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Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – keine Lösung

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Martin Wabnik
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – keine Lösung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – keine Lösung

Nun hast du bereits zwei Beispiele kennengelernt, die auf unterschiedliche Weise gelöst werden. Einmal existierte genau ein passendes Zahlenpaar und einmal unendlich viele Zahlenpaare als Lösung. Im letzten Video zu linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen bekommst du an einem Beispiel die letzte mögliche Lösung eines linearen Gleichungssystems vorgestellt. Es gibt solche Gleichungssysteme bei denen gibt es keine einzige mögliche Lösung. Woran man diese erkennt und wie die Lösungsmenge dann anzugeben ist, erfährst du nun im Video. Viel Spaß dabei!

Transkript Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – keine Lösung

Hallo! Lineare Gleichungssysteme sind Gleichungssysteme, die man auf diese Form bringen kann. Die können genau eine Lösung haben, die können unendlich viele Lösungen haben, oder auch überhaupt keine.   Und wie das mit überhaupt keiner Lösung funktioniert, das möchte ich jetzt mal zeigen. Und zwar habe ich Folgendes vorbereitet: x+y=0 ist die eine Gleichung. Und die andere Gleichung ist x+y=1. Ich glaube, du kannst das gleich erkennen. Wenn die obere Gleichung richtig ist, wenn also x und y zusammen 0 ergeben, dann kann die untere Gleichung nicht richtig sein. Die obere Gleichung hat viele Lösungen, nämlich unendlich viele. Die untere Gleichung für sich genommen auch. Aber zusammen hat dieses Gleichungssystem überhaupt keine einzige Lösung. Übrigens, wie kommt man zu solchen Gleichungssystemen, die überhaupt keine Lösung haben? Man nimmt sich einfach irgendeine Gleichung und macht eine Äquivalenzumformung. Zum Beispiel kann ich jetzt hier mit 3 multiplizieren, dann habe ich hier stehen: 3x+3y=3. Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, und immer, wenn x+y=1 ist, ist auch 3x+3y=3. Wenn ich aber diese 3 jetzt verändere und einfach eine 4 hinschreibe, dann hat dieses Gleichungssystem keine Lösung mehr. Denn immer wenn die 1. Gleichung richtig ist, ist die 2. falsch. Denn wenn man das einsetzt, was für die 1. Gleichung richtig ist, dann ergibt das hier zusammen auf der linken Seite ... 3x+3y ergibt 3 und nicht 4. Es ist immer falsch.   Einen anderen Fall möchte ich noch zeigen, und zwar diesen: Ich habe hier eine ganz normale Gleichung. Und eine nicht ganz normale Gleichung, die sieht so aus: 0×x+0×y=1 (Warum nicht?) Warum zeige ich diesen Fall? Dieses Gleichungssystem hat nicht deshalb keine Lösung, weil die beiden Gleichungen zusammen sind (weil diese beiden Gleichungen ein Gleichungssystem bilden), sondern dieses untere Gleichungssystem hat deshalb keine Lösung, weil die untere Gleichung keine Lösung hat. Die obere Gleichung, klar, die hat unendlich viele Lösungen. Kein Problem. Die untere hat aber keine. Wenn ich etwas für x einsetze: (Irgendetwas, völlig egal.) 0×x ist immer 0. Wenn ich etwas für y einsetze: 0×y ist auch immer 0. Hier steht immer eine 0, egal was ich für x und y einsetze. Und das ist nun mal nicht 1. Das heißt, die untere Gleichung ist immer falsch. Deshalb hat das ganze Gleichungssystem keine Lösung.   So, und damit haben wir alle Fälle betrachtet. Eine Lösung (also genau eine, keine 2, keine 3; das geht nicht), unendlich viele Lösungen oder keine einzige Lösung. Das sind die 3 Fälle, die möglich sind. Demnächst kommen noch viel mehr solche Gleichungen. Bis dahin viel Spaß! Tschüss!        

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Das dargestellte Gleichungssystem bei Aufgabe 5, ist nicht sichtbar.

    Von Max, vor etwa einem Monat
  2. @Amend Juergen: Hallo Amend, a und b sind Parameter, das stimmt. Ein Parameter ist aber etwas anderes als eine Variable. Das ist eine in einer Aufgabe fest bestimmte Zahl, man schreibt nur nicht die Zahl hin um es allgemeiner zu halten. Du kannst einen Parameter aber immer als Zahl betrachten. Stell dir vor, es wäre b=1. Dann ist es offensichtlich, dass es genau eine Lösung für y gibt. Genau so ist es, wenn b= 3 oder b=200 wäre. Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Hjördis Leiser, vor mehr als 4 Jahren
  3. Warum ist bei Aufgabe 4, wenn a gleich 0 ist eindeutig lösbar, dachte das b ein Parameter ist.

