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Formeln in der Mathematik

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Die Autor/-innen
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Peter Mahns
Formeln in der Mathematik
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Formeln in der Mathematik

In der Mathematik, Physik oder auch in der Chemie sind Formeln nicht mehr wegzudenken. Unter Zuhilfenahme von verschiedenen Formelzeichen bzw. Größen kannst du viele Regeln, Gültigkeiten oder Definitionen aus den verschiedensten naturwissenschaftlichen Bereichen verkürzend als Formel darstellen. Du wirst in diesem Video zunächst erfahren, was eine Formel überhaupt charakterisiert. Außerdem lernst du etwas darüber, wie du Formeln nach einer bestimmten Größe äquivalent umformen kannst und was du dabei beachten musst. In der Testfrage sollst du dann überprüfen, ob du die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes zur Seite c äquivalent umformen kannst.

13 Kommentare

13 Kommentare
  1. viel zu schnell geredet

    Von Ravenna41, vor 3 Monaten
  2. es tut mir leid aber er redet viel zu schnell bisschen langsamer weil ich hab fast gar nichts verstanden es wäre schön wenn ich ein anderes Video bekomme danke

    Von Cowanrasan, vor 5 Monaten
  3. Lol

    Von Steffirogge1, vor 6 Monaten
  4. cool

    Von Blackout 2, vor 6 Monaten
  5. nein

    Von Joshua Vonschierstaedt, vor 6 Monaten
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Formeln in der Mathematik Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Formeln in der Mathematik kannst du es wiederholen und üben.
  • Zeige auf, wie man die Dreiecksflächenformel nach der Höhe umstellen kann.

    Tipps

    Die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts muss nach $h_{c}$ umgestellt werden. Dafür müssen die Konstante $2$ und die Grundseite $c$ durch äquivalente Umformung auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden.

    Beginne am besten mit der Konstante $2$: Da diese Konstante im Nenner des Bruchs steht, musst du damit beide Seiten der Gleichung multiplizieren. Die Konstante entfällt damit auf der rechten Seite unserer Gleichung.

    Nun solltest du die Grundseite $c$ auf die linke Seite bringen. Denke daran: Hier musst du dividieren!

    Zuletzt kannst die die Seiten der Gleichung vertauschen, so dass die gesuchte Größe $h_{c}$ nun auf der linken Seite steht.

    Lösung

    Die richtige Reihenfolge lautet:

    $\begin{array}{llll} A & = & \frac{c\cdot h_{c}}{2} &| \cdot 2 \\ 2\cdot A & = & c\cdot h_{c} &| :c \\ \frac{2\cdot A }{c} & = & h_{c} &| \text{ Seiten tauschen}\\ h_{c} & = & \frac{2\cdot A }{c} & \end{array}$

    Hast du beispielsweise $A=24~cm^2$ und $h=8~cm$ gegeben, so kannst du die fehlende Größe $c$ direkt berechnen:

    $h_c = \frac{2\cdot A}{c}=\frac{2\cdot 24~cm^2}{8~cm}=6~cm.$

  • Berechne die Länge der Grundseite c des Dreiecks.

    Tipps

    Schau dir zuerst an, welche Größen gegeben und gesucht sind.

    Du brauchst die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von beliebigen Dreiecken:

    Du suchst nicht den Flächeninhalt $A$, sondern die Länge der Grundseite $c$, also musst du die Grundformel nach $c$ umformen.

    Versuche zunächst, die Konstante $2$ durch Multiplikation auf beiden Seiten der Gleichung auf die andere Seite zu bringen und dividiere danach beide Seiten der Gleichung durch die Größe $c$.

    Wenn du alles richtig gemacht hast, solltet du mit folgender Formel weiterrechnen:

    $c=\frac{2 \cdot A }{h_c}$.

    Lösung

    Nur durch das Umstellen der Flächeninhaltsformel nach der Grundseite $c$ lässt sich aus den gegebenen Größen $A$ und $h_c$ die gesuchte Länge bestimmen.

