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Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen

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Mathe-Team
Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen

Gleichungen sind ganz zentral in der Mathematik. Und Gleichungen-Lösen natürlich auch. Gleichungen enthalten Variablen, und zu Beginn wirst du kurz wiederholen, was eine Variable ist und welche Rolle sie in einer Gleichung spielt. Du erfährst, was man unter der Lösung einer Gleichung versteht, und wie man die Lösung durch probieren "ausrechnet". Ausprobieren in der Mathematik? Das ist gar keine schlechte Methode, auch Profi-Mathematiker haben immer wieder mit Gleichungen zu kämpfen, bei denen sie sich der Lösung durch Probieren nähern. Probieren ist natürlich nicht gleich probieren - du wirst sehen, wie man geschickt probiert.

Transkript Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen

Hi. Für das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen gibt es mehrere Lösungsverfahren für Gleichungen. Ich stelle dir heute eines vor – und zwar das geschickte Probieren. Es ist ein einfaches und gleichzeitig nicht das allerschlechteste Verfahren. Auch professionelle Mathematiker verwenden für viele Probleme Probiermethoden.

Im Folgenden werden wir kurz wiederholen, was eine Variable ist und was eine Gleichung ist und welche Rolle eine Variable in einer Gleichung hat. Das bringt uns dann schon auf die richtige Spur: Wir suchen Lösungen von Gleichungen. Dabei lassen wir uns von unserem mathematischen Instinkt leiten: Lösen durch Probieren.

Wir werden dann das Verfahren auf ein konkretes Problem anwenden und am Schluss noch mal alles zusammenfassen.

Variablen

Zunächst also eine kleine Wiederholung: Was ist eine Variable? Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. Man bezeichnet sie mit einem Buchstaben, z.B. einem x oder einem k oder einem c. Wenn du dir also in einer Rechenvorschrift etwas offen halten willst, benutzt du eine Variable.

Ein kurzes Beispiel: In der Rechenvorschrift 5 + 4 ist alles festgelegt, das Ergebnis ist eindeutig 9. In der Rechenvorschrift 5 + c hingegen ist die zweite Zahl offen, dieser Term hat keinen eindeutigen Zahlenwert.

Erst wenn du für c eine Zahl einsetzt, kannst du das Ergebnis ausrechnen. Zum Beispiel liefert einsetzen von 8 das Ergebnis 13.

Zahlen und Variablen kannst du sehr unterschiedlich kombinieren und damit Terme bilden, z.B. 3 mal Klammer auf 5 mal k + 7 Klammer zu. Oder sieben mal Klammer auf 3x plus 5 Klammer zu usw.

Gleichungen

Eine Gleichung erhalten wir, wenn wir zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbinden, z.B. 5 + 2c = 21. Auch hier kannst du für die Variable c irgendeine Zahl einsetzen, aber eine wahre Aussage entsteht aus der Gleichung nur, wenn nach dem Einsetzen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen dieselbe Zahl steht. Setzt du z.B. 3 ein, entsteht eine falsche Aussage, denn 5 + 2 mal 3 ist 11 und nicht 21.

Die Menge der Zahlen, die du für x einsetzen kannst, sodass eine wahre Aussage entsteht, nennt man Lösungsmenge einer Gleichung. Wie man die Lösungsmenge findet, werden wir gleich erkunden.

Zunächst noch etwas Wichtiges: Gleichungen fallen nicht in jedem Falle vom Himmel, sondern müssen oft zu einem gegebenen Problem aufgestellt werden. Zum Beispiel zu folgendem Rätsel:

Deine kleine Nichte Lisa ist fünf Jahre alt. Ihr Bruder heißt Max. Wenn du Lisas Alter zum Doppelten von Max’ Alter addierst, kommt 21 heraus. Wie alt ist Max?

Hier hilft dir eine Variable. Das Alter von Max bezeichnen wir mit der Variable klein m. Dann lautet die Übersetzung des Rätsels in einer Gleichung: 5 + 2 mal m = 21.

