30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Flächeninhalt und Umfang von Parallelogrammen 09:04 min

Textversion des Videos

Transkript Flächeninhalt und Umfang von Parallelogrammen

Herzlich willkommen liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich willkommen zum Video Geometrie Teil 23. Das Thema dieses Videos lautet: Das Parallelogramm. Teil a, Umfang und Flächeninhalt. Bauer Lindemann hat eine neue Wiese erworben. Sie ist nicht groß, aber sie hat eine seltsame Form. Er möchte nun gerne wissen, was das sein könnte. Sein Sohn Kröschhahn geht in die Grundschule. Er fragt ihn: "Kröschhahn, weißt Du, was das ist?" "Klar Vater, das ist ein Parallelogramm." Dieses Viereck, das wir das erste Mal besprechen, heißt Parallelogramm. Wir wollen es definieren. Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit 2 parallelen Seitenpaaren. Lasst uns das Parallelogramm, die Wiese von Bauer Lindemann beschriften. Zunächst die Eckpunkte mit Großbuchstaben. A, B, C und D. Die Seiten beschriften wir mit Kleinbuchstaben a, b, c und d. Wir können schreiben, a ist parallel zu c und b ist parallel zu d. Dann kann man zeigen, das wäre sozusagen ein Beweis: Die parallelen Seiten sind gleich lang. Den Beweis werden wir nicht führen. Wir schreiben es nur mathematisch exakt auf: a=c und b=d. Nun möchte Bauer Lindemann wissen, wie viel Meter Zaun er für seine Wiese benötigt. "Ja, wie viel Meter Zaun brauche ich denn für die Wiese, hm? Wie viel Meter ist denn das? Hm, hm, hm." Wir wollen ihm helfen und den Umfang des Parallelogramms berechnen. Zunächst können wir schreiben: U, das ist der Umfang, =a+b+c+d. Wir wissen nun aber auch, dass a=c ist und außerdem ist b=d. Dann ergibt sich, 2. große Zeile: U=a+b+a+b. Wir können nun in der Mitte b und a vertauschen und erhalten in der 3. großen Zeile: U=a+a+b+b. Nun fassen wir zusammen, in der 4. Zeile und erhalten: U=2a+2b. Wir schreiben die erhaltene Formel oben hin, neben das Wort Umfang. U=2a+2b. Die Seite a beträgt 25 m. Die Seite b misst Bauer Lindemann mit 18 m aus. Lösung: Wir benutzen die Formel für den Umfang. U=2a+2b. In der Zeile darunter setzen wir für a und b die Werte ein. U=2×25m+2×18m. In der nächsten Zeile: U=50m+36m. Und schließlich U=86 m. Der Umfang der Wiese beträgt 86 m. Ich schreibe jetzt oben rechts die Formel für den Umfang auf, damit wir sie nicht vergessen. Darunter schreibe ich die gleiche Formel auf, nachdem ich eine 2 ausgeklammert habe. U=2×(a+b). Diese Formeln kennen wir doch. Erinnert sie Euch an das Quadrat? Nein, das ist nicht richtig. Bei welcher Figur haben wir diese Formel verwendet? Richtig, es war das Rechteck! Nun möchte Bauer Lindemann gerne wissen, wie groß die Grasfläche seiner kleinen Wiese ist. "Jo, wie viel Futter könnte man da bekommen? Wie viel ist denn das nur? Hm, hm, hm, wie groß ist denn das Ding eigentlich?" Wie groß ist die Grasfläche? Wir müssen den Flächeninhalt des Parallelogramms bestimmen. Habt ihr eine Idee? Schaut ein Mal, man kann in das Parallelogramm vorne ein Dreieck einsetzen, das einen rechten Winkel hat. Man könnte sozusagen diese Fläche aus dem Parallelogramm herausschneiden und dieses Stückchen, dass man vorne rausschneidet, kann man hinten, wo es fehlt, einfach ansetzen. Und es passt genau hin. Ja, und wenn ich das rote Dreieck durch ein Grünes ersetze, dann habe ich wieder ein Rechteck erhalten und ein Rechteck kenne ich. Ich habe also aus dem grünen Parallelogramm ein flächengleiches, grünes Rechteck gebastelt. Das grüne Parallelogramm und das grüne Rechteck haben demzufolge den gleichen Flächeninhalt. Den Flächeninhalt eines Rechtecks können wir bestimmen. Wir benötigen dafür nur die Längen der beiden Seiten. Die Seite a unten, bzw. c, die auch a ist, haben wir ja. Und dann benötigen wir nur noch diese 2. Seite. Das ist aber gerade die Höhe. Um eine Höhe handelt es sich tatsächlich, denn die beiden Innenwinkel in dem Rechteck sind ja gerade 90°. Also können wir für den Flächeninhalt schreiben: Groß A = klein a×h. Wir merken uns: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt aus den Längen einer Seite und der dazugehörigen Höhe. Jetzt wollen wir aber noch dem Bauern Lindemann helfen. Wir schreiben: a=25m. Das wissen wir noch und a=c. Die Höhe messen wir aus. Sie beträgt 15m. Lösung: Die Fläche, groß A=a×h. A=25m×15m. Meter mal Meter ergibt Quadratmeter. Das wissen wir bereits und 25×15, schnelle Kopfrechner vor, macht 375. Der Flächeninhalt der Wiese beträgt damit 375m². So, nun bleibt uns noch zum Abschluss die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms zum Notieren. Groß A=a×h. Das schreiben wir oben hin. "Moment ist ja ganz nützlich diese Mathematik, hm? Mann, Mann, Mann, vielen vielen Dank." Ich wünsche Euch viel Spaß noch und viel Erfolg. Alles Gute. Tschüss.

