Geometrie (6) Die Summe der Innenwinkel im Dreieck 09:23 min

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zum Video Geometrie Teil 6. Das heutige Thema lautet "Die Summe der Innenwinkel im Dreieck". Stellen wir uns einmal vor, wir haben so ein großes dreieckiges Grundstück mit den Begrenzungspunkten A, B und C. Unsere Aufgabe besteht nun darin, die Winkel Alpha, Beta und Gamma zu vermessen. Für Alpha erhalten wir 50°. Für Beta messen wir 70° aus. Und für Gamma, oh, das geht leider nicht, denn dort, wo Gamma zu vermessen ist, wohnt ein böses, böses Tier. Das Tier zu verjagen oder zu töten geht nicht, denn es steht unter Artenschutz. Es ist aber sehr gefährlich. Wir können den Winkel Gamma nicht ausmessen. Gibt es eine Möglichkeit den Winkel Gamma zu berechnen? Testen wir es doch einmal am Modell aus. Wir messen die Innenwinkel in verschiedenen Dreiecken. Wir werden nun die Innenwinkel im gelben, roten, grünen und blauen Dreieck messen. Im gelben Dreieck erhalten wir 35°, 80° und 65°. Im roten Dreieck messen wir folgende Innenwinkel: 55°, 50° und 75°. Für das grüne Dreieck erhalten wir 60°, 60° und noch einmal 60°. Und schließlich vermessen wir das blaue Dreieck, 50°, 90° und 40°. Nun bilden wir für jedes der Dreiecke die Summe der Innenwinkel und wir erhalten für das gelbe Dreieck 180°. Für das rote Dreieck ebenfalls 180° und für das Grüne wieder 180° und für das Blaue wiederum 180°. Wir äußern nun eine Vermutung. Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°. Wir wollen diese Vermutung an einem mechanischen Experiment überprüfen. Wir reißen von dem blauen Dreieck 2 Ecken ab. Also 2 Winkel. Und diese beiden Winkel legen wir jetzt an den oberen Winkel an. Damit erhalten wir tatsächlich eine Gerade. Das bedeutet einen gestreckten Winkel. Und ein gestreckter Winkel ist, so wissen wir, gleich 180°. Probieren wir doch das gleiche mit einem anderen Dreieck. Es ist rot und hat eine andere Form. Also, wieder 2 Ecken abgerissen, rechts und links, und an die obere Ecke angefügt. Das heißt, wir legen alle 3 Winkel zusammen. Und wir erhalten wiederum eine Gerade, das heißt einen gestreckten Winkel, der 180° beträgt. Wir überprüfen diese Tatsache noch an dem gelben Dreieck. Fluchs die Ecken links und rechts abgerissen, an die obere Ecke angelegt und damit die Winkelsumme des Dreiecks dargestellt. Und wieder haben wir eine Gerade. Und wieder haben wir einen Gesamtwinkel von 180°. Der letzte Versuch noch mit dem grünen Dreieck und dann hören wir auf. Rechts Ecke ab, links Ecke ab und beide an die obere Ecke angelegt. Wir addieren praktisch im Extrement die 3 Winkel unseres Dreiecks und haben schon wieder eine Gerade. Das heißt einen gestreckten Winkel. Die Winkelsumme ergibt somit 180°. Ich denke, die Argumente haben sich so weit verdichtet, dass wir statt der Vermutung einen Satz formulieren können. Satz 7: Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°. Wir wollen nun diesen Satz beweisen. Zunächst nehmen wir uns ein beliebiges Dreieck, das durch die Eckpunkte A, B und C begrenzt ist. Dieses Dreieck hat die Innenwinkel α, Beta und Gamma. Wir verlängern nun die Strecke AB zu einer Geraden. Genauso wie wir die Strecke BC zu einer Geraden verlängern, und die Strecke AC. Und schließlich konstruieren wir, was wir noch nicht können, aber wir gehen davon aus das es geschieht, eine parallele Gerade, die durch C geht und die parallel zur Geraden durch AB ist. Die Gerade durch AB bezeichnen wir als g. Die dazu parallele Gerade durch C als h. Die Gerade die durch AC geht bezeichnen wir als k und die Gerade die durch BC geht als l. Wichtigste Bedingung an unserer Beweisskizze ist das h parallel g ist. Wir tragen nun neben γ 2 Hilfswinkel α' und β' ein. Wir wissen nun: α'+β'+γ=180°. Denn hier handelt es sich ja um einen gestreckten Winkel. Wir können für α'+β'+γ auch Delta schreiben. Delta ist ein gestreckter Winkel. Und somit gilt: δ=180°. Außerdem wissen wir: α'=α und β'=β. Das gilt, weil es sich hier um Wechselwinkel an parallelen Geraden g und h handelt. Wenn wir in die Gleichung für den gestreckten Winkel statt α' α und statt β' β einsetzen, erhalten wir α+β+γ=180°. Damit wurde der Beweis geführt. Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°. Kommen wir zurück zu unserem Grundstück und unserem Problem. Wir wissen nun, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck 180° beträgt. Also α+β+γ=180°. Alpha und Beta haben wir bereits vermessen. Alpha ist 50° und Beta ist 70°, also ergibt das 50°+70°+γ=180°. Wir fassen 50° und 70° zusammen und erhalten 120°+γ=180°. Dem zufolge ist γ=60°. Wir haben nun alle Innenwinkel des Grundstücks durch Messung oder durch Rechnung erhalten. Eines schönen Tages verließ das gefährliche Tier seinen Wohnsitz und wir konnten den Winkel Gamma ausmessen. Und wir erhielten doch tatsächlich 60°. Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit. Alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.