Gleichungen lösen durch Probieren Beispiel 1

Wir wollen die Gleichung 5 + 2m = 21 nun lösen. Wie könnte man zu einer Lösung kommen? Nun, lösen heißt: Die Zahl suchen, die du für m einsetzen kannst, so dass aus der Gleichung eine wahre Aussage wird. Nun fahren wir eine ganz einfache Strategie: wir setzen für m einfach verschiedene Zahlen ein.

Wo sollen wir anfangen? Wir gehen geschickt vor.Wir wissen das Max älter als die 5-jährige Lisa ist. Also setzen wir nur Zahlen ein, die größer als 5 sind. Der Altersunterschied wird bestimmt nicht groß sein - welches Geschwisterpaar hat schon einen Altersabstand von 50 Jahren. Also muss ich eher kleine Zahlen ausprobieren.

Wir machen eine kleine Tabelle und “kreisen” die Lösung durch Ausprobieren ein. In der ersten Spalte notieren wir die Zahlen, die wir für x einsetzen, in der zweiten das Ergebnis für den Term 5 + 2x. Wenn es 21 ergibt, haben wir die Lösung gefunden.

Probieren wir zunächst x = 1, dann nimmt der Term 5+2x den Wert 5 + 2 mal 1= 7 an. 7=21 ist keine wahre Aussage und die 7 ist zu klein, x = 1 ist eine zu kleine Zahl. Aber wir hatten ja auch gesagt, dasss wir Zahlen einsetzen, die größer als 5 sind.

Probieren wir daher x = 10, dann erhalten wir 5 + 2 mal 10 = 5 + 20 = 25. 25 = 21 ist auch keine wahre Aussage und die 25 ist zu groß. Jetzt sind wir quasi über das Ziel hinausgeschossen.

Also probieren wir x = 9, jetzt erhalten wir 5 + 2 mal 9 = 5 + 18 = 23. Nun x = 7, damit erhalte ich 5 plus 2 mal 7 = 5 + 14 = 19. Immer noch falsch, diesmal ist das Ergebnis zu klein. Also bleibt nur noch eine Wahl: x = 8. Damit erhalte ich 5 plus 2 mal 8 = 5 + 16 = 21. Wahre Aussage! x = 8 ist die Lösung meiner Gleichung! x ist das Alter von Max, also ist Max acht Jahre alt.

Gleichungen lösen durch Probieren Beispiel 2

Probieren wir das Verfahren an einem kleinen Zahlenrätsel aus: Wenn man vom Vierfachen einer Zahl 1 abzieht, ergibt sich das Dreifache der Zahl, zu dem man noch 3 hinzuaddiert. Zunächst übersetzen wir dieses Rätsel Wort für Wort in eine Gleichung:

  • Die gesuchte Zahl nennen wir: z
  • Das Vierfache der Zahl ist dann: 4z
  • Nun müssen wir noch 1 subtrahieren: 4z - 1
  • Das ist der erste Term aus dem Zahlenrätsel. Dieser soll gleich dem Dreifachen der Zahl sein, wenn man noch 3 addiert.
  • Das Dreifache der Zahl ist: 3z
  • Addiert man noch 3, erhalten wir den zweiten Term: 3z + 3

Also soll gelten: 4 mal z -1 = 3 mal z +3. Das ist unsere Gleichung.

Nun steht auf beiden Seiten die Variable, aber das macht nichts: Beim geschickten Probieren muss ich eben jetzt auf beiden Seiten der Gleichung Werte für z einsetzen, und zwar jeweils denselben!

Fangen wir einfach mal auf Gut Glück mit z=1 an; damit erhalten wir 4 mal 1 -1 = 3 und 3 mal 1 + 3 = 6, also keine wahre Aussage. Aber wir sind wohl schon nah an der Lösung, denn die Differenz der beiden Ergebniss beträgt nur 3. Mit z = 2 erhalten wir 4 mal 2 minus 1 = 7 und 3 mal 2 + 3 = 9. Aha, immer noch falsch, aber die beiden Terme rücken schon näher zusammen. Die Differenz beträgt nämlich nur noch 2.