30 Kommentare
  1. Default

    hi frohe Ostern

    Von Helmersen, vor 28 Tagen
  2. Jonas ohne rahmen

    Hallo Tom M.,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle in der Aufgabe an, die du nicht verstehst. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor etwa einem Monat
  3. Galaxy hintergrund

    Die letzte Aufgabe verstehe ich nicht

    Von Tom M., vor etwa einem Monat
  4. Default

    super hilfreich :)

    Von Hammad C., vor 8 Monaten
  5. Default

    Sehr gutes video
    Danke

    Von Dara007, vor 12 Monaten
  1. Default

    hat sehr geholfen ciao

    Von Uwegroneberg, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Hat mir geholfen das Thema zu verstehen! Kompliment

    Von Robin L., vor etwa einem Jahr
  3. Default

    Gutes Video

    Von Dilara Sevde H., vor etwa einem Jahr
  4. Albrecht

    @Sofa123 1
    Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Jahr
  5. Default

    Hä kein plan wie es geht

    Von Sofa123 1, vor etwa einem Jahr
  6. 001

    Nein, ich bin a. D.
    A. O,

    Von André Otto, vor fast 2 Jahren
  7. Default

    können sie nächstes mal noch ein Video mit dem Bauer machen

    Von Ahmeda K., vor fast 2 Jahren
  8. Default

    tolles video

    Von Alex Ageland, vor etwa 2 Jahren
  9. Default

    Super

    Von Franzleistle, vor etwa 2 Jahren
  10. 001

    Hallo Oezlem,

    das ist das 23. Video einer Reihe. Das bedeutet, dass es vorher 22 Vorgängervideos gab. Hast Du Dir die alle angeschaut?
    Natürlich ist das Video anders anzuschauen als eine Theateraufführung. Man muss es mal anhalten, Dinge durchdenken, Dinge notieren und die Aufgaben selber schriftlich durchrechnen.
    Nur so wird es etwas.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor etwa 2 Jahren
  11. Default

    dieses video ist sooo kompliziert und man versteht NICHTS!!!!!!!!

    Von Oezlem 2, vor etwa 2 Jahren
  12. Default

    Danke sehr hilfreich

    Von Kyrillos G., vor mehr als 2 Jahren
  13. Default

    Dieses Video ist cool , hilfreich und witzig

    Von Soad83, vor etwa 3 Jahren
  14. 001

    Mitnichten. Offensichtlich hat der Bauer in der Vorstellung des Autors weit mehr Charakter als so mancher Städter.

