Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen

Normalverteilung – Definition

Die Normalverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sehr viele statistisch gestreute Merkmale, Ereignisse und Abläufe auf der Welt und im Universum können durch die Normalverteilung abgebildet werden.

Wie der Name der Gauß’schen Glockenkurve vermuten lässt, geht die Normalverteilung auf den Mathematiker Carl Friedrich Gauß zurück.

Normalverteilung – Glockenkurve

Die Form der Gauß’schen Glockenkurve ist für jede normalverteilte Zufallsgröße näherungsweise gleich. Der Erwartungswert $\mu$ bestimmt, um welchen Wert die Glockenkurve positioniert ist (also wo das Maximum liegt) und die Standardabweichung $\sigma$ beeinflusst die Breite der Glockenkurve.

Die gesamte Fläche unter der Gauß’schen Glockenkurve entspricht genau dem Wert $1$. Das bedeutet, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse (= Werte der Zufallsgröße) ergibt den Wert $1$, also $100\,\%$. Das ist eine wichtige Voraussetzung für eine sinnvolle Interpretation der Wahrscheinlichkeiten.

Normalverteilung – Unterschied zur Binomialverteilung

Es gibt einen Zusammenhang zwischen Normalverteilung und Binomialverteilung:
Die Normalverteilung kann als Verallgemeinerung der Binomialverteilung für sehr große $ n$ angesehen werden.
Das bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße bei sehr vielen Versuchen einer Gauß’schen Glockenkurve annähert. Die Gültigkeit dieser Näherung beschreibt der Satz von De Moivre und Laplace.

Für kleinere $n$ ist allerdings ein wesentlicher Unterschied zwischen Normalverteilung und Binomialverteilung zu beachten:

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das heißt, mit ihr wird eine Zufallsgröße beschrieben, die konkrete, isolierte, ganzzahlige Werte annimmt. Es gibt beispielsweise genau $0, 1, 2, 3$ (oder mehr) Treffer.

Die Normalverteilung ist hingegen eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das heißt, dass die Zufallsgröße (theoretisch) jede beliebige reelle Zahl als Wert annehmen kann. So ist beispielsweise die Größe von Pflanzen näherungsweise normalverteilt: Es ist nicht nur jede Größe in Millimetern, Zentimetern und Metern möglich, sondern auch alle Größen dazwischen, die durch Kommazahlen dargestellt werden können – jedenfalls bis zu einer bestimmten Maximalgröße (da Pflanzen nicht unendlich wachsen können).

Wiederholung der Binomialverteilung

Mithilfe der Binomialverteilung können wir eine bestimmte Art von Zufallsversuchen beschreiben, die wiederholt ausgeführt werden. Dabei müssen die einzelnen Versuche voneinander unabhängig sein. Außerdem wird bei den Versuchen nur zwischen zwei möglichen Ausgängen, Treffer und Nichttreffer (bzw. Erfolg und Misserfolg), unterschieden.

Die Binomialverteilung $B_{n,p}(k)$ bzw. die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X=k)$ einer binomialverteilten Zufallsgröße kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

$P(X=k)=B_{n,p}(k)=\begin{cases} \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} & \text{falls} \quad k \in \left\{ 0,1,\dots,n \right\} \\ 0 & \text{sonst.} \end{cases}$

• $k$: Anzahl der Treffer (bzw. Erfolge)
• $p$: Trefferwahrscheinlichkeit/Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs
• $n$: Anzahl der Versuche

Wir können uns zum Beispiel einen Würfelwurf vorstellen, bei dem wir nur zwischen geraden und ungeraden Zahlen unterscheiden. Eine gerade Zahl, also $2, 4, 6$, werten wir als Erfolg, wohingegen eine ungerade Zahl, also $1, 3, 5$, als Misserfolg gewertet wird. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ ist damit genau $\frac{1}{2}$, also:

$p = \frac{1}{2}$

Für jede Anzahl an Wiederholungen $n$ können wir ein Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung zeichnen. Bei kleinen Zahlen, beispielsweise $n=2$, können wir die Wahrscheinlichkeiten noch per Baumdiagramm veranschaulichen. Probier’ das gerne einmal selbst zu Hause aus.
Im Fall des Würfels ist bei $n=2$ die Wahrscheinlichkeit für null Treffer gleich $\frac{1}{4}$, die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer gleich $\frac{1}{2}$ (weil entweder der erste oder der zweite Wurf ein Treffer sein kann) und die Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer beträgt $\frac{1}{4}$. Aufsummiert ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von eins, was $100\,\%$ entspricht. Für größere $n$ verändert sich die Gestalt des Histogramms, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist:

Hier ist jeweils auf der $x$‑Achse die Anzahl der Treffer $r$ aufgetragen und auf der $y$‑Achse die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P(r)$.

Wird die Anzahl der Versuche (bzw. Wiederholungen) $n$ größer, wird das Histogramm breiter, flacher und um den Erwartungswert symmetrischer. (Im Fall des Würfelwurfs ist die Verteilung von Anfang an symmetrisch, weil die Wahrscheinlichkeiten für Treffer und Nichttreffer in unserem Zufallsversuch gleichermaßen $\frac{1}{2}$ betragen.)

Für ausreichend große $n$ lässt sich jede Binomialverteilung durch eine spezielle Verteilungsfunktion annähern: die Normalverteilung. Das ist insbesondere praktisch, weil verschiedene Histogramme so besser vergleichbar werden. Außerdem ist es mithilfe der Normalverteilung einfacher, Wahrscheinlichkeitswerte für sehrgroße $n$ zu bestimmen.
Also schauen wir uns die Normalverteilung genauer an.

Normalverteilung und Standardnormalverteilung

Mithilfe der Normalverteilung können sehr viele verschiedene Zufallsversuche abgebildet werden. Im Gegensatz zur Binomialverteilung handelt es sich hierbei aber um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das bedeutet, dass die betrachtete Zufallsgröße kontinuierliche verteilte Werte annehmen kann. Das machen wir uns am besten an einem Beispiel klar:
Ein Beispiel für eine annähernd normalverteilte Größe ist die Körpergröße. Diskret verteilt wäre die Körpergröße, wenn beispielsweise nur die Werte $\pu{1,60 m}$, $\pu{1,70 m}$, $\pu{1,80 m}$ und so weiter möglich wären. Das ist aber natürlich Quatsch! Es gibt auch Menschen, die $\pu{1,61 m}$ oder $\pu{1,752 m}$ groß sind.
Grafisch dargestellt sehen die Verteilungen der Körpergröße in Deutschland für über $18$‑jährige Personen, differenziert nach dem biologischen Geschlecht, folgendermaßen aus:

Das ist (aufgrund der vielen Möglichkeiten und der vielen Werte) eine kontinuierliche Verteilung. Es gibt keine Sprünge oder Unterbrechungen. Hier siehst du auch die typischen Form der Kurve, die eine Normalverteilung beschreibt – die Gauß'sche Glockenkurve.

Konkrete Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße können mit der oben gezeigten Formel von Bernoulli berechnet werden. Allerdings ist dies bei sehr großen Werten für $n$ selbst mit einem Taschenrechner nicht mehr möglich.
In solchen Fällen dient die Normalverteilung als Näherung, die allerdings in der Regel nicht mit einer Formel berechnet wird. Die Werte der Wahrscheinlichkeiten können stattdessen in einem Tafelwerk bzw. einer Tabelle nachgeschlagen werden.
Das ist dann möglich, wenn die entsprechende Normalverteilung vorher standardisiert wurde.

