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Funktionsgraphen im Koordinatensystem (1)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Funktionsgraphen im Koordinatensystem (1)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Funktionsgraphen im Koordinatensystem (1)

Eine Funktion ist eine eindeutige Zurodnung. An einem Funktionsgraphen können wir ablesen, welchem x-Wert welcher y-Wert zugeordnet wird. Dabei erhält jeder x-Wert genau einen y-Wert. Es kann passieren, dass mehreren x-Werten der gleiche y-Wert zugeordnet wird oder auch, dass es zu einem y-Wert keinen x-Wert gibt, dem dieser y-Wert zugeordnet wird. Im Video kannst du sehen, wie du diese Zusammenhänge an einem Graphen einer Funktion sehen kannst.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Schlecht erklärt

    Von Itslearning Nutzer 2535 45249, vor 8 Monaten
  2. Hallo Bernhard, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor mehr als einem Jahr
  3. Von Bernhard K., vor mehr als einem Jahr

Funktionsgraphen im Koordinatensystem (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Funktionsgraphen im Koordinatensystem (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere eine Funktion.

    Tipps

    Die Definitionsmenge enthält die $x$-Werte der Zuordnung und die Wertemenge enthält die zugehörigen $y$-Werte.

    Die $y$-Werte einer Funktion werden auch Funktionswerte genannt.

    Lösung

    Eine Funktion ist eine Relation zwischen zwei Mengen, die jedem Wert der Definitionsmenge genau einen Wert der Wertemenge zuordnet. Eine Funktion ist daher eine eindeutige Zuordnung.

    Das bedeutet, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird. Es kann aber durchaus sein, dass ein Funktionswert mehreren $x$-Werten zugeordnet wird. Ein Beispiel hierfür ist die hier abgebildete Parabel. Jedem $y$-Wert werden genau zwei $x$-Werte zugeordnet. Zum Beispiel wird $y=0$ den beiden $x$-Werten $-3$ und $1$ zugeordnet.

  • Gib die markierten Wertepaare an.

    Tipps

    Setze an der jeweiligen Stelle auf der $x$-Achse an, gehe dann parallel zur $y$-Achse bis zum Funktionsgraphen. Gehe von dort aus parallel zur $x$-Achse bis zur $y$-Achse und lies dort den zugehörigen Funktionswert ab.

    Alle gesuchten Werte sind ganze Zahlen.

    Lösung

    Wenn wir Punkte eines Funktionsgraphen ablesen möchten, gehen wir wie folgt vor:

    Funktionswert zu einem gegebenen $x$ -Wert

    • Wir setzen an der jeweiligen Stelle auf der $x$-Achse an, gehen dann parallel zur $y$-Achse bis zum Funktionsgraphen. Von dort aus gehen wir nun parallel zur $x$-Achse bis zur $y$-Achse und lesen dort den zugehörigen Funktionswert ab.
    $x$ -Wert zu einem gegebenen Funktionswert

    • Wir setzen an der jeweiligen Stelle auf der $y$-Achse an, gehen dann parallel zur $x$-Achse bis zum Funktionsgraphen. Von dort aus gehen wir nun parallel zur $y$-Achse bis zur $x$-Achse und lesen dort den zugehörigen $x$-Wert ab.
    So erhalten wir die folgenden Wertepaare:

    $\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 2 & 3 \\ 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}$

  • Entscheide, welche Graphen die Graphen von Funktionen sind.

    Tipps

    Ziehst du zur $y$-Achse parallele Geraden, so dürfen diese den Graphen einer Funktion jeweils nur einmal schneiden.

    Beliebig viele $x$-Werte dürfen den gleichen Funktionswert $y$ haben.

    Lösung

    Eine Funktion ist eine Relation zwischen zwei Mengen, die jedem Wert der Definitionsmenge genau einen Wert der Wertemenge zuordnet. Eine Funktion ist daher eine eindeutige Zuordnung.

