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Flächeninhaltsfunktion – Fläche zwischen zwei Graphen

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Die Autor/-innen
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Aline Mittag
Flächeninhaltsfunktion – Fläche zwischen zwei Graphen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Flächeninhaltsfunktion – Fläche zwischen zwei Graphen

In diesem Video werden wir uns mit der Flächeninhaltsfunktion beschäftigen. Ganz speziell soll es um die Berechnung der Differenz zweier Flächen gehen. Ich werde dir eine Strategie zeigen, wie man am Besten bei solchen Problemstellungen vorgeht und danach werden wir gemeinsam zwei verschiedene Aufgaben lösen. So kannst du die gelernte Strategie gleich anwenden und das Vorgehen festigen.

Viel Spass!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @ Florian K.: Zunächst bestimmst du das zu betrachtende Intervall, indem du die Schnittstellen beider Funktionen bestimmst. Das machst du, indem du Funktionen gleichsetzt. Du müsstest hier als Schnittstellen x_1=0 und x_2=(1/3) herausbekommen. Als Flächeninhaltsfunktion für f(x) erhältst du A_0(x)=(1/3)x^3, als Flächeninhaltsfunktion für g(x) erhältst du A_0(x)=(1/6)x^2. Wenn du dort jeweils die obere Intervallgrenze x=(1/3) einsetzt (in diesem Fall reicht jeweils die obere, weil die untere Intervallgrenze 0 ist), erhältst du eines der angegeben Ergebnisse. Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Wenn du deinen Fehler immer noch nicht finden konntest, wende dich bitte an den Fach-Chat, der täglich zwischen 17 und 19 Uhr online ist.

    Von Sarah Kriz, vor etwa 6 Jahren
  2. Hallo,
    bei der Übungsaufgabe habe ich einen Gesamtflächeninhalt von 13/81 FE heraus und nicht 1/162 FE. Ich finde meinen Fehler nicht und bitte um Hilfe. Danke. :)

    Von Florian K., vor etwa 6 Jahren

Flächeninhaltsfunktion – Fläche zwischen zwei Graphen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhaltsfunktion – Fläche zwischen zwei Graphen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die einzelnen Schritte zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen.

    Tipps

    Mache dir selbst erst einmal in deiner Vorstellung klar, um welche Fläche es eigentlich geht.

    $A_0(x)$ ist die Flächeninhaltsfunktion.

    Überlege, welche Fläche durch die jeweilige Flächeninhaltsfunktion auf dem Intervall $I=[0;4]$ berechnet wird.

    Lösung

    Wenn man den Inhalt einer Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen will, so kann man wie folgt vorgehen:

    1. Zunächst bestimmt man die Schnittstellen der beiden Funktionen. Dies sind die Intervallgrenzen der betrachteten Fläche.
    2. Dann wird für jede der beiden betrachteten Funktionen mithilfe der Flächeninhaltsfunktion der Inhalt der Fläche ermittelt, den der jeweilige Graph mit der x-Achse in dem zugehörigen Intervall einschließt.
    3. Zuletzt wird die Differenz der beiden Flächeninhalte bestimmt.
  • Bestimme den von den beiden Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächeninhalt.

    Tipps

    Zur Berechnung der Schnittstellen setzt du die beiden Funktionsgleichungen gleich.

    Du erhältst eine quadratische Gleichung, welche du durch Ausklammern von $x$ lösen kannst.

    Die Flächeninhaltsfunktion der quadratischen Funktion ist gegeben durch

    $A_0(x)=\frac13x^3-x^2+2x$.

    Du erhältst den Flächeninhalt, den der Graph einer Funktion mit der x-Achse über dem Intervall $I=[0;a]$ einschließt, durch Einsetzen von $x=a$ in die Flächeninhaltsfunktion.

    Du kannst das Ergebnis der Flächenberechnung durch Abzählen der Rechtecke prüfen. Jedes Rechteck hat die Maßeinheit $1$ FE.

    Lösung

    Um das orange Flächenstück zu berechnen, müssen zunächst dessen Grenzen berechnet werden. Dies sind die Schnittstellen der beiden Funktionen. Diese werden gleichgesetzt:

    $\begin{array}{rclll} x^2-2x+2&=&2x+2&|&-2\\ x^2-2x&=&2x&|&-2x\\ x^2-4x&=&0\\ x(x-4)&=&0 \end{array}$

    Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, ist entweder $x=0$ oder $x-4=0$, was äquivalent ist zu $x=4$.

    Damit sind die Intervallgrenzen $I=[0;4]$ gegeben.

