Ganzrationale Funktionen – Symmetrie und Faktorisierung

Hallo! In diesem Video geht es um ganzrationale Funktionen. Und zwar geht es um deren Symmetrie und deren Teilbarkeit durch Terme der Gestalt (x-x0). Als Erstes schreiben wir uns mal auf, was die Bedingungen für Achsensymmetrie und Punktsymmetrie überhaupt sind. Achsensymmetrie liegt vor wenn f(x)=f(-x) gilt, für alle x, und Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn -f(x)=f(-x) für alle x. f(-x) bedeutet dabei, dass wir statt x immer -x einsetzen, und -f(x) bedeutet, dass wir vor die ganze Funktion ein großes - machen, sodass sich dann alle Vorzeichen umdrehen. Um zu testen, für welche ganzrationalen Funktionen was von beidem gilt, nehmen wir jetzt mal exemplarisch die Potenzfunktionen, von x² bis x⁵, und testen für jede, ob sie achsensymmetrisch ist, oder punktsymmetrisch. (-x)² ist das gleiche wie x2, weil - mal - zu + wird. (-x³) ist x³, aber genau mit dem anderen Vorzeichen, weil - mal - mal - gleich + ergibt. Wenn 4 mal - haben, hebt sich das wieder zu + auf, und 5 mal - ergibt wieder -, weil immer je nur 2 - wieder aufheben. Das heißt, bei x³ und x⁵ ist das Ergebnis also nicht gleich mit f(x), und bei x² und x⁴ ist es gleich. x² und x⁴ sind also achsensymmetrisch, und die anderen beiden nicht. In der Zeile -f(x) brauchen wir jetzt alles nur mit dem anderen Vorzeichen einzutragen, und die dritte Zeile können wir von links abschrieben, denn die haben wir ja schon mal ausgerechnet. Okay und die zweite und dritte Zeile sollen jetzt also gleich sein. Das gilt jetzt bei x² und x⁴ nicht, aber x³ und x⁵ gilt es. Bei den Exponenten drei und fünf haben wir also Punktsymmetrie, und bei den Exponenten 2 und 4 haben wir Achsensymmetrie. Bei geraden Exponenten hebt sch das - immer weg, die sind also Achsensymmetrisch, und bei ungeraden Exponenten bleibt immer ein - übrig, sodass sich das Vorzeichen umdreht, und die sind dann punktsymmetrisch. Nimmt man jetzt eine Funktion, bei der sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, dreht sich bei f(-x) bei den geraden das Vorzeichen nicht um, aber bei den ungeraden dreht es sich um. Bei -f(x) wiederum dreht es sich ja an allen Stellen um, sodass weder f(x)=f(-x) sein kann, noch f(-x)=-f(x). Gut und aus diesen Beobachtungen können wir jetzt Folgendes schließen: Ganzrationale Funktionen, bei denen sämtliche Exponenten gerade sind, sind symmetrisch zur y-Achse, und ganzrationale Funktionen, bei denen sämtliche Exponenten ungerade sind, sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Alle anderen ganzrationalen Funktionen sind weder das eine noch das andere. Diese Funktion hat nur gerade Exponenten, denn 7 ist 7×x⁰, und 0 ist gerade, und außerdem sieht man, dass wenn man -x einsetzt, sich an der Funktion nichts ändert, weil die 7 konstant ist. So, und achsensymmetrische Funktionen sehen immer so aus. Die Anzahl der Richtungsänderungen hängt dabei vom Grad der Funktion ab. Und punktsymmetrische Funktionen sehen immer so aus. Kommen wir jetzt noch zur Teilbarkeit. Da nehmen wir die Funktion f(x)=x³-x²-5x-3, und angenommen wir finden jetzt durch Probieren zum Beispiel -1 als Nullstelle, dann können wir die Funktion durch x minus die Nullstelle, also durch x+1 teilen. Das würde man jetzt mit Polynomdivision machen, und da ergibt sich x²-2x-3. So hier könnte man jetzt natürlich auch mit der PQ Formel weiterrechnen, aber angenommen wir wissen, dass x0=3 in einer Nullstelle ist, dann können wir den Term auch gleich durch (x-3) teilen. Das ergibt dann x+1, so und wegen der ersten Division können wir unsere Funktion schrieben als Produkt: (x²-2x-3)×(x+1), und davon können wir wegen der zweiten Division den ersten Term auch noch schreiben als (x-3)×(x-1). Und diese Zerlegung heißt dann Zerlegung in Linearfaktoren. An der kann man dann auch noch mal wunderbar die Nullstellen ablesen: -1, -1 und 3. Wir haben also den Satz: Ist x0 eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f(x), so lässt sich der Funktionsterm von f(x) ohne Rest durch (x-x0) teilen. Und das ist dann eben sehr hilfreich beim Finden weiterer Nullstellen. Und ich möchte noch darauf hinweisen, dass man nicht immer eine Zerlegung in Linearfaktoren findet, bei dieser Funktion zum Beispiel ist x0=1 eine Nullstelle, und Polynomdivision ergibt dann x²+1. Und die Funktion hat dann natürlich keine Nullstelle mehr, sodass man die Ausgangsfunktion nur als Produkt von (x²+1)×(x-1) schreiben kann. Und das war es auch schon zur Teilbarkeit und Symmetrie von ganzrationalen Funktionen.