    Das bedeutet, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird. Es kann aber durchaus sein, dass ein Funktionswert mehreren $x$-Werten zugeordnet wird.

    Ob es sich bei den abgebildeten Graphen um Funktionsgraphen handelt, können wir überprüfen, indem wir zur $y$-Achse parallele Geraden zeichnen. Schneiden diese den Graphen jeweils nur einmal, so handelt es sich um Funktionsgraphen. Hat eine zur $y$-Achse parallele Linie mehrere Schnittpunkte mit einem Graphen, so ist die zugehörige Zuordnung der $x$-Werte auf die $y$-Werte nicht eindeutig.

    $~$

    Damit sind folgende Graphen Funktionsgraphen:

    • violette Parabel
    • grüne horizontale (waagerechte) Gerade
    • roter Graph der Sinusfunktion
    $~$

    Keine Funktionsgraphen sind Folgende:

    • blaue („nach rechts geöffnete“) Parabel
    • gelbe vertikale Gerade
  • Bestimme Wertepaare des Funktionsgraphen.

    Tipps

    Man gibt die Koordinaten eines Punktes wie folgt an:

    • $(x\vert y)$

    Du liest den $x$-Wert an der $x$-Achse (Horizontalachse) und den $y$-Wert an der $y$-Achse (Vertikalachse) ab.

    Lösung

    Wir lesen den $x$-Wert an der $x$-Achse (Horizontalachse) und den $y$-Wert an der $y$-Achse (Vertikalachse) ab. Hierzu setzen wir an der jeweiligen Stelle auf der $x$-Achse an, gehen dann parallel zur $y$-Achse bis zum Funktionsgraphen. Von dort aus gehen wir parallel zur $x$-Achse bis zur $y$-Achse und lesen dort den zugehörigen Funktionswert ab.

    $~$

    So erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

    Graph 1

    Wir sehen hier eine Parabel, die nach oben offen ist und ihren Scheitelpunkt bei $(0\vert 0)$ hat. Sie verläuft durch folgende Punkte:

    • $(2\vert 2)$
    • $(-2\vert 2)$
    $~$

    Graph 2

    Wir sehen hier eine Parabel, die nach oben offen ist und ihren Scheitelpunkt bei $(0\vert 2)$ hat. Sie verläuft außerdem durch folgende Punkte:

    • $(1\vert 3)$
    • $(-1\vert 3)$
    $~$

    Graph 3

    Wir sehen hier eine Kurve, die durch folgende Punkte verläuft:

    • $(1\vert 2)$
    • $(-1\vert -2)$

  • Gib diejenigen Zuordnungen an, die eine Funktion beschreiben.

    Tipps

    Du siehst hier eine nicht eindeutige Zuordnung. Denn den Zahlen $3$, $5$ und $6$ aus der Definitionsmenge werden jeweils mehrere Zahlen aus der Wertemenge zugeordnet.

    Eine Funktion ist eine Relation zwischen zwei Mengen, die jedem Wert der Definitionsmenge genau einen Wert der Wertemenge zuordnet. Eine Funktion ist daher eine eindeutige Zuordnung.

    Betrachten wir die Zuordnung:

    Menge der Schüler/-innen $\rightarrow$ Menge ihrer Lieblingseissorten.

    Da ein/-e Schüler/-in auch mehr als eine Lieblingseissorte haben kann, ist die Zuordnung nicht eindeutig und beschreibt damit keine Funktion.

    Lösung

    Eine Funktion ist eine Relation zwischen zwei Mengen, die jedem Wert der Definitionsmenge genau einen Wert der Wertemenge zuordnet. Eine Funktion ist daher eine eindeutige Zuordnung.

    Also müssen wir nun überprüfen, ob bei den gegebenen Beispielen jedem Wert aus der Definitionsmenge genau ein Wert aus der Wertemenge zugeordnet wird. Damit erhalten wir die folgenden Überlegungen:

    $~$

    Menge der Schüler/-innen $\rightarrow$ Menge der Schuhgrößen.

