Potenzgesetze – Aufgabe

Hallo, hier ist eine weitere Aufgabe, scheibe als Potenz mit positivem Exponenten.
Wir haben hier 1/2×x^m×2⁵×x^5m. Was geht? Wir können zunächst mal, wir sehen ja, dass das hier Zweien sind und x und so, die können wir erst mal umordnen, damit wir die vielleicht zusammenfassen können. Und zwar benutzen wir das gute alte Kommutativgesetz. Hier kann ich zwei Faktoren nehmen und die vertauschen. Dann mache ich das mal, dann bleibt übrig hier 1/2×2⁵×x^m×x^5m. Und was ist da möglich? Da erinnern wir uns zum Beispiel an eins von unseren ersten Potenzgesetzen, das meine ich nicht, sondern zum Beispiel dieses hier. Obwohl, das kann ich auch verwenden hier, und zwar auf 1/2 und 2⁵, das ist dann einfach, 1/2 bedeutet ja 2^-1 und dann kann ich das zusammenfassen zu 2^5-1 und dann kommt da 2⁴ raus. Ich weiß jetzt gar nicht mehr, wie ich es erklären soll. Aber das ist ja wahrscheinlich dir auch so schon geläufig, dass du gar nicht mehr genau überlegst, was ist minus, was ist plus. Du kannst es auch einfach auf das Kürzen zurückführen. Wir haben ja 2⁵ ja quasi hier im Zähler und 2 im Nenner, dann können wir eine 2 kürzen und 2⁴ bleibt übrig.
Was ist mit dem x^m? Da können wir das hier verwenden. Wenn wir für a x einsetzen und für n das m. Und für a wieder x und für n 5m, dann steht hier also x^m+5m und das sind natürlich 6m. Und das Gleichheitszeichen deutet an, dass wir hier noch nicht fertig sind, denn es ist ja noch keine Potenz mit positivem Exponenten. Aber, was mir hier auffällt, ist hier folgende Situation, nämlich der Exponent 4 und der Exponent 6m, die sind ja beide durch 2 teilbar und da kann ich quasi diese 2 ausklammern, nicht ganz ausklammern, also nicht das Distributivgesetz anwenden, aber so was Ähnliches kann man da ja sehen. Also kann ich hier zum Beispiel die 2⁴ schreiben also (2²)² und ich kann x^6m schreiben, als (x^3m)². Denn, wenn ich das jetzt ausrechnen würde, muss ich das ja nur, die beiden Exponenten multiplizieren und 3×m×2 ist einfach 6m.
Dann kann ich diese hier zusammenfassen, und zwar mit dem Gesetz. Ich habe hier gleiche Exponenten und verschiedene Basen, also kann ich schreiben, die Basen werden zusammengefasst zu (2²×x^3m) und das Ganze wird mit 2 potenziert. Dann ist das eine Potenz mit positivem Exponenten, wie gefordert und wir haben richtig schön wieder Potenzgesetze angewendet. Und dadurch viel gelernt hoffe ich.  Bis bald, tschüss.