Probieren wir nun die 4: 4 mal 4 - 1 = 15 und 3 mal 4 + 3 = 15. z = 4 ist die Lösung, d.h. die gesuchte Zahl des Rätsels!

Zusammenfassung

Fassen wir zusammen:

  1. Variablen sind Platzhalter für Zahlen.
  2. Gleichungen enthalten eine Variable, und die Lösung einer Gleichung ist eine Zahl, die wir für die Variable einsetzen, sodass durch das Einsetzen eine wahre Aussage entsteht.
  3. Wir können Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen, indem wir für die Variable so lange Zahlen einsetzen, bis eine wahre Aussage entsteht.

Damit hast du einen einen interessanten Weg kennen gelernt, Gleichungen zu lösen. Denn probieren geht also zumindest für heute tatsächlich über studieren.

28 Kommentare

28 Kommentare
  1. Liebe Redaktion,
    Mir hat dieses Video sehr gut gefallen.
    Sonnige Grüße wünscht Moritz

    Von Moritz Freutsmiedl, vor 5 Tagen
  2. Sehr gutes video, leicht erklärt und einfach top!

    Von Jignasa P., vor 23 Tagen
  3. Ich finde das Video sehr gut!!

    Von Sabrina Dimen, vor etwa einem Monat
  4. Ich kann nichts sehen

    Von Yannic 1, vor etwa einem Jahr
  5. Hallo Dusica Achim,
    da hast du vollkommen recht. Mit dieser Rechnung können wir die Gleichung direkt lösen. In diesem Video geht es aber erst einmal ganz grundlegend darum, dass man solche Gleichungen auch durch geschicktes Probieren lösen kann, indem man sich anschaut, welche möglichen Lösungen überhaupt nur in Frage kommen könnten. Bei solchen Gleichungen ist es noch relativ einfach, die Lösung durch Ausprobieren zu bestimmen. Bei umfangreicheren Gleichungen wird es dann später so gemacht, wie du vorgeschlagen hast.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa 2 Jahren
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Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen durch geschicktes Probieren lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Schildere, wie du das Alter von Max ermitteln kannst.

    Tipps

    Beim Aufstellen von Gleichungen stehen zwei Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

    Da Max älter als Lisa ist, wissen wir, dass $m > 5$.

    Erstelle gegebenenfalls eine Tabelle, in welche du deine Werte einsetzen kannst.

    Lösung

    Wir wissen, dass Lisa $5$ Jahre alt ist. Auch ist sie jünger als ihr Bruder Max.

    Durch die Bedingung „Wenn du Lisas Alter ($5$) zum Doppelten von Max' Alter addierst, kommt $21$ heraus“ können wir eine Gleichung aufstellen.

    Wir hatten das Alter von Max durch m benannt. Nun ist es wichtig, die Aussage mathematisch richtig zu entschlüsseln.

    Dann ergibt sich die Gleichung $5 + 2m = 21$.

    Durch die Variable m haben wir die Möglichkeit, schrittweise verschiedene Werte für m einzusetzen, sodass eine wahre Aussage zustande kommt. Eine wahre Aussage wäre $21 = 21$.

    $10 = 21$ oder $25 = 21$ sind keine wahren Aussagen und lassen sich auf ein falsches m zurückführen.

    Die Methode, den gesuchten Wert für eine Variable zu ermitteln, indem man nacheinander verschiedene Werte einsetzt, nennt man (Aus-)Probieren.

    So könnte es sein, dass Max $7$ Jahre alt ist. Um das zu überprüfen, setzen wir einfach $m = 7$ in die Gleichung ein. Dann steht da $5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19 = 21$. Da stimmt nicht, weil $19 = 21$ keine mathematisch wahre Aussage ist.

    Daraus schließen wir, dass Max nicht $7$ Jahre alt ist.

