Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – unendlich viele Lösungen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – unendlich viele Lösungen Übung

• Erkläre, warum dieses lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

  Tipps

  Äquivalenzumformungen sind zum Beispiel:

  • das Multiplizieren einer Gleichung mit jeder Zahl außer $0$ und
  • das Addieren oder Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung.

  Dieses Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

  Durch welche Äquivalenzumformung kannst du die obere Gleichung so verändern, dass die untere Gleichung entsteht?

  Lösung

  Wenn man die obere Gleichung mit $2$ multipliziert, erhält man die untere Gleichung.

  Wir können also die obere Gleichung durch Äquivalenzumformungen so verändern, dass die untere Gleichung entsteht. Da die obere Gleichung unendlich viele Lösungen besitzt, wissen wir nun, dass das lineare Gleichungssystem ebenfalls unendlich viele Lösungen besitzt.

• Gib an, welche linearen Gleichungssysteme unendlich viele Lösungen besitzen.

  Tipps

  Ein lineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn

  • eine der beiden Gleichungen unendlich viele Lösungen hat und
  • die andere Gleichung durch Äquivalenzumformungen aus dieser Gleichung hervorgeht.

  Wenn du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren willst, musst du beide Seiten der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren.

  Hier siehst du eine Rechenhilfe: $0\cdot 3=0$.

  Zwei der sechs Gleichungssysteme haben unendlich viele Lösungen.

  Lösung

  Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen

  Beispiel 1

  $\begin{array}{ccccc} x&+&0\cdot y&=&1\\ 3\cdot x&+&0\cdot y&=&3 \end{array}$

  Das Gleichungssystem ist ein besonderer Fall. Da $0\cdot y=0$ ist, könnte man denken, dass dieser Teil der oberen Gleichung weggelassen werden darf.

  Wenn man den zweiten Summanden $0\cdot y$ weglässt, entsteht eine komplett andere Gleichung mit einer anderen Lösung. Deswegen müssen beide Summanden der ersten Gleichung genau so stehen bleiben. Die erste Gleichung wird gelöst, wenn für $x=1$ gewählt wird. Für $y$ kann jede beliebige reelle Zahl gewählt werden:

  • $(1;1)$
  • $(1;23)$
  • $(1;-2)$
  • ...

  Die erste Gleichung besitzt also unendlich viele Lösungen. Wenn die zweite Gleichung durch Äquivalenzumformungen aus der ersten Gleichung entstehen kann, dann hat das ganze lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Du kannst die obere Gleichung durch Multiplikation mit $3$ in die untere Gleichung umwandeln. Die Multiplikation mit $3$ ist eine Äquivalenzumformung. Damit haben wir herausgefunden, dass dieses lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

  Beispiel 2

  $\begin{array}{ccccc} x&+&y&=&1\\ 2\cdot x&+&2\cdot y&=&2 \end{array}$

  Auch dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Wir überprüfen: Die obere Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Wir können zum Beispiel diese Lösungspaare einsetzen: $(3;-2)$, $(-1;2)$, $(0,3;0,7)$, ... Und wir können die obere Gleichung durch Multiplikation mit $2$ in die untere Gleichung verwandeln. Also hat auch dieses lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

  Gleichungssysteme mit einer oder keiner Lösung

  Beispiel 3

  $\begin{array}{ccccc} x&+&y&=&1\\ 3\cdot x&+&2\cdot y&=&2 \end{array}$

  Dieses Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Stellen wir die erste Gleichung nach $y$ um zu $y=1-x$ und setzen sie in die zweite ein, erhalten wir den Wert für $x$:

  $\begin{array}{llll} 3x+2(1-x) &=& 2 & \\ x+2 &=& 2 & \vert -2 \\ x &=& 0 & \end{array}$

  Für $x=0$ liefert die erste Gleichung $y=1$. Das Zahlenpaar $(0\vert 1)$ löst auch die zweite Gleichung und ist somit die einzige Lösung dieses Gleichungssystems.

  Beispiel 4

  $\begin{array}{ccccc} x&+&y&=&1\\ 2\cdot x&+&2\cdot y&=&5 \end{array}$

  Die erste Gleichung ergibt nach $y$ umgestellt $y=1-x$. Setzt man das in die zweite Gleichung ein, erhält man folgenden Widerspruch:

  $\begin{array}{llll} 2x+2(1-x) &\neq & 5 & \\ 2 &\neq & 5 & \end{array}$

  Damit hat dieses Gleichungssystem keine Lösung.

  Beispiel 5

  $\begin{array}{ccccc} x&+&0\cdot y&=&1\\ 3\cdot x&+&3\cdot y&=&3 \end{array}$

  Da $y$ in der ersten Gleichung den Koeffizienten $0$ hat, können wir hier jeden beliebigen Wert für $y$ einsetzen. $x$ ist hier immer gleich $1$. Allerdings erfüllt für $x=1$ nur $y=0$ die zweite Gleichung. Damit ist nur das Zahlenpaar $(1\vert 0)$ eine Lösung dieses Gleichungssystems.