Um eine Normalverteilung zu standardisieren, muss die vorliegende Zufallsgröße in eine neue Zufallsgröße $z$ überführt werden – das nennt man $\bf z$‑Transformation. Diese Umformung wird so vorgenommen, dass der Erwartungswert $\mu$ der standardisierten Normalverteilung der Zufallsgröße $z$ genau beim Wert $z = 0$ liegt und die Varianz genau $\sigma^2 = 1$ beträgt.
Die Gauß’sche Glockenkurve einer solchen Standardnormalverteilung ist also symmetrisch um die $y$‑Achse positioniert, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Jede Normalverteilung, beispielsweise auch die Verteilung der Körpergrößen, lässt sich in eine solche Standardnormalverteilung überführen, indem die Zufallsgröße bzw. Zufallsvariable transformiert wird.

Auf der $y$‑Achse sind die Wahrscheinlichkeiten $P(X=r)$ abgetragen, also die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die normalverteilte, stetige Zufallsgröße $X$ einen Wert $r$ annimmt. Die möglichen Werte für $r$ sind auf der $x$‑Achse aufgetragen.
Die Glockenkurve selbst wird durch die Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte $\phi(z)$ beschrieben. Diese Funktion wird auch Dichtefunktion der Normalverteilung genannt. Die (rot markierte) Fläche unter der Glockenkurve wird durch die Funktion $\Phi(z)$ wiedergegeben, die wir gleich näher beschreiben.

Normalverteilung – Formel

Haben wir eine Standardnormalverteilung mit einer Glockenkurve abgebildet, die durch die Dichtefunktion $\phi(z)$ beschrieben wird, können wir eine Wahrscheinlichkeit $P(X \leq r)$ dafür berechnen, dass die Zufallsgröße $X$ einen Wert kleiner oder gleich $r$ annimmt. Dazu nutzen wir folgende Formel:

$P(X \leq r) = \Phi(z) = \int \limits_{-\infty}^{z} \phi(z)\,\text{d}z \qquad \text{mit} \quad z = \frac{r-\mu}{\sigma}$

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X \leq r) = \Phi(z)$ entspricht dem Flächeninhalt der Fläche unter der Glockenkurve bis zum Wert $r$. Den Wert $r$, dessen (kumulierte) Wahrscheinlichkeit uns interessiert, rechnen wir in einen transformierten Wert $z$ um, um mit der Standardnormalverteilung arbeiten zu können. Dazu nutzen wir folgende Formel:

$z = \frac{r-\mu}{\sigma}$

Der Erwartungswert $\mu$ der Normalverteilung gibt an, für welchen Wert $r$ die Normalverteilung ihr Maximum annimmt. In der standardisierten Form liegt dieses Maximum immer bei $z=0$, denn $z = \frac{r-\mu}{\sigma}$ ergibt genau für $r=\mu$ den Wert $0$.
Der griechische Buchstabe $\sigma$ bezeichnet die Standardabweichung, also die Wurzel der Varianz $\sigma^2$. Die Standardabweichung ist ein Maß für die Breite der Wahrscheinlichkeitserteilung.
Durch die Standardisierung der Normalverteilung gilt bei der entsprechenden Standardnormalverteilung immer $\sigma^2 = 1$ und damit auch $\sigma = 1$.

Die Integralfunktion $\Phi(z)$ der Dichtefunktion $\phi(z)$ heißt Gauß’sche Integralfunktion.
Bei einer stetigen, normalverteilten Zufallsgröße $X$ gilt $P(X \leq r) = \Phi(z)$ für jede reelle Zahl $r$. Das ist der Satz der Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen.

Die genaue Form der Dichtefunktion $\phi(z)$ folgt folgender Formel:

$\phi(z) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2}$

bzw.

$\phi(r) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{r-\mu}{\sigma} \right)^2}$

Diese Funktionsterme zeigen schon, dass die Berechnung der Normalverteilung nicht ganz einfach ist, da die Dichtefunktion $\phi(z)$ ja integriert werden muss. Deshalb wird in der Regel ein Tafelwerk bzw. eine Tabelle genutzt, in der die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung aufgelistet sind. In dieser sogenannten Standardnormalverteilungstabelle sind allerdings nur Wahrscheinlichkeiten $\Phi(z)$ für positive Werte von $z$ aufgelistet. Für negative Werte $\left( -z \right)$ muss folgende Formel angewendet werden:

$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$

Diese Formel ist gültig, weil die Standardnormalverteilung achsensymmetrisch um den Wert $z = 0$ ist.