    Probieren wir $m = 9$, so erhalten wir wieder eine falsche Aussage, nämlich $23 = 21$.

    Da $m = 7$ einen zu kleinen Wert ergibt und $m = 9$ einen zu großen, können wir daraus schlussfolgern, dass das gesuchte Alter dazwischenliegt, also bei $m = 8$. Überprüfen wir, ob das stimmt: $5 + 2 \cdot 8 = 5 + 16 = 21 = 21$.

    Das stimmt. Max ist also $8$ Jahre alt.

    $\begin{array}{c|c|c} m & 5+2 \cdot m & wahr/falsch \\ \hline 1 & 7 & falsch \\ 10 & 25 & falsch \\ 7 & 19 & falsch \\ 9 & 23 & falsch \\ 8 & 21 & wahr \\ \end{array}$

  • Nenne die Gleichung, welche zu der Aussage passt.

    Tipps

    Ermittle die beiden Terme, aus denen sich die Gleichung zusammensetzt, und setze sie dann gleich.

    Welche Rechenschritte werden zuerst ausgeführt?

    Lösung

    Hier suchen wir eine passende Gleichung, um die Aussage mathematisch richtig wiederzugeben.

    Zunächst einmal brauchen wir eine Variable x, y, z oder jeden anderen Kleinbuchstaben, um eine entsprechende Gleichung aufstellen zu können.

    In unserem Fall besteht diese Gleichung aus zwei Termen, die beide diese Variable besitzen. Benutzen wir im Folgenden den Kleinbuchstaben z.

    Wir erinnern uns, dass eine Gleichung immer nach dem Schema „Term 1 = Term 2“ aufgebaut ist. Kümmern wir uns nun um beide Terme und setzen sie dann gleich. Dazu ist es erforderlich, sorgfältig zu lesen und zu erkennen, welcher Rechenschritt zuerst durchgeführt werden muss.

    Für den ersten Term heißt es „Wenn man vom Vierfachen einer Zahl 1 abzieht“. Das bedeutet für uns, dass wir im ersten Schritt das Vierfache von z bilden. Das lässt sich durch 4 $\cdot$ z ausdrücken. Hiervon wird noch 1 abgezogen, also lautet unser erster Term 4 $\cdot$ z $-$ 1.

    Im zweiten Term steht „ergibt sich das Dreifache der Zahl, zu dem man noch 3 hinzuaddiert“. Wichtig ist zu erkennen, dass es sich bei dieser „Zahl“ um dieselbe Zahl z handelt. Wir können also zunächst das Dreifache 3 $\cdot$ z erstellen und dann hierauf noch 3 hinzuaddieren. Es steht am Ende also 3 $\cdot$ z $+$ 3.

    Die richtige Gleichung heißt also 4 $\cdot$ z $-$ 1 = 3 $\cdot$ z $+$ 3. Die Terme lassen sich dabei natürlich vertauschen, ohne dass sich etwas ändert.

  • Bestimme die Zahl $x$ so, dass die Gleichung erfüllt wird.

    Tipps

    Untersuche, welche Rechenschritte zuerst ausgeführt werden müssen.

    Erstelle eine Tabelle, in welcher du die Werte deiner Terme und die Differenz eintragen kannst.

    Solange die Terme unterschiedliche Ergebnisse ergeben, hast du die gesuchte Zahl noch nicht gefunden.

    Lösung

    Als erstes gilt es, eine Variable $x$ einzuführen. Dies ist unsere gesuchte Zahl, mit der wir auch die folgenden Terme aufstellen.

    Zunächst soll also das Achtfache dieser Zahl halbiert und dann mit $1$ addiert werden. Mathematisch ausgedrückt schreiben wir also $(8 \cdot x) : 2 + 1$.

    Der andere Term wird dadurch beschrieben, dass wir diese Zahl $x$ mit $3$ multiplizieren und dann mit $8$ addieren. Das lässt sich durch $3 \cdot x + 8$ ausdrücken.