  Beispiel 6

  $\begin{array}{ccccc} x&+&0\cdot y&=&-1\\ 3\cdot x&+&0\cdot y&=&3 \end{array}$

  Aus der ersten Gleichung erhalten wir $x=-1$. $y$ darf hier wieder jeden beliebigen Wert annehmen. Aus der zweiten Gleichung geht hingegen hervor, dass $x=1$ sein muss. Somit erhalten wir hier einen Widerspruch und das Gleichungssystem hat keine Lösung.

• Untersuche, wann das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

  Tipps

  Ein lineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn

  • eine der beiden Gleichungen unendlich viele Lösungen hat und
  • die andere Gleichung durch Äquivalenzumformungen aus dieser Gleichung hervorgeht.

  Die bekannten Koeffizienten der zweiten Gleichung verraten dir die jeweilige Äquivalenzumformung.

  Schau dir dieses Beispiel an:

  Du weißt, dass die obere Gleichung unendlich viele Lösungen hat. Damit das gesamte Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, musst du die obere Gleichung durch Äquivalenzumformungen in die untere Gleichung umwandeln.

  Du suchst also eine Zahl, mit der du die obere Gleichung multiplizieren kannst, damit die untere Gleichung entsteht.

  Um von $-2$ zu $8$ zu kommen sowie von $4$ zu $-16$ zu kommen, musst du die obere Gleichung mit dem Faktor $-4$ multiplizieren. Also rechnest du $g=-4\cdot 3=-12$. Wenn du für $g=-12$ wählst, dann besitzt das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

  Lösung

  Das lineare Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, wenn die zweite Gleichung durch Äquivalenzumformungen aus der ersten Gleichung hervorgeht. Wir suchen also zuerst eine Zahl, außer $0$, mit der wir die erste Gleichung multiplizieren. Diese Äquivalenzumformung soll die zweite Gleichung ergeben.

  Erstes lineares Gleichungssystem

  $\begin{array}{ccccc} -2\cdot x&+&3\cdot y&=&4\\ 2\cdot x&+&a\cdot y&=&b \end{array}$

  Wenn du die obere Gleichung mit dem Faktor $-1$ multiplizierst, erhältst du diese Gleichung:

  $2\cdot x + (-3)\cdot y=-4$

  Also ist $a=-3$ und $b=-4$.

  Zweites lineares Gleichungssystem

  $\begin{array}{ccccc} -2\cdot x&+&3\cdot y&=&4\\ 6\cdot x&+&(-9)\cdot y&=&c \end{array}$

  Zuerst wollen wir herausfinden, mit welchem Faktor wir die obere Gleichung multiplizieren müssen, damit die untere Gleichung entsteht. Du dividierst einen Koeffizienten, zum Beispiel $6$, durch den entsprechenden der anderen Gleichung, also $6:(-2)=-3$. Der gesuchte Faktor ist also $-3$. Um herauszufinden, welchen Wert $c$ hat, musst du $4\cdot(-3)$ rechnen und erhältst das Ergebnis $c=-12$.

  Drittes lineares Gleichungssystem

  $\begin{array}{ccccc} -2\cdot x&+&3\cdot y&=&4\\ d\cdot x&+&6\cdot y&=&e \end{array}$

  Wenn du die obere Gleichung mit dem Faktor $2$ multiplizierst, erhältst du diese Gleichung:

  $-4\cdot x+6\cdot y=8$

  So erhältst du $d=-4$ und $e=8$.

  Viertes lineares Gleichungssystem

  $\begin{array}{ccccc} -2\cdot x&+&3\cdot y&=&4\\ f\cdot x&+&(-1,5)\cdot y&=&-2 \end{array}$

  Wenn du die obere Gleichung mit dem Faktor $-0,5$ multiplizierst, erhältst du die untere Gleichung. Damit ist $f=1$.

• Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme.

  Tipps

  Bei dieser Aufgabe brauchst du diese Form der Äquivalenzumformung:

  Multiplikation mit einer beliebigen Zahl außer $0$.

  Achte darauf, dass die erste Gleichung auf beiden Seiten nach der Äquivalenzumformung so aussehen soll wie die zweite Gleichung.

  Setze zur Probe die Lösungen, die du gefunden hast, in das Gleichungssystem ein. Wenn beide Gleichungen erfüllt sind, ist deine Lösung korrekt.

  Lösung

  Hier siehst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Platzhalter vor den Variablen werden auch Koeffizienten genannt. Koeffizienten können jeden Wert annehmen, auch die $0$. Wenn der Koeffizient $0$ ist, kann man für die Variable hinter dem Koeffizienten jeden beliebigen Wert einsetzen. Das liegt daran, dass immer gilt: $0\cdot z=0$

  Auch in diesem Fall gilt: Wenn eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen aus der anderen Gleichung hervorgeht, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dann ist allerdings eine der beiden Variablen eine feste Zahl und die andere frei wählbar.