Normalverteilung – Anwendung

Mit der Normalverteilung können immer nur Wahrscheinlichkeiten von Intervallen bis zu einem Wert $r$ angegeben werden, also kumulierte Wahrscheinlichkeiten, wie du sie vielleicht auch schon von der Binomialverteilung kennst.
Die kumulierte Wahrscheinlichkeit eines solchen Intervalls entspricht der Fläche unter der Gauß’schen Glockenkurve in dem entsprechenden Intervall.
Bei einem einzelnen, diskreten Wert $r$ wäre die Fläche unter der Glockenkurve immer gleich null, da es keine Breite gäbe. Deshalb können konkrete Wahrscheinlichkeiten einzelner Ergebnisse einer normalverteilten Zufallsgröße nicht berechnet werden.

Schauen wir uns an einem konkreten Beispiel an, wie mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsgröße sinnvoll gerechnet wird.

Normalverteilung – Beispiel

Wir betrachten erneut das Beispiel der Körpergröße, die wir als annähernd normalverteilte Variable betrachten können. Sie ist annähernd normalverteilt, weil nur Größen innerhalb eines bestimmten Intervalls erwartbar sind. Die Normalverteilung läuft für Werte, die stark vom Erwartungswert abweichen, zwar gegen null, wird aber nicht null. Wäre die Körpergröße de facto normalverteilt, wären mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit auch Körpergrößen von beispielsweise $\pu{10 cm}$ oder $\pu{10 m}$ möglich. Das ist biologisch allerdings ausgeschlossen.
Trotzdem lässt sich die Körpergröße näherungsweise sehr gut durch eine Normalverteilung beschreiben.

Nehmen wir an, die achtjährige Anne möchte wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie nicht größer als ihre ältere Schwester wird, die $\pu{170 cm}$ groß ist. Wir suchen also nach der Wahrscheinlichkeit $P(X \leq \pu{170 cm})$. Die Körpergröße von Frauen folgt in Deutschland etwa einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert von $\mu = \pu{165 cm}$ und einer Standardabweichung von $\sigma = \pu{10 cm}$.

Zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit nutzen wir den Satz der Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen. Dazu müssen wir die Normalverteilung standardisieren, wir rechnen also zunächst $r$ in $z$ um. So erhalten wir:

$z = \dfrac{r-\mu}{\sigma} = \dfrac{\pu{170 cm}\,-\,\pu{165 cm}}{\pu{10 cm}} = 0{,}5$

Du siehst, dass hier auch die Einheit $\text{cm}$ wegfällt. Den errechneten Wert können wir nun in die Formel der Gauß’schen Integralfunktion $\Phi(z)$ einsetzen:

$P(X \leq \pu{165 cm}) = \Phi(0{,}5) = \int \limits_{-\infty}^{0{,}5} \phi(z)\,\text{d}z$

Den Wert für $\Phi(0{,}5)$ der Standardnormalverteilung können wir nicht berechnen, aber aus der Standardnormalverteilungstabelle ablesen. So erhalten wir:

$\Phi(0{,}5) = 0{,}69146$

Anna wird also mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $69\,\%$ maximal $\pu{170 cm}$ groß.

Normalverteilung – Aufgaben

Probier' gerne einmal selbst, eine weitere, ähnliche Aufgabe zu lösen. Wenn du die richtige Lösung gefunden hast, kannst du auch die zweite und dritte Übungsaufgabe versuchen. Nutze dazu auch die Gegenwahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse!