    Nun wird zu jeder der beiden Funktionen der Flächeninhalt berechnet, den diese Funktion mit der x-Achse über dem Intervall $I$ einschließt:

    • Zu $i(x)=x^2-2x+2$ ist die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13x^3-x^2+2x$. Damit kann der gesuchte Flächeninhalt berechnet werden. Hierfür wird $x=4$ in die Flächeninhaltsfunktion eingesetzt: $A_0(4)=\frac134^3-4^2+2\cdot 4=\frac{40}3$ [FE].
    • Zu $k(x)=2x+2$ ist die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=x^2+2x$. Wie oben kann der gesuchte Flächeninhalt berechnet werden. Hierfür wird $x=4$ in die Flächeninhaltsfunktion eingesetzt: $A_0(4)=4^2+2\cdot 4=24$ [FE].

    Zuletzt wird von dem Flächeninhalt des oberen Graphen, der Geraden, der Flächeninhalt des unteren Graphen, der Parabel, subtrahiert. So erhält man den gesuchten Inhalt des orangen Flächenstücks:

    $24$ FE $-\frac{40}3$ FE $=\frac{32}3$ FE.

  • Ermittle die Flächeninhaltsfunktion.

    Tipps

    Die Flächeninhaltsfunktion einer Konstanten

    $k(x)=c$

    ist gegeben durch

    $A_0(x)=cx$.

    Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen der Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ sowie der Randfunktion $f(x)$:

    $A_0'(x)=f(x)$.

    Merke dir: Die Flächeninhaltsfunktion zu

    • $l(x)=x$ ist $A_0(x)=\frac12x^2$
    • $q(x)=x^2$ ist $A_0(x)=\frac13x^3$.
    Lösung

    Wie der Name bereits vermuten lässt, benötigt man die Flächeninhaltsfunktion zur Bestimmung von Flächeninhalten.

    Diese kann bestimmt werden durch die Kenntnis einiger Flächeninhaltsfunktionen und durch einige Rechenregeln:

    • Die Flächeninhaltsfunktion der Summe (Differenz) zweier oder mehrerer Funktionen ist die Summe (Differenz) der Flächeninhaltsfunktionen der Funktionen.
    • Die Flächeninhaltsfunktion des Vielfachen einer Funktion ist das Vielfache der Flächeninhaltsfunktion dieser Funktion.
    Schauen wir uns die Randfunktionen einmal etwas genauer an:

    • $f(x)=\frac12x+3$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac12\cdot \frac12x^2+3x=\frac14x^2+3x$.
    • $g(x)=x^2+2x+2$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13x^3+2\cdot\frac12x^2+2x=\frac13x^3+x^2+2x$.
    • $h(x)=\frac12x^2-2x+3$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac12\cdot \frac13x^3-2\cdot \frac12x^2+3x=\frac16x^3-x^2+3x$.
    • $k(x)=4x-2$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=4\cdot \frac12x^2-2x=2x^2-2x$.
  • Bestimme den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen eingeschlossen wird.

    Tipps

    Berechne zunächst die Schnittstellen der beiden Funktionen, dann die Flächeninhalte der jeweiligen Funktion und zuletzt die Differenz der Flächeninhalte.

    Die Flächeninhaltsfunktion einer konstanten Funktion $f(x)=c$ ist gegeben durch

    $A_0(x)=cx$.

    Wenn du einen Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;a]$ berechnen möchtest bei gegebener Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$, so ist dieser Flächeninhalt durch $A_0(a)$ gegeben.

    Merke dir die folgenden Flächeninhaltsfunktionen:

    • zu $x$ ist $A_0(x)=\frac12x^2$ und
    • zu $x^2$ ist $A_0(x)=\frac13x^3$.
    Lösung

    In diesem Beispiel werden noch einmal die einzelnen Schritte betrachtet, welche durchgeführt werden müssen, um ein eingeschlossenes Flächenstück zu berechnen:

    Schnittstellen

    Die beiden Funktionen werden gleichgesetzt:

    $\begin{array}{rclll} \frac12x^2-2x+4&=&4&|&-4\\ \frac12x^2-2x&=&0\\ \frac12x(x-4)&=&0 \end{array}$

    Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, ist entweder $x=0$ oder $x-4=0$. Die Schnittstellen sind damit $x=0$ sowie $x=4$. Dies sind die Intervallgrenzen.

    Nun wird zu jeder der beiden Funktionen der Flächeninhalt berechnet, den diese Funktion mit der x-Achse über dem Intervall $I$ einschließt:

    $q(x)=\frac12x^2-2x+4$.