  Nun schauen wir uns die Gleichungssysteme von oben nach unten an:

  • Das obere Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen: $y=2$ und $x$ frei wählbar.
  • Das zweite Gleichungssystem von oben besitzt keine Lösung, da aus der oberen Gleichung $y=2$ und aus der unteren $y=3$ folgen würde.
  • Das dritte Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen: $x=-1$ und $y$ frei wählbar.
  • Das vierte Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen: $x=2$ und $y$ frei wählbar.

• Gib an, wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem haben kann.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem:

  $\begin{array}{ccccc} 1\cdot x&+&1\cdot y&=&1\\ 3\cdot x&+&(-3)\cdot y&=&-6 \end{array}$

  Die obere Gleichung kannst du umformen und erhältst diese Funktionsgleichung: $y=-x+1$

  Die untere Gleichung kannst du ebenfalls umformen und erhältst diese Funktionsgleichung: $y=x+2$

  Zu der oberen Gleichung gehört die rote Gerade, zu der unteren Gleichung gehört die blaue Gerade im Koordinatensystem. Der Punkt, in dem sich die beiden Geraden schneiden, ist die Lösung des Gleichungssystems.

  $\begin{array}{ccccc} x&+&0\cdot y&=&-1\\ 3\cdot x&+&0\cdot y&=&3 \end{array}$

  hat zum Beispiel keine Lösung.

  Lösung

  Es gibt drei Möglichkeiten: Ein lineares Gleichungssystem kann keine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder eine Lösung haben.

  Das kann man sich so erklären: Zu jeder Gleichung im linearen Gleichungssystem gehört eine Gerade. Zu einem linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten gehören also zwei Geraden, da es zwei Zeilen hat. Jeder Punkt, der auf beiden Geraden liegt, gibt uns eine Lösung für das lineare Gleichungssystem.

  Die drei Möglichkeiten, wie sich zwei Geraden schneiden können, siehst du im Bild. Von links nach rechts:

  • Die Geraden können zueinander parallel sein, dann haben sie keine gemeinsamen Punkte also auch keine Lösung,
  • die Geraden können genau aufeinander liegen, dann haben sie unendlich viele gemeinsame Punkte also auch unendlich viele Lösungen, oder
  • die Geraden können sich schneiden, dann haben sie einen gemeinsamen Punkt, also genau eine Lösung.

  Hierzu betrachten wir nun das folgende Beispiel:

  $\begin{array}{ccccc} x&+&0\cdot y&=&1\\ 3\cdot x&+&0\cdot y&=&3 \end{array}$

  Aus der ersten Gleichung geht hervor, dass $x=1$ gelten muss. Da $y$ den Koeffizienten $0$ hat, kann $y$ jede beliebige Zahl annehmen. Auch die zweite Gleichung liefert uns die gleiche Lösung, denn die zweite Gleichung erhält man durch Äquivalenzumformung der ersten Gleichung (Multiplikation mit $3$). Damit hat dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, wie zum Beispiel:

  • $(1\vert -5)$
  • $(1\vert -10)$
  • $(1\vert 24)$
  • $(1\vert 0)$
  • $(1\vert 1)$
  • ...

• Ordne jedem Gleichungssystem die Gerade zu, auf der alle Lösungen liegen.

  Tipps

  So schreibt man den Graphen einer linearen Funktion auf:

  $y=m \cdot x+n$

  Alle gesuchten Geraden sind lineare Funktionsgraphen.

  Auch dieses Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

  Die zugehörige Geradengleichung kannst du herausfinden. Du formst eine – egal welche! – der beiden Gleichungen nach $y$ um. Wir wählen hier die erste Gleichung:

  $\begin{array}{rclll} -2x+2y&=&2&|&+2x\\ 2y&=&2x+2&|&:2\\ y&=&x+1 \end{array}$

  Dies ist die gesuchte Geradengleichung.

  Lösung

  • In dem ersten Gleichungssystem kann $y$ frei gewählt werden. Da $2x=5$ sein muss, ist $x=2,5$ die gesuchte Geradengleichung.
  • In dem zweiten Gleichungssystem kannst du keine der beiden Variablen frei wählen. Deshalb nehmen wir die obere Gleichung und lösen sie nach $y$ auf. Wir subtrahieren $2x$ auf beiden Seiten und erhalten $y=-2x+2$. Auf dieser Geraden liegen alle Lösungspaare des Gleichungssystems.
  • In dem dritten Gleichungssystem kann $x$ frei gewählt werden. $y$ muss $-4$ sein. Dies führt zu der Geradengleichung $y=-4$.
  • In dem vierten Gleichungssystem kannst du keine der beiden Variablen frei wählen. Deshalb nehmen wir die obere Gleichung und lösen sie nach $y$ auf. Wir addieren $4x$ auf beiden Seiten und erhalten $2y=4x+6$. In einem zweiten Schritt dividieren wir beide Seiten durch $2$. Dies führt zu der Geradengleichung $y=2x+3$.