    Beim äquivalenten Umformen musst du zuerst beide Seiten mit der Konstanten $2$ multiplizieren: So „verschwindet“ die Zwei auf der rechten Seite der Gleichung und taucht links auf.

    Um nun noch $h_c$ auf die linke Seite zu „verfrachten“, musst du danach durch $h_c$ dividieren.

    Zum Schluss kannst du die Ausgangsgrößen $A$ und $h_c$ in die umgestellte Formel einsetzen und du erhältst als Lösung die Länge der Grundseite $c$.

    Die Grundseite $c$ steht in der Einheit $cm$.

  • Entscheide, welche äquivalente Umformung richtig ausgeführt wurde.

    Tipps

    Wenn du die Formel nach der Seitenlänge $c$ umformen willst, musst du zunächst entweder mit der Konstanten $2$ multiplizieren oder durch die Höhe $h$ dividieren.

    Wenn du die Höhe $h$ und die Konstante $2$ auf die linke Seite „verfrachtet“ hast, musst du die Seitenlänge $a$ noch auf die andere Seite bringen.

    Jetzt einfach noch die Seiten der Gleichung tauschen und schon bist du fertig.

    Lösung

    So sieht also die richtige Umformung der Grundformel $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$ nach der Seitenlänge $c$ aus:

    1. Zuerst musst du beide Seiten der Gleichung mit der Konstanten $2$ multiplizieren, die dann auf der linken Seite steht.
    2. Der Bruch auf der rechten Seite entfällt, aber du musst jetzt darauf achten, dass die Summe aus $a$ und $c$ nun geklammert werden muss.
    3. Jetzt musst du nur noch beide Seite durch die Höhe $h$ dividieren: So erscheint $h$ nur noch auf der linken Seite.
    4. Am Ende wird die Seite $c$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert. Das war's!
    Ein weiteres Beispiel für eine äquivalente Umformung liefert die Formel für die Berechnung des Umfangs eines Rechtecks, die hier folgendermaßen nach der Seite $a$ umgeformt wird:

    $$\begin{align} u&=2 \cdot (a+b)\\ \frac{u}{2}&=a+b\\ \frac{u}{2}-b&=a\\ a&=\frac{u}{2}-b\\ \end{align}$$

  • Bestimme den Senderadius von Klaus Handy.

    Tipps

    Bestimme zuerst die gegebenen und gesuchten Größen sowie die richtige Formel.

    Du brauchst die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs: $u=2\cdot \pi\cdot r$.

    Diese Formel musst du nach der gesuchten Größe $r$ umformen.

    Den Radius kannst du durch folgende Formel audrücken:

    Lösung

    Die Umfangsformel für einen Kreis gibt dir den Umfang in Abhängigkeit vom Radius an. Da der Umfang $u=12~km$ gegeben ist, musst du nach gesuchten Größe $r$ umstellen.

    Dazu dividierst du zuerst durch $2$ und dann durch $\pi$ auf beiden Seiten. Setzt du den gegebenen Wert für den Umfang ein, erhältst du den richtigen Radius.

    Der Radius $r\approx1,91~km$ besagt also, dass das Handy nicht genügend Sendeleistung hat, um den Sendemast in $2~km$ Entfernung zu erreichen. Klausi kann also keine Pizza bestellen.

  • Vervollständige den Lückentext rund um das Thema Formeln in der Mathematik.

    Tipps

    Auch in anderen Naturwissenschaften spielen Formeln eine große Rolle: So lässt sich zum Beispiel in der Physik aus den Größen Weg und Zeit, die durch die Formelzeichen $s$ und $t$ ausgedrückt werden, die Geschwindigkeit $v$ berechnen.

    Die Formel für die Geschwindigkeit lautet $v= \frac{s}{t}$.

    Wenn allerdings der Weg oder die Zeit gesucht sind, so muss die Formel, durch eine der folgenden Möglichkeiten umgestellt werden:

    1. Addition/Subtraktion mit der gleichen Zahl oder Variable auf beiden Seiten
    2. Multiplikation/Division mit der gleichen Zahl (außer Null) oder Variable auf beiden Seiten
    3. eine Termumformung auf einer oder beiden Seiten
    Lösung

    Auch in der Physik gibt es viele Gesetzmäßigkeiten, Regeln, Vorschriften und Definitionen, die durch Formeln beschrieben werden. Ganz sicher kennst du diese Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit:

    $v=\frac{s}{t}$ .

