Null als Exponent

Null als Exponent Übung

• Gib an, wie du mit der Potenz von $2$ zeigen kannst, dass $2^0=1$ gilt.

  Tipps

  Zuerst sollte die bekannte $2$er-Potenzreihe mit positiven Exponenten aufgeschrieben werden.

  Betrachte die einzelnen Zusammenhänge zwischen den Werten der $2$er-Potenzreihe sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links. Das Ergebnis kann dann einfach abgelesen werden.

  Lösung

  Die folgende Beweisführung ist korrekt:

  • Zu Beginn schreiben wir die bekannten $2$er-Potenzen, also $2^{1}$, $2^{2}$ und $2^{3}$ in eine Tabelle mit ihren jeweiligen Ergebnissen $2$, $4$ und $8$.

  Im Bild füllen wir also die rechte Seite der Tabelle der $2$er-Potenzen aus.

  • Wenn wir uns jetzt die Potenzwerte von $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}$ anschauen, erkennen wir, dass das Ergebnis in jedem Schritt nach rechts mit $2$ multipliziert wird. Betrachten wir die Potenzwerte in der Tabelle nun von rechts nach links, so werden die Ergebnisse immer durch $2$ geteilt.

  Im Bild sehen wir, dass sich die Werte der $2$er-Potenz bei einem Schritt nach rechts, das heißt, wenn wir den Exponenten um $1$ erhöhen, verdoppeln. Verringern wir den Exponenten um $1$, gehen also nach links, halbieren sich die Potenzwerte.

  • Nach diesem Muster können wir die Ergebnisse für $2^{0}$, $2^{-1}$ und $2^{-2}$ bestimmen, indem wir nämlich einfach durch $2$ teilen.
  • Wir erhalten also $2^{0}=1$, $2^{-1}=\frac{1}{2}$, $2^{-2}=\frac{1}{4}$ und vervollständigen unsere Tabelle.

  Nun wird der linke Teil der Tabelle nach dem bekannten Muster (durch $2$ teilen) weiter ausgefüllt.

  • Schlussendlich können wir aus der Tabelle ablesen, dass $2^{0}=1$ ergibt, was wir zeigen wollten.

  Aus der Tabelle ist nun einfach unser gesuchtes Ergebnis für $2^{0}$ abzulesen, also $2^{0}=1$.

• Vervollständige den Beweis für $x^0=1$ mit $x\neq 0$.

  Tipps

  Ausgangspunkt ist das Divisions-Potenzgesetz: $\frac{y^{l}}{y^{p}} = y^{l-p}$.

  Ein Beispiel mit gleichen Exponenten: $\dfrac{6^{4}}{6^{4}} = 6^{4-4} = 6^{0} = 1$.

  Lösung

  Folgende Beweisführung ist korrekt:

  Als Ausgangspunkt dient das Divisions-Potenzgesetz, das $\frac{y^{l}}{y^{p}}$ $ = y^{l-p}$ lautet. In unserer bekannten Schreibweise gilt also:

  • $\frac{x^{m}}{x^{n}}= x^{m-n}$.

  Wir verdeutlichen uns dies mit einem kurzen Zahlenbeispiel:

  • Kurzes Beispiel: $\frac{5^{7}}{5^{3}} = 5^{7-3} = 5^{4}$

  Die Zahlen können hierbei beliebig gewählt werden. Einzig die Basis muss bei der Division gleich sein. Wählen wir nun die Exponenten ebenfalls gleich, wissen wir, dass $\frac{5^{3}}{5^{3}}=\frac{125}{125}=1$, da eine Zahl dividiert durch sich selbst immer gleich $1$ ist.

  • $\frac{5^{3}}{5^{3}} = 5^{3-3} = 5^{0} = 1$

  Zum Schluss wird das Beispiel noch mit Variablen verallgemeinert:

  • Für $x\neq0$ gilt: $\frac{x^{m}}{x^{m}} = x^{m-m} = x^{0} = 1$.

  Das wollten wir beweisen.

• Bestimme die Terme, bei denen das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ gilt.

  Tipps

  Wende zuerst mögliche Potenzgesetze an und überprüfe, ob der Exponent $0$ wird.

  Sollte der Exponent $0$ sein, kannst du das Gesetz auch anwenden.

  Lösung

  Bei folgenden Termen kannst du das Gesetz anwenden:

  • $\frac{2^{3}}{2^{3}}$, denn es gilt $2^{3-3}=2^{0}=1$
  • ${(3\cdot x^{4}\cdot y^{3})}^{0}$, denn der Exponent $0$ erlaubt es hierbei.
  • $125^{0}$, auch hier ist der Exponent schon $0$.
  • $\frac{5^{-4}}{5^{-4}}$, auch wenn die Exponenten negativ sind, gilt $-4-(-4)=0$. Da auch die Basen identisch sind, können wir unser Potenzgesetz anwenden.

  Folgende Terme dürfen das Gesetz nicht verwenden:

  • $\frac{3^{2}}{5^{2}}$, denn die Basis ist nicht gleich und das Potenzgesetz der Division darf nicht angewendet werden.
  • $(-1+1)^{3}$, denn der Exponent ist hier $3$, auch wenn die Basis $0$ wird.
  • $\frac{2^{3}}{2^{2}}$, da hier die Basis zwar gleich ist, aber für die Exponenten $3-2=1\neq0$ gilt.

• Leite das Ergebnis der folgenden Terme her.

  Tipps

  Überprüfe zuerst, ob du das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ anwenden kannst. Falls ja, ist das Ergebnis $1$.

