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Lineare Gleichungssysteme – Standardform

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Lineare Gleichungssysteme – Standardform
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineare Gleichungssysteme – Standardform

Wenn erklärt wird, was lineare Gleichungssysteme sind oder wenn es darum geht, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst, werden diese meist in Standardform (oder man sagt auch: Normalform) dargestellt. So weißt du dann z.B., wie du ein Gleichungssystem lösen kannst, das in Standardform gegeben ist. Wenn du aber Textaufgaben und Anwendungsaufgaben bearbeitest und dabei ein lineares Gleichungssystem entsteht, hat es meistens nicht die Standardform. Deshalb ist es wichtig, zu wissen, wie du ein lineares Gleichungssystem von irgendeiner gegebenen Form in die Standardform (oder: Normalform) bringen kannst.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. @Clemenswollny:
    die Unbekannten, die gesucht sind, sind in diesem Beispiel x und y.
    a und b aus der allgemeinen "Formel" stehen für die Zahlen, die vor den Unbekannten stehen.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor fast 3 Jahren
  2. das Video ist nicht gut weil man kein Beispiel mit a und b sondern mit x und y für denn Anfang

    Von Clemenswollny, vor fast 3 Jahren
  3. Danke das Video hat mir sehr geholfen

    Von Maconix , vor mehr als 4 Jahren

Lineare Gleichungssysteme – Standardform Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungssysteme – Standardform kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere, was die Standardform eines linearen Gleichungssystems ist.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem in Standardform:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccc} -2\cdot x&+&3\cdot y&=&1\\ 2\cdot x&+&4\cdot y&=&6 \end{array}\right|$

    Dieses Gleichungssystem ist nicht in Standardform:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccc} -2\cdot x&+&3\cdot y&=&x\\ 2\cdot x&+&4\cdot y&=&y \end{array}\right|$

    Lösung

    Hier siehst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen in Standardform, man sagt auch Normalform.

    Schauen wir uns einmal die obere der beiden Gleichungen an:

    • Auf der linken Seite der Gleichung steht sowohl vor $x$ als auch vor $y$ jeweils ein Faktor.
    • Auf der rechten Seite steht eine Konstante. Hier taucht keine Unbekannte auf.
    Die untere Gleichung sieht ebenso aus.

    Du kannst jedes lineare Gleichungssystem in diese Form bringen. Hierfür wendest du Äquivalenzumformungen an:

    • Du addierst oder subtrahierst auf beiden Seite der Gleichung einen Term.
    • Du multiplizierst mit einer Zahl oder dividierst durch eine Zahl. Diese muss jeweils ungleich $0$ sein.
    • Du fasst auf einer der beiden Seiten (oder auf beiden Seiten) einer Gleichung Terme zusammen.
  • Stelle die Gleichung so um, dass sie in Standardform ist.

    Tipps

    Für die Standardform gelten folgende Regeln:

    • Auf der linken Seite stehen die Unbekannten jeweils mit einem Faktor und werden addiert.
    • Auf der rechten Seite steht eine Zahl.
    Äquivalenzumformungen helfen dir dabei, das Gleichungssystem so umzuformen, dass es den Regeln entspricht.

    Hier siehst du ein Beispiel für das Zusammenfassen gleichartiger Terme:

    $x+2x+3x-4x=(1+2+3-4)x=2x$.

    Du addierst also die Koeffizienten, das heißt die Faktoren vor der Unbekannten.

    Lösung

    Dieses Gleichungssystem ist nicht in Standardform gegeben. Das sieht man zum Beispiel daran, dass in der oberen Gleichung auf der rechten Seite Unbekannte vorkommen.

    Wir beginnen mit der oberen der beiden Gleichungen:

    $x+x-3y-1=4x+y-\frac12$.