    Die Geschwindigkeit entspricht also dem Quotient aus Weg und Zeit.

    Diesen veränderlichen physikalischen Größen sind die Formelzeichen $v$, $s$ und $t$ zugeordnet. Jede veränderliche Größe hat übrigens ein Formelzeichen, das manchmal klein und manchmal groß geschrieben wird. Stöbere doch einfach mal durch deine Formelsammlung

    Die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit hat die Form einer Gleichung. So wie in jeder anderen Formel auch, stellt das Gleichheitszeichen einen Zusammenhang zwischen den Größen her, die wiederum durch Rechenoperationen miteinander verbunden sind.

    Die Geschwindigkeitsformel enthält keine unveränderliche Größe oder auch „Konstante“. Eine der wohl bekanntesten Konstanten ist die Kreiszahl $\pi$, die bei allen Formeln rund um den Kreis und die Kugel eine große Rolle spielt.

    Jede Gleichung kann durch äquivalente Umformung in eine andere Form gebracht werden. In deiner Formelsammlung findest du in der Regel nur die Grundformeln, die alle nach einer gesuchten Größe umgestellt werden können. Würde deine Formelsammlung all diese Varianten enthalten, würde dies jeden Rahmen sprengen. An der äquivalenten Umformung kommt man oft nicht vorbei.

    Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit $v$ und die Zeit $t$ gegeben sind und der Weg s gesucht wird, muss die Formel entsprechend verändert werden. Der Weg $s$ lässt sich dann mit der Formel $s=v\cdot t$ berechnen.

  • Arbeite heraus, wie man den Flächeninhalt der Pizza aus deren Umfang ermittelt.

    Tipps

    Bestimme zuerst alle gegebenen und gesuchten Größen.

    Um welche Art der Fläche handelt es sich bei der Pizza? Schau dir die dazu verfügbaren Formeln genau an und entscheide nun, mit welcher Formel du beginnen kannst. Dafür kannst du auch deine Formelsammlung nutzen.

    In der Formel $u=2\cdot\pi\cdot r$ kennst du bereits den Umfang. Wie ermittelst du den Radius?

    Die Flächeninhaltsformel $A=\pi \cdot r^{2}$ brauchst du nicht umzustellen, wenn du bereits den Radius kennst.

    Lösung

    Gegeben ist in unserem Beispiel nur der Umfang der Pizza. Das heißt, dass zunächst die Formel für den Umfang eines Kreises wichtig ist:

    $u=2\cdot\pi\cdot r$.

    Bevor du aber anfängst, die ersten Berechnungen anzustellen, solltest du überlegen, welche Formel noch benötigt wird. Da letztlich der Flächeninhalt eines Kreises gesucht wird, ist für dich noch die folgende Formel relevant:

    $A=\pi \cdot r^{2}$.

    Jetzt hast du schon alle benötigten Formeln parat und musst nur überlegen, wie du am besten beginnen kannst: Da die Formel für den Flächeninhalt mit $A$ und $r$ zwei gesuchte Größen enthält, kannst du diese jetzt noch nicht verwenden.

    Bei der Formel für den Umfang bist du richtig. Diese Formel musst du nach dem Radius r umformen.

    Dazu brauchst du den Umfang $u$ nur durch die Konstanten $2$ und $\pi$ zu teilen. Setze in die umgeformte Formel einfach für den Umfang $u$ den gegebenen Wert ein und schon hast du den Radius ermittelt. Die Formel für den Flächeninhalt musst du nicht mehr umstellen. Setze den Radius dort ein. Aber Achtung: Du musst ihn quadrieren. Das heißt, dass er mit sich selbst multipliziert wird, bevor du ihn mit $\pi$ multiplizierst.

    Und schon hast du den Flächeninhalt ermittelt.

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