    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 3 Jahren
  15. Default

    Super Video, aber verarscht die armen Bauern bitte nicht.
    Er muss in die Grundschule... :)

    Von Sontheim J, vor mehr als 3 Jahren
  16. Default

    Hilfreich danke

    Von Kopplinger, vor etwa 4 Jahren
  17. Default

    sehr hilfreich einmal angeschaut und gechekt

    Von Seyda A., vor mehr als 4 Jahren
  18. Default

    hat mir sehr geholfen danke :-))

    Von Justin F., vor mehr als 4 Jahren
  19. Default

    wieso Kölsch

    Von A A Winkler, vor etwa 5 Jahren
  20. Default

    danke André Ott für das video das sehr

    Von Agentff, vor etwa 6 Jahren
  21. Default

    War sehr hilfreich

    Von Herrderringe, vor etwa 6 Jahren
  22. Default

    War sehr hilfreich

    Von Herrderringe, vor etwa 6 Jahren
  23. Default

    Jo, wie viel Futter könnte man da bekommen? Wie viel ist denn das nur? Hm, hm, hm, wie groß ist denn das Ding eigentlich? Hahaha geil. Aber das Video hat mir sehr geholfen. Top

    Von Beat Buehlmann, vor etwa 6 Jahren
  24. Default

    die stimme is geile
    Hallo Liebe schuler und schülerinen

    Von Passi007, vor mehr als 6 Jahren
  25. 008 sura anfal 022

    dieses video war sehr hilfreich mit dem bauer usw. sehr gut

    Von Mariya K., vor etwa 7 Jahren
Mehr Kommentare

Flächeninhalt und Umfang von Parallelogrammen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt und Umfang von Parallelogrammen kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere, was ein Parallelogramm ist und gib die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt an.

    Tipps

    Den Umfang erhältst du, wenn du einmal um das Parallelogramm herum gehst. Starte bei $A$, gehe über $B$ und $C$ zu $D$ und wieder zurück zu $A$:

    $U=a+b+c+d$

    Für den Flächeninhalt:

    Stell dir vor, du schneidest das rechtwinklige, gelbe Dreieck mit der Seite $d$ und der Seite $h$ links in dem Parallelogramm aus und setzt es rechts wieder an das Parallelogramm an.

    So erhältst du ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $h$. Beachte, dass die Länge von $a$ gleich der Länge von $c$ ist.

    Das Parallelogramm und das Rechteck haben den gleichen Flächeninhalt.

    Der Name Parallelogramm gibt dir einen Hinweis auf die wichtigste Eigenschaft dieser ebenen Figur.

    Lösung

    Ein Parallelogramm ist eine ebene Figur mit vier Ecken. Es ist also ein Viereck.

    Das Besondere an einem Parallelogramm sind die jeweils einander gegenüberliegenden Seiten. Diese sind nämlich parallel zueinander. Daher kommt auch der Name. Hier ist ein Parallelogramm zu sehen mit den entsprechenden Bezeichnungen der Ecken und Seiten.

    Es gilt:

    • $a\parallel c$ und $b\parallel d$, das heißt, die Seitenpaare sind jeweils parallel zueinander und
    • $a=c$ und $b=d$, das heißt, diese Seiten sind jeweils gleich lang.
    Die Strecke $h$ bezeichnet die Höhe des Parallelogramms. Dies ist der Abstand zwischen zwei parallelen Seiten. Die Höhe steht auf dem Bild senkrecht auf der Grundseite $a$ und $c$.