    1. Auf der rechten Seite soll eine Zahl stehen, also müssen die beiden Terme $4x$ sowie $y$ „verschwinden“. Dies lösen wir mit Äquivalenzumformungen.
    2. Subtraktion von $4x$ führt zu $x+x-4x-3y-1=y-\frac12$.
    3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme mit $x$ liefert die Gleichung $-2x-3y-1=y-\frac12$.
    4. Nun wird $y$ subtrahiert: $-2x-3y-y-1=-\frac12$.
    5. Auch hier werden die gleichartigen Terme, dieses Mal mit $y$, zusammengefasst zu $-2x-4y-1=-\frac12$.
    6. Auf der rechten Seite steht keine Unbekannte mehr. Allerdings befindet sich auf der linken Seite noch eine Konstante. Addition von $1$ führt zu $-2x-4y=-\frac12+1=\frac12$. Hier wurden wieder gleichartige Terme zusammengefasst.
    Die obere Gleichung ist nun in Standardform $-2x-4y=\frac12$. Die Variablen sind also wie folgt belegt:

    • $a_1=-2$,
    • $b_1=-4$ und
    • $c_1=\frac12$.
    Zusatz: Auch wenn es in der Aufgabe nicht gefordert war, stellen wir nun noch die untere Gleichung um.

    Hier wird $2x$ subtrahiert zu $-2x+y=3$. Fertig! Damit gelten folgende Belegungen für die Variablen:

    • $a_2=-2$,
    • $b_2=1$ und
    • $c_2=3$.
    Das Gleichungssystem in Standardform ist gegeben durch:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccccccc} -2x&-&4y&=&\frac12\\ -2x&+&y&=&3 \end{array}\right|$

  • Entscheide, welches der Gleichungssysteme in Standardform gegeben ist.

    Tipps

    Man kann $4x - y = 3$ auch schreiben als $4x + (-y) = 3$. Beide Gleichungen sind in Standardform.

    Wenn das Gleichungssystem in Standardform ist, darf auf der rechten Seite jeder Gleichung nur eine Zahl stehen.

    Vor jeder der Unbekannten steht ein konstanter Faktor und alle Unbekannten tauchen auf.

    Lösung

    Hier siehst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen in Standardform. Du erkennst, dass jeweils auf der rechten Seite eine Zahl steht und vor den Unbekannten $x$ und $y$ jeweils ein konstanter Faktor.

    • Steht also bereits auf der rechten Seite noch eine Unbekannte, kann kein lineares Gleichungssystem in Standardform vorliegen.
    • Es liegt ebenfalls keine solches Gleichungssystem vor, wenn noch Terme wie $x+x$ vorkommen. Diese müssen zunächst zusammengefasst werden.
    • Ein lineares Gleichungssystem ist linear. Deshalb darf ein Term der Form $x\cdot x=x^2$, also ein quadratischer Term, nicht auftauchen.
    Somit bleiben nur noch die folgenden beiden Gleichungssysteme in Standardform übrig:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccc} &&2\cdot x&-&2\cdot y&=&2\\ &&1\cdot x&+&1\cdot y&=&3 \end{array}\right|$

    Hier wurden nur die Gleichungen vertauscht:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccc} &&1\cdot x&+&1\cdot y&=&3\\ &&2\cdot x&-&2\cdot y&=&2 \end{array}\right|$

  • Leite das zugehörige lineare Gleichungssystem in Standardform her.

    Tipps

    Ziel ist es, dass auf der rechten Seite konstante Zahlen stehen und auf der linken Seite jeweils ein Term der Form $a\cdot x+b\cdot y$.

    Beachte, dass das Gleichungssystem schließlich diese Form haben soll:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccc} a_1\cdot x&+&b_1\cdot y&=&c_1\\ a_2\cdot x&+&b_2\cdot y&=&c_2 \end{array}\right|$

    Sowohl bei der Addition und Subtraktion als auch bei der Multiplikation und Division musst du darauf achten, dass diese auf beiden Seiten der jeweiligen Gleichung durchgeführt werden.

    Schaue dir ein Beispiel für das Umstellen einer Gleichung an:

    $x+y-2y=3+x$.

    Wie gehen wir nun vor?

    • Subtraktion von $x$ führt zu $x-x+y-2y=3$.
    • Fasse die gleichartigen Terme auf der linken Seite der Gleichung zusammen: $-y=3$.
    • Schreibe in der standardisierten Form: $0\cdot x+(-1)\cdot y=3$.
    Lösung

    Weder die obere noch die untere der beiden Gleichungen liegt in Standardform $a\cdot x+b\cdot y=c$ vor.

