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Oberfläche von zusammengesetzten Körpern 06:55 min

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Transkript Oberfläche von zusammengesetzten Körpern

Während einer glücklichen Nacht im Wunderland hat die Königin mal wieder einen ihrer berühmten Ausraster. Sie hat einen neuen Thron geliefert bekommen und er ist nicht rot! Sie ruft den verrückten Hutmacher, der dieses Problem sofort lösen soll. Aber wie viel Farbe wird er denn benötigen? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Oberfläche von zusammengesetzten Körpern berechnen. Die Oberfläche ist die Summe aller Flächeninhalte der Flächen, die einen Körper umschließen. Der Thron der Königin ist aus verschiedenen Körpern zusammengesetzt. Welche verschiedenen Körper kannst du entdecken? Wir finden einen Quader ein dreiseitiges Prisma und vier Zylinder. Lass uns zunächst den Quader betrachten. Dieser hat Seitenlängen von 25 dm mal 22 dm mal 4 dm. Grund- und Deckfläche sind Rechtecke mit dem Flächeninhalt 25 dm mal 22 dm. Das sind 550 Quadratdezimeter. Da wir diese Fläche zweimal haben, haben wir hier also 1100 Quadratdezimeter. Diese Fläche hier berechnen wir durch 22 dm mal 4 dm und wir erhalten 88 Quadratdezimeter. Auch diese Fläche haben wir zweimal, insgesamt sind das 176 Quadratdezimeter. Um diese Fläche des Quaders zu berechnen, multiplizieren wir 25 dm mit 4 dm und das sind 100 Quadratdezimeter. Mit der anderen flächengleichen Fläche sind das also 200 Quadratdezimeter. Nun müssen wir all diese Werte noch zusammenrechnen und erhalten so eine Oberfläche von 1476 Quadratdezimetern. Allgemein können wir die Oberfläche eines Quaders also mithilfe von 2 mal Länge mal Breite plus 2 mal Länge mal Höhe plus 2 mal Breite mal Höhe berechnen. Die Lehne des Throns ist in Form eines dreiseitigen Prismas. Die Vorder- und Rückseite sind gleichschenklige Dreiecke. Die Schenkel sind 39 dm lang und die Grundseite 30 dm. Die Höhe des Dreiecks ist 36 dm. Den Flächeninhalt berechnen wir durch ein Halb mal Grundseite mal Höhe. Also ein Halb mal 30 dm mal 36 dm und das sind 15 dm mal 36 dm, also 540 Quadratdezimeter. Weil wir bei dem Prisma zwei kongruente Dreiecke haben, benötigen wir das doppelte dieser Fläche, also 1080 Quadratdezimeter. Berechnen wir nun die Mantelfläche des Prismas, die aus drei Rechtecken zusammengesetzt ist. Um dies zu tun, stell dir einmal vor, dass das Prisma auf der Grundfläche, also einem der Dreiecke liegt. Wenn wir die Mantelfläche nun aufklappen, haben wir ein Rechteck mit einer Höhe von 3 dm. Die Länge des Prismas ist genauso lang, wie der Umfang des Dreiecks, also 108 dm. Um diesen Flächeninhalt zu berechnen, multiplizieren wir 108 dm mit 3 dm...und erhalten 324 Quadratdezimeter. Um die Oberfläche zu erhalten, addieren wir dies nun mit dem Flächeninhalt der beiden Dreiecke und erhalten 1404 Quadratdezimeter. Allgemein können wir die Oberfläche eines Prismas also in drei Schritten berechnen. Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt der Grundfläche und verdoppeln diesen. Dann finden wir den Umfang der Grundfläche und multiplizieren mit der Höhe, um den Flächeninhalt der Mantelfläche zu erhalten. Diese addieren wir dann und erhalten die Oberfläche des Prismas. Für die Oberfläche des Stuhls müssen wir noch die Stuhlbeine berücksichtigen. Da die Beine an der unteren Seite der Sitzfläche befestigt sind, sehen wir jeweils eine Grundfläche vom Zylinder nicht. Zusätzlich bedeckt jedes Stuhlbein eine kreisförmige Fläche des Quaders. Insgesamt müssen also beide Grundflächen des Zylinders nicht berücksichtigt werden. Daher reicht es, die Mantelfläche des Zylinders zu berechnen. Die Höhe des Zylinders ist 15 dm. Die kreisförmige Grundfläche hat einen Radius von 2 dm. Was ist also der Flächeninhalt der Grundfläche? Verwenden wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises pi mal r quadrat, so erhalten wir einen Flächeninhalt von 2pi Quadratdezimeter. Dies verdoppeln wir, um den Flächeninhalt der beiden kongruenten Kreise zu erhalten. Wie berechnen wir denn nun die Mantelfläche? Rollen wir die Mantelfläche auf, sehen wir, dass es sich um eine rechteckige Fläche mit einer Höhe von 15 dm handelt. Aber wie lang ist diese Seite? Sie ist so lang, wie der Umfang der Grundfläche. Erinnerst du dich daran, wie man den Umfang eines Kreises berechnet? Genau! 2 mal r mal pi, also in unserem Fall 2 mal 2dm mal pi und das sind 4 dm mal pi. Die Mantelfläche berechnen wir also durch 4 dm mal pi mal 15 dm und das sind 60 dm mal pi. Addieren wir dies zu dem Flächeninhalt der beiden Kreise, erhalten wir eine Oberfläche von 68 dm mal pi für einen der Zylinder. Um nun die Gesamtoberfläche des Throns zu finden, addieren wir alle einzelnen Oberflächen. 1476 Quadratdezimeter für den Quader plus 1404 Quadratdezimeter für das dreiseitige Prisma plus 4 mal die Mantelfläche des Zylinders, da wir vier gleichgroße Beine haben. Verwenden wir für pi 3,14 erhalten wir eine Gesamtoberfläche von 3633,6 Quadratdezimeter. Fassen wir das noch einmal zusammen. Für das Berechnen der Oberfläche des Quaders, des dreiseitigen Prismas und des Zylinders haben wir folgende Schritte durchgeführt: Zunächst haben wir den Flächeninhalt der Grundfläche berechnet und verdoppelt. Dann haben wir den Flächeninhalt eines Rechtecks...eines Dreiecks...und eines Kreises berechnet. Für den Quader haben wir noch weitere rechteckige Flächen gefunden und deren Flächeninhalt berechnet. Für das dreiseitige Prisma haben wir den Umfang der Grundfläche berechnet und diese mit der Höhe multipliziert, um die Mantelfläche zu erhalten. Diese verschiedenen Flächeninhalte haben wir dann addiert. Dabei müssen wir immer darauf achten, dass wir Flächen, die bedeckt werden, nicht berücksichtigen. Der verrückte Hutmacher konnte genug Farbe auftreiben, um ihren Thron zu streichen. Sieht doch perfekt aus, aber warte! Oh nein. Nun wird die Königin definitiv rot sehen!