    Der Umfang eines Parallelogramms ist gegeben durch die Formel $U=a+b+c+d$. Auf Grund der Tatsache, dass die einander gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, lässt sich diese Formel so umformen:

    $U=a+b+a+b=2a+2b=2(a+b)$

    Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich mit Hilfe der Höhe $h$ berechnen:

    $A=a\cdot h$

    Warum ist dies so? Sieh dir die Animation an. Stell dir vor, du schneidest das rechtwinklige, gelbe Dreieck mit der Seite $d$ und der Seite $h$ links in dem Parallelogramm aus und setzt es rechts wieder an das Parallelogramm an. So entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $h$. Das Rechteck hat den Flächeninhalt $A_{Rechteck}=a\cdot h$. Und da das Parallelogramm und das Rechteck den gleichen Flächeninhalt haben, hat das Parallelogramm dieselbe Formel für die Berechnung vom Flächeninhalt wie das Rechteck.

  • Berechne die Länge des Zauns.

    Tipps

    Der Zaun um die Wiese ist so lang wie der Umfang des Parallelogramms.

    Die Formel für den Umfang eines Parallelogramms sieht so aus:

    $U=a+b+c+d$

    Du kannst diese Formel vereinfachen.

    Die Längen einander gegenüberliegender Seiten sind gleich groß:

    • $a=c$
    • $b=d$
    Lösung

    Der Zaun um Bauer Lindemanns Wiese muss so lang sein wie der Umfang des Parallelogramms. Wir können also die Formel $U=2(a+b)$ nutzen.

    Zuerst muss der Bauer die bekannten Seitenlängen in die allgemeine Formel einsetzen:

    $\begin{array}{rcl} U&=&2(25~m+18~m)\\ &=&2\cdot 43~m\\ &=&86~m \end{array}$

    Das bedeutet, dass der Zaun $86~m$ lang sein muss.

  • Bestimme den Flächeninhalt der Wiese.

    Tipps

    Beachte, dass die Maßeinheit für einen Flächeninhalt $m^2$ ist.

    Hier siehst du ein Parallelogramm.

    In der Animation siehst du, warum der Flächeninhalt von Parallelogrammen mit der Formel

    $A = a\cdot h $

    berechnet wird. Stell dir vor, du schneidest das rechtwinklige, gelbe Dreieck mit der Seite $d$ und der Seite $h$ links in dem Parallelogramm aus und setzt es rechts wieder an das Parallelogramm an. So erhältst du ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $h$. Beachte, dass die Länge von $a$ gleich der Länge von $c$ ist. Das Parallelogramm und das Rechteck haben den gleichen Flächeninhalt.

    Lösung

    In dieser Aufgabe musstest du den Flächeninhalt von Bauer Lindemanns Wiese berechnen. Die benötigte Formel lautet:

    $A=a\cdot h$

    Setze nun die Längen in diese Formel ein. So erhältst du:

    $A=25~m\cdot 15~m=375~m^2$

    Bauer Lindemann muss also Kartoffelpflanzen für gesamt $375~m^2$ einkaufen.

  • Leite den Flächeninhalt des Parallelogramms her.

    Tipps

    Beachte, dass die Höhe senkrecht zur Grundseite steht.

    Ein rechtwinkliges Dreieck, welches einen spitzen Winkel von $45^\circ$ hat, ist gleichschenklig.

    Das heißt, die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, sind gleich lang.

    Wenn du den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen willst, multiplizierst du die Länge der Grundseite mit der Länge der dazugehörigen Höhe.

    Die Länge der Grundseite beträgt $2a$. Die Länge der Höhe $h$ ist gesucht.

    Lösung

    Wir nennen die Grundseite $g$, denn das $a$ wird bei dieser Aufgabe schon benutzt. Die Länge der Grundseite $g$ beträgt $2a$.

    Das linke Dreieck in diesem Parallelogramm ist rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt in der rechten unteren Ecke des Dreiecks.

    In der linken unteren Ecke des Dreiecks liegt ein Winkel von $45^\circ$. Ein rechtwinkliges Dreieck, das einen weiteren Winkel von $45^\circ$ besitzt, ist gleichschenklig. Das heißt, dass die Höhe $h$ genauso lang ist wie die halbe Grundseite:
    $h=a$

    Jetzt haben wir alle Größen, um den Flächeninhalt zu berechnen:

    $A=2a\cdot h=2a\cdot a=2a^2$

  • Ermittle die Länge der Seite $a$ des Parallelogramms.