Normalverteilung – Bedeutung der Standardabweichung

In unserer letzten Beispielaufgabe haben wir die kumulierten Wahrscheinlichkeiten von Abweichungen betrachtet, die genau den Bereichen der Glockenkurve jenseits der Standardabweichung entsprechen.
Da die Standardabweichung der Standardnormalverteilung (nach rechts) immer dem Wert $z = 1$ entspricht und damit den Bereich der Wahrscheinlichkeiten von $\Phi(-1)$ bis $\Phi(1)$ unter der Glockenkurve einschließt, gilt für jede normalverteilte Zufallsgröße:

$P(-\sigma \leq X \leq \sigma) = \int \limits_{-\sigma}^{\sigma} \phi(z)\,\text{d}z \approx 68\,\%$

Der Bereich der kumulierten Wahrscheinlichkeit, die genau außerhalb der Standardabweichung liegt (also die Gegenwahrscheinlichkeit darstellt), beträgt also bei einer normalverteilten Zufallsgröße immer rund $32\,\%$.

Denn es gilt:

$P(X < -\sigma) \approx P(X \leq -\sigma) = \int \limits_{-\infty}^{-\sigma} \phi(z)\,\text{d}z = \int \limits_{-\infty}^{-1} \phi(z)\,\text{d}z = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}16$

$P(X > \sigma) = 1 - P(X \leq \sigma) = 1 - \int \limits_{-\infty}^{\sigma} \phi(z)\,\text{d}z = 1- \int \limits_{-\infty}^{1} \phi(z)\,\text{d}z = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}16$

$P(X < -\sigma) + P(X > \sigma) = 1 - \Phi(1) + 1 - \Phi(1)) = 2 \cdot \left(1 - \Phi(1) \right) \approx 2 \cdot 0{,}16 \approx 0{,}32$

Umgekehrt gilt:

$P(-\sigma\ \leq X \leq \sigma) = 1 - \left( P(X < -\sigma) + P(X > \sigma) \right) =$
$= 1 - (1 - \Phi(1) + 1 - \Phi(1)) = 1 - 2 \cdot (1 - \Phi(1)) = -1 + 2 \cdot \Phi(1) \approx 0{,}68$

Normalverteilung – Wahrscheinlichkeiten beliebiger Intervalle berechnen

Aus der geschickten Betrachtung von Gegenwahrscheinlichkeiten wird auch ersichtlich, wie Wahrscheinlichkeiten von Intervallen mit beliebigen Grenzen $a$ und $b$ berechnet werden können:

$P(a \leq X \leq b) = \int \limits_{a}^{b} \phi(z)\,\text{d}z \approx 1 - \left( \int \limits_{-\infty}^{a} \phi(z)\,\text{d}z + 1 - \int \limits_{-\infty}^{b} \phi(z)\,\text{d}z \right) =$
$= \int \limits_{-\infty}^{b} \phi(z)\,\text{d}z - \int \limits_{-\infty}^{a} \phi(z)\,\text{d}z = P(X \leq b) - P(X \leq a) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$

In diesem Fall gilt $z_a = \frac{a-\mu}{\sigma}$ und $z_b = \frac{b-\mu}{\sigma}$.

Ist $a < \mu$, wird $z_a < 0$ sein. Dann muss wieder die Formel $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ angewendet werden.

Standardnormalverteilungstabelle

Hier kannst du dir die Standardnormalverteilungstabelle anzeigen lassen.
Für die Werte von $z$, die in der linken Spalte aufgelistet sind, werden jeweils zehn Werte der Gauß’schen Integralfunktion $\Phi(z)$ (jeweils in der zugehörigen Zeile) aufgeführt. Diese zehn Werte gehören jeweils zu den $z$‑Werten mit entsprechender Nachkommastelle.
So gehört beispielsweise in der $0{,}3$er‑Zeile der $\Phi(z)$‑Wert $0{,}64058$ zum $z$‑Wert $0{,}36$.
Für negative $z$‑Werte ist die Formel $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ zu beachten.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Normalverteilung