    • Die Flächeninhaltsfunktion lautet: $A_0(x)=\frac12\cdot \frac13x^3-2\cdot \frac12x^2+4x=\frac16x^3-x^2+4x$.
    • Nun wird $x=4$ in diese Funktion eingesetzt: $A_0(4)=\frac164^3-4^2+4\cdot 4=\frac{32}3$ [FE].
    $k(x)=4$
    • Hier ist die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=4x$.
    • Wieder wird $x=4$ in diese Funktion eingesetzt: $A_0(4)=4\cdot 4=16$ FE.
    Zuletzt wird die Differenz der beiden Flächeninhalte gebildet:

    $16$ FE $-\frac{32}3$ FE $=\frac{16}3$ FE.

  • Gib an, welche Funktion benötigt wird, um einen Flächeninhalt zu berechnen.

    Tipps

    Sei $f(x)=\frac13x+2$, dann ist

    $f'(x)=\frac13$

    die Ableitung(sfunktion) dieser Funktion.

    Schnittstellen von Funktionsgraphen werden durch Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen bestimmt.

    Es gibt keine Schnittstellenfunktion.

    Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion: Eine Parabelfunktion gibt es nicht.

    Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion: Eine Geradenfunktion gibt es nicht.

    Lösung

    Hier ist das Beispiel der linearen Funktion $f(x)=\frac13x+2$ zu sehen. Rot markiert ist die Fläche, welche von dem Graphen der Funktion sowie der x-Achse über dem Intervall $I=[0;4]$ eingeschlossen wird.

    Hierfür bestimmt man die Flächeninhaltsfunktion von $f(x)$. Diese ist

    $A_0(x)=\frac16x^2+2x$.

    Zuletzt setzt man die rechte Intervallgrenze in die Flächeninhaltsfunktion ein:

    $A_0(4)=\frac16 \cdot 4^2+2\cdot 4=\frac{32}3$.

    Die linke Intervallgrenze $x=0$ muss übrigens nicht extra eingesetzt werden, weil der resultierende Wert immer $0$ ist. Dies gilt nur für eine linke Intervallgrenze $x=0$.

  • Berechne den Flächeninhalt des Grundstückes.

    Tipps

    Beachte, dass die linke Intervallgrenze nicht $0$ ist.

    Hier ist zu sehen, wie das Flächenstück über dem Intervall $I=[2;5]$ berechnet wird.

    Natürlich kannst du die Schnittstellen (x-Koordinaten) ablesen. Du solltest diese jedoch durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen berechnen.

    Die Flächeninhaltsfunktion von $l(x)$ ist gegeben durch

    $A_0(x)=\frac12x^2+x$.

    Lösung

    Zunächst werden die Schnittstellen der beiden Funktionen berechnet. Hierfür werden diese gleichgesetzt:

    $\begin{array}{rclll} x^2-4x+5&=&x+1&|&-1\\ x^2-4x+4&=&x&|&-x\\ x^2-5x+4&=&0\\ (x-4)(x-1)&=&0 \end{array}$

    Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, ist entweder $x-4=0$, also $x=4$, oder $x-1=0$, also $x=1$.

    Damit sind die Intervallgrenzen $I=[1;4]$ gegeben.

    Da mithilfe der Flächeninhaltsfunktionen immer Flächen von $0$ bis ... berechnet werden, muss ein „Trick“ angewendet werden: Um den Flächeninhalt über dem Intervall $I=[1;4]$ zu berechnen, berechnet man

    • den Flächeninhalt über $[0;4]$, also $A_0(4)$ sowie
    • den über $[0;1]$, also $A_0(1)$, und
    • bildet in der Reihenfolge die Differenz: $A_0(4)-A_0(1)$.
    Berechnung des jeweiligen Flächeninhalts

    $l(x)=x+1$

    • $A_0(x)=\frac12x^2+x$
    • $A_0(4)=8+4=12$ FE
    • $A_0(1)=1+\frac12=1,5$ FE
    • $A_0(4)-A_0(1)=\frac{21}2=10,5$ FE
    $q(x)=x^2-4x+5$

    • $A_0(x)=\frac13x^3-2x^2+5x$
    • $A_0(4)=\frac{64}3-32+20=\frac{28}3$ FE
    • $A_0(1)=\frac13-2+5=\frac{10}3$ FE
    • $A_0(4)-A_0(1)=\frac{18}3=6$ FE
    Zuletzt wird von dem Flächeninhalt des oberen Graphen, der Geraden, der Flächeninhalt des unteren Graphen, der Parabel, subtrahiert. So erhält man den gesuchten Inhalt des orangefarbenen Flächenstücks:

    $\frac{21}2$ FE $-6$ FE $=\frac{9}2$ FE.

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