    Von Amend Juergen, vor mehr als 4 Jahren
  4. Ja, danke. Ich habe hinterher wieder gerechnet, dass, eine von dem Gleichungssystem keine Lösung.

    Von Joniehh, vor mehr als 8 Jahren
  5. @Joniehh:
    Im ersten Gleichungssystem lauten die Gleichungen:
    2x+2y=4 und
    4x+4y=7 (und nicht 8)
    Ich glaube, du hast hier einen Abschreibfehler begangen.
    Eine dieser drei Glichungssysteme beseitzt keine Lösung. Eine hat genau eine Lösung (für x,y) und die Verbliebene hat unendlich viele Lösungen.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 8 Jahren
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Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – keine Lösung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – keine Lösung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Forme die Gleichung $x+y=1$ nach $y$ um.

    So erhältst du eine lineare Funktionsgleichung.

    Wie sieht der Funktionsgraph einer linearen Funktion aus?

    Auf einer Geraden liegen unendlich viele Punkte.

    Die rote Gerade gehört zu der Gleichung $x+y=1$ und die grüne zu $x+y=0$.

    Lösung

    Schauen wir uns zunächst einmal die Gleichung $x+y=0$ an. Wenn du diese umformst, erhältst du $y=-x$. Die zugehörige Gerade ist in dem Koordinatensystem grün eingezeichnet. Jeder Punkt auf der Geraden erfüllt diese Gleichung. Es gibt also unendlich viele Lösungen für diese Gleichung.

    Ebenso gibt es unendlich viele Lösungen für die Gleichung $x+y=1$, welche auf der roten Geraden liegen.

    Die beiden Geraden sind parallel zueinander und haben somit keinen Punkt gemeinsam. Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass das Gleichungssystem

    $\begin{array}{ccccc} x&+&y&=&0\\ x&+&y&=&1 \end{array}$

    keine Lösung besitzen kann.

    Du kannst natürlich auch wie folgt argumentieren. Wenn für ein Paar $(x|y)$ die Gleichung $x+y=0$ erfüllt ist, kann nicht zusätzlich $x+y=1$ gelten, da $0\neq 1$ ist.

  • Bestimme die Gleichungssysteme, die keine Lösung besitzen.

    Tipps

    Wenn eine der beiden Gleichungen keine Lösung besitzt, besitzt auch das gesamte Gleichungssystem keine Lösungen.

    Du kannst, sofern möglich, die Lösungen einer Gleichung als Gerade darstellen.

    Von links nach rechts:

    • Entweder sind die Geraden zu den beiden Gleichungen parallel: Dann hat das Gleichungssystem keine Lösung.
    • Oder die Geraden sind identisch: Dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.
    • Oder die Geraden schneiden sich: Dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.
    Lösung

    Das Gleichungssystem

    $\begin{array}{ccccc} x&+&y&=&0\\ x&+&y&=&1 \end{array}$

    besitzt keine Lösung: Immer wenn die erste Gleichung richtig ist, ist die zweite falsch.

    Betrachte die zweite der obigen beiden Gleichungen und multipliziere diese mit $3$, so erhältst du das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{ccccc} x&+&y&=&1\\ 3x&+&3y&=&3 \end{array}$

    Dieses Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Ersetzt du jedoch in der unteren Gleichung die $3$ durch $4$, hat das Gleichungssystem keine Lösung. Es ist also unlösbar:

    $\begin{array}{ccccc} x&+&y&=&1\\ 3x&+&3y&=&4 \end{array}$

    Unlösbar ist ein Gleichungssystem auch, wenn eine der beiden Gleichungen unlösbar ist, wie beim folgenden Gleichungssystem zu sehen ist:

    $\begin{array}{ccccc} 2x&-&3y&=&\frac12\\ 0x&+&0y&=&1 \end{array}$

    Die untere Gleichung besitzt keine Lösung, da auf der linken Seite immer $0$ steht und $0\neq 1$ ist.

    Steht in der unteren Gleichung auf der rechten Seite $0$, dann besitzt die Gleichung unendlich viele Lösungen und somit auch das Gleichungssystem:

    $\begin{array}{ccccc} 2x&-&3y&=&\frac12\\ 0x&+&0y&=&0 \end{array}$

  • Ordne den Gleichungen ihre Lösungen zu.

    Tipps

    Forme die Gleichung so um, dass sie diese Form hat:

    $y=m\cdot x+b$.

    Dies ist die Gleichung einer linearen Funktion. Der zugehörige Funktionsgraph ist eine Gerade mit der Steigung $m$ und dem y-Achsenabschnitt $b$.

