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Potenzen mit rationalem Exponenten

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Die Autor/-innen
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Wolfgang Tews
Potenzen mit rationalem Exponenten
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Potenzen mit rationalem Exponenten

In diesem Video lernst du das Rechnen mit Potenzen für Exponenten aus dem Bereich der rationalen Zahlen. Mithilfe der Kenntnisse über das Rechnen mit Potenzen für Exponenten aus dem Bereich der ganzen Zahlen wird die Schreibweise für rationale Exponenten eingeführt und an einigen Beispielen vorgerechnet.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. @Claudia P.: Die 3-te Wurzel eines Bruchs kannst du mit einem Wurzelgesetz berechnen: Die "3-te Wurzel von a/b" ist gerade "3-te Wurzel von a" mal "3-te Wurzel von b".
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als 5 Jahren
  2. was ist wenn ein bruch unter der 3.wurzel ist ??

    Von Claudia P., vor mehr als 5 Jahren
  3. gut erkärt

    Von Sascha Popova, vor etwa 7 Jahren

Potenzen mit rationalem Exponenten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen mit rationalem Exponenten kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib das Gesetz für Potenzen mit rationalen Exponenten an.

    Tipps

    Der Term $a^{\frac mn}$ lässt sich auf verschiedene Arten schreiben.

    Es ist zum Beispiel $\sqrt 2=2^{\frac12}$.

    Bei der Quadratwurzel schreibt man den Wurzelexponenten nicht.

    Es gilt die Potenzregel $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Für Potenzen mit rationalen Exponenten mit $a \ge 0$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ und $n>0$ gilt:

    1. $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$,
    2. $a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]a\right)^m$ sowie
    3. sofern zusätzlich $a>0$ gilt $a^{-\frac mn}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}}$.

  • Forme den Term mit den Potenzgesetzten um.

    Tipps

    Schreibe die Wurzel als Potenz:

    $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$ .

    Verwende die Regel zum Potenzieren von Potenzen:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Der Term $\sqrt[4]{a^8}$ lässt sich mit der Regel

    $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$

    auch schreiben als:

    $\sqrt[4]{a^8}=\left(a^8\right)^{\frac14}$.

    Nun gilt, dass Potenzen potenziert werden, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. Das bedeutet:

    $\left(a^8\right)^{\frac14}=a^{8\cdot \frac14}=a^2$.

  • Leite den Wurzelterm her.

    Tipps

    Es gilt

    $a^{\frac1n}=\sqrt[n] a$.

    Die Regeln für Potenzen mit rationalen Exponenten lassen sich mit der obigen Regel sowie

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$

    herleiten.

    Lösung

    Potenzen mit rationalen Exponenten lassen sich wie folgt als Wurzel schreiben:

    $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.

    Somit ist

    • $c^{\frac 43}=\sqrt[3]{c^4}$,
    • $c^{\frac 25}=\sqrt[5]{c^2}$,
    • $c^{\frac 34}=\sqrt[4]{c^3}$ und
    • $c^{\frac 56}=\sqrt[6]{c^5}$.

  • Vereinfache die Potenz so weit wie möglich.

    Tipps

    Verwende

    $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$

    oder

    $a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]a\right)^m$.

    Es gilt

    $a^n=b\Leftrightarrow a=\sqrt[n]b$.

    Lösung

    Unter Verwendung von

    $a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]a\right)^m$

    kann $27^{\frac23}$

    wie folgt berechnet werden:

    $27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2$.

    Da $3^3=27$ ist, kann $\sqrt[3]{27}=3$ hergeleitet werden. Damit ist

    $27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9$.

  • Ergänze die allgemeinen Potenzregeln.

    Tipps

    Die Quadratwurzel aus $2$ lässt sich zum Beispiel wie folgt schreiben:

    $\sqrt2=2^{\frac12}$.

    Es gilt das folgende Potenzgesetz:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Lösung

    Es seien $a\ge 0$, $n\in\mathbb{N},~n>0$ sowie $m\in\mathbb{Z}$.

    Um Potenzen mit rationalen Exponenten behandeln zu können, müssen die folgenden Potenzregeln bekannt sein:

    • $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$,
    • $\frac1{\sqrt[n]a}=a^{-\frac1n}$, hier muss zusätzlich $a>0$ sein, sowie
    • $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.
    Die letzte Regel kann man sich auch in Worten merken:

    „Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird.“

  • Bestimme die Potenzschreibweise für den Wurzelterm.

    Tipps

    Es gilt $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}$.

    Potenzen werden potenziert, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird.

    Ein Produkt wird potenziert, indem jeder einzelne Faktor potenziert wird:

    $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

    Lösung

    Die Umformung erfolgt durch Anwendung der Potenzgesetze:

    Zunächst wird die Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten geschrieben:

    $\left(\sqrt[6]{(16a)^3}\right)^3=\left((16a)^{3\cdot\frac16}\right)^3$.

    Unter Verwendung der Regel, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird, kann wie folgt umgeformt werden zu

    $\left((16a)^{\frac12}\right)^3$.

    Dies kann weiter umgeformt werden zu

    $\left(4\cdot a^{\frac12}\right)^3$.

    Hierbei wurde die Regel verwendet, dass ein Produkt potenziert wird, indem jeder einzelne Faktor potenziert wird.

    $\begin{align*} \left(\sqrt[6]{(16a)^3}\right)^3&=2^6\cdot a^{\frac32}\\ &=2^6\cdot \sqrt{a^3}\\ &=64\cdot \sqrt{a^3}\\ &=64\cdot \left(\sqrt{a}\right)^3. \end{align*}$

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