  Wende bekannte Potenzgesetze an und vereinfache so weit wie möglich:

  • Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
  • Multiplikation von Potenzen: als Beispiel $(23 \cdot 2)^4=23^4 \cdot 2^4$
  • Potenzen von Potenzen: als Beispiel $(23^2)^4 = 23^{2 \cdot 4} = 2^12= 4~096$

  Nun überprüfe, ob du das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ anwenden kannst.

  Lösung

  Folgende Rechenschritte können vollzogen werden:

  • $(y^{3}\cdot x^{2})^{0} = (y^3)^0 \cdot (x^2)^0 = y^{3\cdot 0} \cdot x^{2 \cdot 0} = y^{0} \cdot x^{0} =1\cdot 1 = 1$.

  Angewandt wurde im ersten Schritt das Gesetz zur Multiplikation von Potenzen, also:

  $(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$.

  Danach wird zur Vereinfachung das Gesetz zu Potenzen von Potenzen:

  $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

  genutzt, so dass dann das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ verwendet werden kann.

  • $\frac{2^{3}}{2^{2}}=2^{3-2}=2^{1}=2$

  Hier kann das Gesetz für die Division von Potenzen:

  $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$

  angewandt werden.

  • $99^{0}=1$

  Das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ gilt hierbei.

  • $(1^{99}\cdot 2^{2})^{1}= (1 \cdot 4)^1 = 1^1 \cdot 4^1= 1 \cdot 4 = 4$

  Hier können die Potenzen $1^{99}$ und $2^{2}$ leicht berechnet werden.

  • $(m^{0})^{99}= 1$

  Das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ kann angewandt werden.

• Benenne die richtigen Aussagen über das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$.

  Tipps

  Sobald der Exponent $0$ ist, ist es egal, was in der Basis $x$ steht, solange $x\neq0$.

  $(4+5)^0$ ergibt $1$, da auch hier das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ gilt.

  Das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ ist unabhängig von anderen Potenzgesetzen.

  Lösung

  Diese Aufgaben sind richtig:

  • „Egal welche Basis $x$ mit $x\neq0$ eine Potenz $x^n$ hat, es gilt immer: Wenn der Exponent $n$ gleich $0$ ist, so ist das Ergebnis immer $1$.“
  • „Jede Zahl (außer die $0$) hoch $0$ ergibt immer $1$.“

  Diese Aufgaben sind falsch:

  • „Das Gesetz gilt nur bei Zweierpotenzen, also nur bei $2^{0}$.“ Die Basis $x$ kann (außer $x\neq0$) beliebig sein, das Ergebnis ist immer $1$, wenn der Exponent $0$ ist.
  • „Gibt es noch andere Potenzgesetze, die im Term gelten, so gilt das Gesetz für Potenzen mit Exponent $0$ nicht.“ Das Gesetz gilt, völlig unabhängig von anderen Gesetzen, immer.
  • „$(2+3)^0$ ergibt $5$.“ Das Ergebnis ist $1$, denn jede Zahl $x$ mit $x\neq0$ hoch $0$ ergibt immer $1$.

• Ermittle die Ergebnisse der Terme mithilfe aller dir bekannten Potenzgesetze.

  Tipps

  Überprüfe zunächst, ob du zur Vereinfachung bestimmte Potenzen wie $1^{78}=1$ direkt ausrechnen kannst.

  Wende bekannte Potenzgesetze an und vereinfache so weit wie möglich:

  • Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$
  • Multiplikation von Potenzen: $(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$
  • Potenzen von Potenzen: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
  • Potenzen mit dem Exponenten gleich $0$: $x^0=1$ für $x \neq 0$

  Lösung

  Für die Berechnungen der Ausdrücke auf der linken Seite wenden wir die folgenden Potenzgesetze an:

  Division von Potenzen: $\frac{x^{n}}{x^{m}}$ $ = x^{n-m}$

  Multiplikation von Potenzen: $(x \cdot y)^m=x^m \cdot y^m$

  Potenzen von Potenzen: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$

  Potenzen mit dem Exponenten gleich $0$: $x^0=1$ für $x \neq 0$

  • Für den ersten Ausdruck gilt mit dem Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$:

  $5^3 \cdot 5^0+1^0 = 5^3 \cdot 1 +1 = 5^3 + 1 = 125 + 1 =\mathbf{126}$.

  • Im zweiten Fall nutzen wir das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ für den ersten Summanden und das Gesetz zur Multiplikation von Potenzen für den zweiten:

  $7^{2-2}+(2\cdot 3)^{2+1} + 3^3= 7^0+(2\cdot 3)^3+3^3 = 1+2^3\cdot 3^3+3^3=1+8\cdot 27+27=\mathbf{ 244}$.

  • Beim dritten Ausdruck hilft uns das Gesetz der Division von Potenzen:

  $\dfrac{3^5}{3^3} \cdot \dfrac {5^{-2}}{5^{-4}}= 3^{5-3} \cdot 5^{-2-(-4)}=3^2 \cdot 5^2= 9 \cdot 25 = \mathbf{225}$.

  • Beim letzten Ausdruck berechnen wir beim Minuenden zunächst die einfachen Potenzen $1^3=1$ und $3^2=9$. Beim Subtrahenden werden zunächst die Gesetze zur Multiplikation von Potenzen und zu Potenzen von Potenzen genutzt und dann das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$. (Wenn du es siehst, kannst du natürlich auch gleich das Gesetz für Potenzen mit dem Exponenten $0$ anwenden.)

  $(1^3+3^2)^2-(1^3 \cdot 3^4)^0= (1+9)^2-((1^3)^0 \cdot (3^4)^0)=10^2-1^{3\cdot 0} \cdot 3^{4\cdot 0} = 100 -1^0 \cdot 3^0 =100 -1 = \mathbf{99}$