    Tipps

    Wenn du den Umfang und eine Seitenlänge eines Parallelogramms kennst, kannst du mithilfe der Formel die andere Seitenlänge ermitteln.

    Dafür setzt du zuerst alle Größen, die du kennst, in die Umfangformel ein. Dann formst du die Formel so lange um, bis du die andere Seitenlänge kennst.

    Schaue dir ein Beispiel zur Umformung der Umfangformel nach einer Größe an:

    $\begin{array}{rclll} 100&=&2(10+b)&|&:2\\ 50&=&10+b&|&-10\\ 40&=&b \end{array}$

    Lösung

    Da hat Bauer Flake ein kniffliges Rätsel zu lösen. Er kennt die Formel für den Umfang von Parallelogrammen: $U=2(a+b)$

    Er weiß, dass der Umfang des Parallelogramms $U=80~m$ beträgt und dass die Seite $b=18~m$ lang ist. Zuerst füllt er die Größen, die er kennt, in die Umfangformel:

    $\begin{array}{rclll} U&=&2(a+b)&\\ 80~m&=&2(a+18~m)&|&:2\\ 40~m&=&a+18~m&|&-18~m\\ 22~m&=&a \end{array}$

    Damit hat er die Umfangformel so umgeformt, dass er am Ende die Seitenlänge $a=22~m$ herausbekommen hat.

  • Leite jeweils die fehlenden Größen her.

    Tipps

    Bauer Lindemann hat sich die folgenden Formeln für Parallelogramme auf einem Zettel notiert:

    • Der Umfang: $U=2(a+b)$
    • Der Flächeninhalt: $A=a\cdot h$

    Wenn der Umfang oder der Flächeninhalt bekannt ist, setzt du zuerst alle Größen in die Formel ein, die du kennst.

    Dann musst du die Formel umformen, um die unbekannte Größe zu bestimmen.

    • Wenn der Umfang bekannt ist, kannst du die Formel entweder nach $a$ oder nach $b$ umformen.
    • Wenn der Flächeninhalt bekannt ist, kannst du die Formel entweder nach $a$ oder nach $h$ umformen.
    Lösung

    Die Parallelogramm-Rätsel lassen sich in zwei Gruppen einteilen. Bei der einen Gruppe suchst du den Umfang oder den Flächeninhalt. Bei der anderen Gruppe willst du wissen, wie lang eine Seite oder die Höhe ist.

    1. Du suchst den Umfang oder den Flächeninhalt: Bei diesen Rätseln wendest du die Formel an.

    • Die Formel für den Umfang eines Parallelogramms siehst du hier: $U=2(a+b)$. Mit den Seitenlängen $a=b=12~m$ ergibt sich dann der Umfang $U=2(12~m+12~m)=2\cdot 24~m=48~m$. Der Umfang beträgt also $48~m$.
    • Die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms sieht so aus: $A=a\cdot h$. Für die Seitenlänge $a=20~m$ und die Höhe $h=12~m$ ergibt sich somit $A=20~m\cdot 12~m=240~m^2$.

    2. Du suchst eine Seitenlänge oder die Länge der Höhe: Bei diesen Rätseln startest du mit der Formel, setzt alle Größen ein, die du kennst und formst die Formel dann um.

    • Du kennst den Umfang $U=100~m$ und die Seitenlänge $a=30~m$. Beide Größen setzt du in die Formel für den Umfang ein: $100~m=2(30~m+b)$. Du dividierst zunächst durch $2$. Dies führt zu: $50~m=30~m+b$. Als Nächstes subtrahierst du $30~m$. Damit kommst du zu: $b=20~m$. Die Seite $b$ ist also $20~m$ lang.
    • Bei dem Flächeninhalt $A=260~m^2$ und der bekannten Höhe $h=20~m$, gehst du genauso vor, um die Seitenlänge $a$ herauszufinden. Du setzt die Größen in die Formel ein: $260~m^2=a\cdot 20~m$. Dann dividierst du durch $20~m$, und kommst so zu $a=13~m$. Die Seite $a$ ist also $13~m$ lang.