    Da diese Terme beim richtigen Einsetzen von $x$ das gleiche Ergebnis liefern sollen, können wir sie gleichsetzen. Es entsteht die Gleichung $(8 \cdot x) : 2 + 1 = 3 \cdot x + 8$.

    Wie gewohnt, stellen wir jetzt eine Tabelle auf, die für uns das Probieren übersichtlicher gestaltet.

    $\begin{array}{c|c|c|c} x & (8\cdot x) \div 2 +1 & 3\cdot x +8 & Differenz\\ \hline 5 & 21 & 23 & 2\\ 10 & 41 & 38 & 3\\ 8 & 33 & 34 & 1\\ 7 & 29 & 29 & 0\\ \end{array}$

    Die Zahl $x = 7$ ist unsere Lösung für die Gleichung $(8 \cdot x) : 2 + 1 = 3 \cdot x + 8$.

  • Bestimme die Gleichungen, zu der die angegebene Tabelle passt.

    Tipps

    Erstelle eine Tabelle, die dir die einzugebende Zahl z, die beiden Terme der Gleichung sowie die Differenz angibt.

    Untersuche, welche Gleichung die Bedingungen aus der angegebenen Tabelle erfüllt.

    Lösung

    Die gegebenen Gleichungen bestehen aus zwei Termen.

    Die Differenz dieser Terme soll bei der gesuchten Gleichung 5 für x = 3, 11 für x = 5 und 17 für x = 7 betragen.

    Dies ist eine klassische Aufgabe, in der das Ausprobieren angewendet wird.

    Es ist aber nicht zwingend notwendig, hier für jede Gleichung eine Tabelle anzufertigen, wenn man früh sieht, dass die Gleichung nicht zu unserer Tabelle gehört.

    Das ist zum Beispiel bei 2 $\cdot$ x $-$ 1 = 3 $\cdot$ x $+$ 3 der Fall. Hier können wir zum Test einfach mal x = 3 einsetzen und überprüfen, ob die Differenz 5 beträgt. Schnell sehen wir, dass 12 nicht die geforderte Differenz liefert.

    Dasselbe passiert uns auch bei 2 $\cdot$ x $-$ 1 = 3 $\cdot$ x $+$ 3. Hier kommt für x = 3 eine Differenz von 7 zustande.

    Bei 10 $\cdot$ x = 8 $\cdot$ x $+$ 1 lohnt sich eine genauere Betrachtung, denn hier stimmt die Differenz für x = 3. Gilt das jetzt auch für die übrigen Werte x = 5 und x = 7?

    Erstellen wir dazu eine Tabelle und überprüfen es.

    $\begin{array}{c|c|c|c} x & 10 \cdot x & 8 \cdot x + 1 & Differenz\\ \hline 3 & 30 & 25 & 5\\ 5 & 50 & 41 & 9\\ 7 & 70 & 57 & 13\\ \end{array}$

    Hier sehen wir, dass schon die zweite Zeile für x = 5 uns nicht mehr den gewünschten Wert für die Differenz ausgibt.

    Überprüfen wir zuletzt die Gleichung 4 $\cdot$ x $+$ 1 = 7 $\cdot$ x $-$ 3.

    $\begin{array}{c|c|c|c} x & 4 \cdot x +1 & 7 \cdot x -3 & Differenz\\ \hline 3 & 13 & 18 & 5\\ 5 & 21 & 32 & 11\\ 7 & 29 & 46 & 17\\ \end{array}$

    Die Gleichung 4 $\cdot$ x $+$ 1 = 7 $\cdot$ x $-$ 3 liefert uns die gesuchten Werte und ist somit eine Lösung.

    Wenn wir erkennen, dass es sich bei 2 $\cdot$ x - 3 + 2 $\cdot$ x + 4 = $($21 $\cdot$ x - 9$)$ $:$ 3 um die gleiche Gleichung handelt, wenn wir sie entsprechend vereinfachen, brauchen wir keine zusätzliche Tabelle erstellen und wissen trotzdem, dass es sich um eine weitere Lösung handelt.