    Da jeweils eine Gleichung mit zwei Unbekannten vorliegt, kann es nur die folgenden Möglichkeiten geben:

    • Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen: Diesen liegen auf einer Geraden.
    • Die Gleichung besitzt keine Lösung. Egal, welche Werte du für $x$ und $y$ einsetzt, die Gleichung ist nie erfüllt.
    Lösung

    In einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten können unter gewissen Voraussetzungen beide Gleichungen umgeformt werden zu $y=m\cdot x+b$. Dies ist die Gleichung einer linearen Funktion, deren Funktionsgraph eine Gerade ist.

    Es sind dann die in dem Bild zu sehenden Fälle (von links nach rechts) möglich:

    • Die beiden Geraden sind parallel: Das heißt, das lineare Gleichungssystem besitzt keine Lösung.
    • Die beiden Geraden sind identisch: Das heißt, das lineare Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.
    • Die beiden Geraden schneiden sich. Dann gibt es genau eine Lösung für das lineare Gleichungssystem.
    Schauen wir uns nun die obigen Gleichungen an:

    • $x-y=1$ kann umgeformt werden zu $y=x-1$.
    • $x+y=0$ kann umgeformt werden zu $y=-x$.
    Nun kommen noch ein paar Sonderfälle:

    • $0\cdot x+y=4$ ist äquivalent zu $y=4$. Auch dies ist eine lineare Funktionsgleichung. Hier ist $m=0$. Die zugehörige Gerade verläuft parallel zur x-Achse.
    • $0\cdot x+0\cdot y=4$. Egal, was du für $x$ oder $y$ einsetzt, die Gleichung ist nie erfüllt. Sie besitzt also keine Lösung.
    Kommen wir noch zu weiteren Ausnahmen, wo die Geraden parallel zu den Koordinatenachsen sind:

    • Die Gleichung $0\cdot x+0\cdot y=0$ ist für alle $x$ und $y$ erfüllt. Also ist jeder Punkt in der x-y-Ebene eine Lösung.
    • Die Gleichung $ x+0\cdot y=4$ besitzt die Lösungen $(4|y)$. Diese liegen alle auf einer Geraden parallel zur y-Achse. Diese Gerade gehört nicht zu einer linearen Funktion.
  • Entscheide, wie viele Lösungen das Gleichungssystem besitzt.

    Tipps

    Schreibe dir bei konkreten Angaben für $a$ und $b$ das Gleichungssystem auf.

    Forme jede Gleichung so um, dass dort $y=m\cdot x+b$ steht.

    Wenn der Faktor $m$ vor dem $x$ in beiden Gleichungen verschieden ist, existiert genau eine Lösung für das Gleichungssystem.

    Wenn $a=0$ ist, kannst du die zweite Gleichung so umformen:

    $y=\frac b2$.

    Setze dieses $b$ in die erste Gleichung ein.

    Wenn du die erste Gleichung mit $2$ multiplizierst, erhältst du:

    $2x+2y=2$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um die Auswirkungen der Parameter $a$ und $b$ auf die Lösungsmenge. Im Folgenden schauen wir uns die Aussagen an und zeigen, weshalb sie stimmen bzw. nicht stimmen. Die erste Gleichung des Systems ist unabhängig von $a$ und $b$ und lautet:

    $x+y = 1$.

    1. Aussage: $a=0$

    Mit $a=0$ ergibt sich die zweite Gleichung $2y = b$. Damit lässt sich $y = \frac{b}{2}$ berechnen. Durch Einsetzen in die erste Gleichung ergibt sich $x+\frac{b}{2} = 1$, was du zu $x = 1 - \frac{b}{2}$ umformen kannst. Das LGS ist also eindeutig (abhängig von $b$) lösbar.

    2. Aussage: $a=2$ und $b=0$

    Mit diesen Parametern lautet die zweite Gleichung $2x+2y = 0$. Das LGS hat dann keine Lösung, was du zum Beispiel herausfinden kannst, indem du die $2$ ausklammerst. Aus $2x+2y = 0$ folgt $2(x+y) = 0$. Durch die erste Gleichung weißt du, dass $x+y = 1$ gilt. Also folgt $2\cdot 1 = 0$, was nicht korrekt ist.

    3. Aussage: $a=1$ und $b=1$

    Die zweite Gleichung lautet nun $x+2y = 1$. Eine mögliche Lösung für das LGS ist dann $x=1$ und $y=0$. Beide Gleichungen sind dadurch erfüllt. Die Aussage, dass hier keine Lösung vorliegt, ist also nicht korrekt.

    4. Aussage: $a=2$ und $b\neq 2$

    Die zweite Gleichung lautet dann $2x+2y=b$, wobei $b$ nicht zwei sein darf. Auch hier kannst du ausklammern und erhältst $2(x+y) = b$. Da laut erster Gleichung $x+y = 1$ gilt, gilt insgesamt $2\cdot 1 = b$. Da $b$ aber nicht $2$ ergeben darf, ist die Aussage, dass es keine Lösung gibt, korrekt.