    In der oberen Gleichung steht auf der rechten Seite noch die Unbekannte $y$. Deshalb wird diese subtrahiert:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccccccc} -2\cdot x&+&4\cdot y&-&y&=&-1\\ x&+&x&+&y&=&5 \end{array}\right|$

    Nun können die gleichartigen Terme mit $y$ zusammengefasst werden:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccccccc} &&-2\cdot x&+&3\cdot y&=&-1\\ x&+&x&+&y&=&5 \end{array}\right|$

    Damit ist die obere Gleichung fertig. Kommen wir nun zu der Unteren. Zunächst wird $x+x=2\cdot x$ zusammengefasst:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccccccc} -2\cdot x&+&3\cdot y&=&-1\\ 2\cdot x&+&y&=&5 \end{array}\right|$

    Zuletzt kann noch der Faktor $1$ vor die Unbekannte $y$ geschrieben werden:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccccccc} -2\cdot x&+&3\cdot y&=&-1\\ 2\cdot x&+&1\cdot y&=&5 \end{array}\right|$

    Dies ist das gesuchte lineare Gleichungssystem in Standardform.

  • Gib das zugehörige Gleichungssystem in Standardform an.

    Tipps

    Beachte, was ein Faktor bewirkt:

    • $x=1\cdot x$ und
    • $0=0\cdot x$.

    Ein lineares Gleichungssystem in Standardform ist gegeben durch

    $\left| \begin{array}{ccccc} a_1\cdot x&+&b_1\cdot y&=&c_1\\ a_2\cdot x&+&b_2\cdot y&=&c_2 \end{array}\right|$

    $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$ und $c_2$ können irgendwelche Zahlen sein.

    Vor den Unbekannten $x$ und $y$ stehen in der Standardform Zahlen.

    Lösung

    Da bei diesem Gleichungssystem die Lösungen bereits abzulesen sind, müsstest du dieses gar nicht umstellen. Aber auch bei diesem Beispiel ist es möglich, eine Standardform anzugeben:

    $\left| \begin{array}{ccccc} a_1\cdot x&+&b_1\cdot y&=&c_1\\ a_2\cdot x&+&b_2\cdot y&=&c_2 \end{array}\right|$

    • In der oberen Gleichung steht auf der rechten Seite eine konstante Zahl, die $0$, und auf der linken die Unbekannte $x$. Schreibe $x$ als $1\cdot x$. Die Unbekannte $y$ kommt nicht vor, dies kannst du als $0\cdot y$ schreiben: $1\cdot x+0\cdot y=0$.
    • In der unteren Gleichung vertauschst du zunächst die Seiten ($y=1$) und gehst dann analog zu der oberen Gleichung vor: $0\cdot x+1\cdot y=1$.
    Nun ist das Gleichungssystem in Standardform fertig:

    $\left| \begin{array}{ccccc} 1\cdot x&+&0\cdot y&=&0\\ 0\cdot x&+&1\cdot y&=&1 \end{array}\right|$

  • Ermittle die konstanten Faktoren des Gleichungssystems in Standardform.

    Tipps

    Betrachte folgende Gleichung:

    $3x + 4y = 3 +x$.

    Durch Umstellen erhält man:

    $2x + 4y = 3$.

    Somit ist $a_1 = 2$, $b_1 = 4$ und $c_1 = 3$.

    Addiere in der oberen Zeile $3y$ und fasse dann zusammen.

    Subtrahiere in der unteren Zeile $3x$ und fasse dann zusammen.

    Lösung

    Wir gehen die Gleichungen nun einzeln durch und starten mit der oberen. Du siehst, dass auf der rechten Seite noch ein Term mit $y$ auftaucht. Auf der linken Seite müssen auch noch Terme zusammengefasst werden.

    • Wir addieren $3y$ auf beiden Seiten und erhalten $x-2x+y+3y=1$.
    • Durch Zusammenfassen erhalten wir $-1\cdot x+4\cdot y=1$.
    • Damit ist $a_1=-1$, $b_1=4$ und $c_1=1$.
    Nun bleibt noch die untere Gleichung:

    • Wir subtrahieren $3x$ und erhalten $4x-3x+y+y=5$.
    • Dann fassen wir wieder zusammen zu $1\cdot x+2\cdot y=5$.
    • Somit ist $a_2=1$, $b_2=2$ und $c_2=5$.
    Hier siehst du noch das komplette lineare Gleichungssystem in Standardform:

    $\left|\begin{array}{ccccccccccc} -1\cdot x&+&4\cdot y&=&1\\ 1\cdot x&+&2\cdot y&=&5 \end{array}\right|$

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