  • Gib anhand der Gleichung an, zu welcher Zahl z welche Differenz zwischen dem linken und dem rechten Term gehört.

    Tipps

    Erstelle eine geeignete Tabelle, welche dir den Ausgabewert der Terme und die Differenz der Terme angibt:

    $\begin{array}{c|c|c|c} z & 4 \cdot z -1 & 3 \cdot z + 3 & Differenz \\ \hline 1 & & & \\ 2 & ~ & ~ & ~~~\\ 3 & ~ & ~ & ~~~ \\ 4 & ~ & ~ & ~~~ \\ \end{array}$

    Lösung

    Wir erstellen eine Tabelle, in welcher eine Spalte für die einzusetzende Zahl z benutzt wird, zwei Spalten für die Ausgabewerte von 4 $\cdot$ z $-$1 und 3 $\cdot$ z $+$ 3 sowie eine Spalte für die Differenz dieser Ausgabewerte.

    $\begin{array}{c|c|c|c} z & 4 \cdot z -1 & 3 \cdot z + 3 & Differenz \\ \hline 1 & 3 & 6 & 6-3=3\\ 2 & 7 & 9 & 9-7=2\\ 3 & 11 & 12 & 12-11=1 \\ 4 & 15 & 15 & 15-15=0 \\ \end{array}$

    Aus der Tabelle lesen wir ab, dass $z=4$ die Lösung zu $4\cdot z-1=3\cdot z+3$ ist.

  • Ermittle das Alter von Hannes und seiner Schwester Bianca.

    Tipps

    Baue die Variable h für Hannes' Alter in die Terme ein, um Biancas Alter zu beschreiben.

    Erstelle eine Tabelle, in welcher h, die Terme sowie die Differenz untergebracht sind.

    Wenn die Differenz gleich null ist, hast du das richtige Alter von Hannes und seiner Schwester gefunden.

    Lösung

    Wir wissen, dass Bianca dreimal so alt ist wie ihr Bruder Hannes und sie nur doppelt so alt wäre, wenn ihr Bruder drei Jahre älter wäre.

    Dazu stellen wir jetzt zwei Terme auf, die jeweils das Alter von Bianca beschreiben.

    Der erste kann durch 3 $\cdot$ h dargestellt werden, der andere durch 2 $\cdot$ (h $+$ 3).

    Da beide Terme das korrekte Alter von Bianca liefern, wenn für h das richtige Alter von Hannes eingesetzt wurde, können wir diese gleichsetzen 3 $\cdot$ h = 2 $\cdot$ (h $+$ 3).

    Jetzt gilt es, mögliche Werte einzusetzen und sie zur Übersicht in eine Tabelle einzutragen.

    $\begin{array}{c|c|c|c} h & 3 \cdot h & 2 \cdot (h+3) & Differenz\\ \hline 1 & 3 & 8 & 5\\ 2 & 6 & 10 & 4\\ 3 & 9 & 12 & 3\\ 4 & 12 & 14 & 2\\ 5 & 15 & 16 & 1\\ 6 & 18 & 18 & 0\\ \end{array}$

    Durch Probieren haben wir in h = 6 unsere Lösung gefunden. Denn angenommen, Hannes wäre 6, so wäre Bianca dreimal so alt und damit 18. Wäre Hannes jedoch drei Jahre älter, also 9, so wäre seine Schwester nur noch doppelt so alt. Auch das stimmt.

    Wir haben also mittels der Tabelle unsere Lösung gefunden und sie anhand der Bedingung gegengeprüft.

    Vielleicht ist dir bei der Differenz aufgefallen, dass diese sinkt und „gegen Null läuft“, je näher wir uns dem richtigen Ergebnis für h nähern. Häufig kann man sich diese Beobachtung zunutze machen und muss dann nicht allzu viele Werte für h ausprobieren. Außerdem spart es Zeit.

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