 4². Das Ganze wieder ² und nach dem Potenzgesetz, dass sich um die Potenzierungen von Potenzen kümmert, ist das also 4⁴ und nicht 4³. Das nunmal hier abgeteilt ist eine richtige Rechnung, die hier steht. Die Rechnung ist richtig. Was aber nicht richtig ist, ist, dass das hier gleich dem ist. Da vertun sich manche Leute, deshalb zeige ich das hier noch mal. Die beiden, das sind unterschiedliche Ausdrücke. Hier steht 4³, hier steht 4⁴. Ich sag das deshalb ganz deutlich, weil es eben immer wider vorkommt. Schwierig ist es nicht, man muss nur wissen, was hier gemeint ist. Das bedeutet eben nur 4×4×4. Dann viel Spaß  mit den weiteren Aufgaben und bis bald! Tschüss!