    • Da jedem/-r Schüler/-in genau eine Schuhgröße zugeordnet wird, handelt es sich hierbei um eine Funktion.
    $~$

    Menge der Schüler/-innen $\rightarrow$ Menge der Farben, die im T-Shirt vorkommen.

    • Da ein/-e Schüler/-in mehr als eine Farbe im T-Shirt haben kann, handelt es sich hierbei um keine Funktion.
    $~$

    Menge der Augenfarben $\rightarrow$ Menge der Schüler/-innen.

    • Jede/-r Schüler/-in hat zwar genau eine Augenfarbe, aber nicht jede Augenfarbe wird genau einem/-r Schüler/-in zugeordnet. Daher ist diese Zuordnung keine Funktion.
    $~$

    Menge der Schüler/-innen $\rightarrow$ Menge der Noten in der Mathearbeit.

    • Jedem/-r Schüler/-in wird genau eine Note in der Mathearbeit zugeordnet. Ein/-e Schüler/-in kann in einer Arbeit nämlich nur eine Note bekommen. Damit handelt es sich hierbei um eine Funktion.
  • Ermittle, welche eindeutige Zuordnung $x~\rightarrow~y$ umgekehrt wieder eine eindeutige Zuordnung $y~\rightarrow~x$ liefert.

    Tipps

    Wenn bei einer eindeutigen Zuordnung $x~\rightarrow~y$ einem $y$-Wert mehrere $x$-Werte zugeordnet werden, so liefert die Umkehrung $y~\rightarrow~x$ keine eindeutige Zuordnung.

    Die Zuordnung $x~\rightarrow~y$ ist bei der Sinusfunktion eindeutig, da aber zum Beispiel sowohl der $x$-Wert $0$ als auch der $x$-Wert $pi$ (also $\approx 3,14$) dem $y$-Wert $0$ zugeordnet werden ist die Zuordnung $y~\rightarrow~x$ nicht eindeutig.

    Lösung

    Wenn bei einer eindeutigen Zuordnung $x~\rightarrow~y$ einem $y$-Wert mehrere $x$-Werte zugeordnet werden, so liefert die Umkehrung $y~\rightarrow~x$ keine eindeutige Zuordnung. Damit erhalten wir:

    Graph 1 (die dunkelblaue Parabel)

    Bei der Parabel werden allen $x\neq 0$ jeweils zwei $y$-Werte zugeordnet. Wenn wir die Zuordnung also umkehren, so erhalten wir keine eindeutige Zuordnung $y~\rightarrow~x$.

    Graph 2 (die Gerade)

    Ergibt eine Zuordnung $x~\rightarrow~y$ eine Gerade, so erhalten wir als Umkehrung wieder eine Gerade. Dabei sind sowohl die ursprüngliche Gerade, als auch ihre Umkehrung $y~\rightarrow~x$ eindeutige Zuordnungen.

    Graph 3

    Wir erkennen bei diesem Graphen, dass jedem $y$-Wert mindestens zwei $x$-Werte zugeordnet werden. Zum Teil werden einem $y$-Wert sogar vier $x$-Werte zugeordnet. Damit liefert die Umkehrung $y~\rightarrow~x$ keine eindeutige Zuordnung.

    Graph 4 und Graph 5 (die hellblauen Graphen)

    Diese beiden Graphen sind gegenseitig ihre Umkehrungen. Da beide Graphen jeweils eine eindeutige Zuordnung darstellen, sind die Umkehrungen dieser Zuordnungen wieder eindeutig.

    Ist bei einer Funktion sowohl die Zuordnung $x~\rightarrow~y$ als auch $y~\rightarrow~x$ eindeutig, sprechen wir von einer eineindeutigen Funktion.

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