    5. Aussage: $a=2$ und $b=2$

    Die zweite Gleichung lautet dann $2x+2y = 2$. Eine Division durch $2$ führt uns hier auf die erste Gleichung. Beide Gleichungen haben also dieselbe Aussage. Mögliche Lösungen sind $x=1$ und $y=0$, $x=0,25$ und $y=0,75$ usw. Auf diese Weise kannst du unendlich viele Lösungen finden. Es muss $x=1-y$ und $y = 1-x$ gelten.

    6. Aussage: $a\neq 2$

    Es gilt $ax+2y = b$, wobei $a$ nicht den Wert $2$ annehmen darf. Wir wählen $a=1$ und erhalten $x+2y=b$. Eine mögliche Lösung ist nun $x=1$ und $y=0$.

  • Gib an, wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem haben kann.

    Tipps

    Wenn du dir eine Gleichung anschaust, kannst du die Menge aller Lösungen als eine Gerade darstellen, sofern die Gleichung lösbar ist.

    Zwei Geraden können (von links nach rechts) entweder parallel zueinander sein oder identisch oder sich schneiden.

    Wenn zwei Geraden sich schneiden, haben sie einen gemeinsamen Punkt.

    Wenn zwei Geraden parallel sind, haben sie keine Punkte gemeinsam. Sind sie identisch, haben sie alle, also unendlich viele Punkte gemeinsam.

    Lösung

    Wenn du dir eine Gleichung mit einer Unbekannten anschaust, zum Beispiel

    $x+y=1$,

    kannst du diese folgendermaßen umformen:

    $y=-x+1$.

    Erkennst du diese Gleichung? Dies ist eine lineare Funktionsgleichung. Der zugehörige Funktionsgraph ist eine Gerade. So gehören also zu zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gegebenenfalls zwei Geraden.

    Diese können (wie hier im Bild von links nach rechts zu sehen) entweder

    • parallel oder
    • identisch sein oder
    • sich schneiden.
    Im Fall der Parallelität haben sie keinen gemeinsamen Punkt. Das bedeutet: Es gibt keine Lösung für das Gleichungssystem. Im Fall der Identität haben die Geraden unendlich viele Punkte gemeinsam. Das bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen für das Gleichungssystem gibt.

    Im letzten Fall, dem des Schnitts, haben die Geraden einen Punkt gemeinsam. Das Gleichungssystem hat somit eine Lösung.

    Dass ein Gleichungssystem ausschließlich zwei Lösungen hat, ist nicht möglich.

    Zusammengefasst kannst du dir merken: Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen hat entweder keine oder eine oder unendlich viele Lösungen.

    Übrigens kann eine Gleichung mit einer Unbekannten auch

    • die gesamte x-y-Ebene als Lösungsmenge: $0\cdot x+0\cdot y=0$
    • oder keine Lösung haben: $0\cdot x+0\cdot y=1$.
  • Gib die Lösung(en) für $x$ und $y$ des linearen Gleichungssystems an.

    Tipps

    Forme eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Unbekannten um und setze diese Unbekannte in die andere Gleichung ein. Dies ist das Einsetzungsverfahren.

    Auf diese Weise erhältst du eine Gleichung mit einer Unbekannten. Löse diese Gleichung durch Äquivalenzumformungen.

    Du könntest auch das Doppelte der ersten (oberen) Gleichung zu der zweiten (unteren) addieren. Dies ist das Additionsverfahren. Dabei wird eine der beiden Variablen eliminiert.

    Beachte, dass die Lösungen für $x$ und $y$ beide Gleichungen lösen müssen.

    Beide Lösungen sind natürliche Zahlen, deren Summe $5$ ist.

    Auch das ist wieder eine lineare Gleichung: $x+y=5$.

    Lösung

    Wir wollen dieses Gleichungssystem lösen:

    $\begin{array}{ccccc} 4x&-&2y&=&8\\ -x&+&4y&=&5 \end{array}$

    Dazu kann das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren verwendet werden. Egal, welches dieser Verfahren du wählst, du erhältst immer die gleiche Lösung.

    Wir lösen das Gleichungssystem durch Addition des Doppelten der oberen zu der unteren Gleichung. Dies führt zu dieser Gleichung:

    $7x=21$.

    Nun kannst du durch $7$ dividieren und erhältst $x=3$.

    Setze dieses $x$ in eine der beiden Gleichungen ein:

    $4\cdot 3-2y=8$.

    Subtraktion von $12$ führt zu $-2y=-4$. Dividiere durch $-2$, so erhältst du $y=2$.

    Führe am Ende immer noch eine Probe durch:

    • $4\cdot 3-2\cdot 2=12-4=8$ ✓
    • $-3+4\cdot 2=-3+8=5$ ✓
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