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Trapez – Fehlende Größen berechnen

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Die Autor*innen
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Team Digital
Trapez – Fehlende Größen berechnen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Trapez – Fehlende Größen berechnen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, fehlende Größen bei Trapezen zu berechnen.

Zunächst lernst du, wie du die Formel für den Umfang von Trapezen nach einer unbekannten Größe umstellen kannst. Anschließend lernst du, wie du die Formel für den Flächeninhalt von Trapezen nach einer unbekannten Größe umstellen kannst.

Fehlende Größen beim Trapez berechnen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Trapez, Formel, Umfang, Höhe und Flächeninhalt.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Formeln für Umfang und Flächeninhalt von Trapezen kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Trapezen haben.

Transkript Trapez – Fehlende Größen berechnen

Du willst unbedingt wissen wie man fehlende Größen im Trapez berechnen kann?! Na, dann wollen wir deine Geduld mal nicht übertrapezieren! Nicht witzig? Na gut, am Besten legen wir einfach los! Hier siehst du ein Trapez. Es hat vier Ecken und die parallelen Seiten a und c. Um den „Umfang U“ eines Trapezes zu berechnen, addieren wir einfach die vier Seitenlängen. Und damit wir die Formel für den „Flächeninhalt A“ aufstellen können, brauchen wir noch die „Höhe h“, die senkrecht zu den parallelen Seiten steht. Die Formel lautet dann „ein halb mal in Klammern a plus c mal h“. Manchmal wird die Formel auch so oder so geschrieben. Das sind aber im Endeffekt nur unterschiedliche Schreibweisen für die gleiche Formel. Wir verwenden in diesem Video diese. Wenn wir die Seitenlängen und die Höhe gegeben haben, können wir mit den Formeln Umfang und Flächeninhalt von Trapezen problemlos berechnen. So weit, so gut. Aber wie funktioniert das, wenn wir zum Beispiel den Umfang sowie drei Seitenlängen gegeben haben und die fehlende, vierte Seitenlänge bestimmen sollen? Zuerst können wir die gegebenen Werte in die Formel für den Umfang einsetzen. Die rechte Gleichungsseite können wir dann vereinfachen, indem wir die drei bekannten Seitenlängen addieren. Und jetzt müssen wir die elf Zentimeter nur noch auf beiden Seiten abziehen. C ist also 3,5 Zentimeter lang. Ein kleines bisschen schwieriger wird es, wenn wir den Flächeninhalt eines Trapezes, sowie die Seitenlängen a und c gegeben haben und die Höhe berechnen sollen. Aber die Grundidee bleibt die gleiche! Wir setzen zuerst die gegebenen Werte in die passende Formel ein und vereinfachen. Jetzt müssen wir die Gleichung nur noch nach h auflösen, also so umstellen, dass h alleine auf einer Seite steht. Das machen wir, indem wir beide Seiten durch 3,5 Zentimeter teilen. Wir müssen noch bedenken, dass „Quadratzentimeter durch Zentimeter“ Zentimeter ergibt. Und schon haben wir die Höhe berechnet. Jetzt bist du an der Reihe. Bei diesem Trapez ist der Flächeninhalt, die Länge der Seite a, und die Höhe h angegeben. Gesucht ist Seitenlänge c. Pausiere das Video doch kurz und versuche zuerst selbst auf die Lösung zu kommen. Dann kannst du dein Ergebnis vergleichen! Also gut, zuerst setzen wir wie immer die gegebenen Werte in die richtige Formel ein. Dann können wir wieder vereinfachen: „Ein Halb mal fünf Zentimeter sind 2,5 Zentimeter.“ Jetzt können wir beide Seiten durch 2,5 Zentimeter teilen. Nun können wir die Klammern weglassen und müssen zum Abschluss nur noch 3,5 Zentimeter subtrahieren. Schon haben wir unser Ergebnis! Hast du das gleiche rausbekommen? Wir fassen nochmal zusammen, wie wir fehlenden Größen bei Trapezen auf die Schliche kommen! Zuerst sollten wir uns immer klar machen, welche Größe gesucht ist und welche Größe wir gegeben haben. Dann können wir die gegebenen Werte in die passende Formel einsetzen. Als nächstes können wir die Gleichung, die wir so erhalten, dann noch vereinfachen. Und zum Schluss müssen wir die Gleichung nur noch nach der unbekannten Größe umstellen. Das braucht am Anfang ein bisschen Übung. Also mach ruhig eine Rechnung nach der anderen, bis du deine Zimmerwände damit trapezieren kannst!

Trapez – Fehlende Größen berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trapez – Fehlende Größen berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Strategie zur Berechnung fehlender Größen im Trapez.

    Tipps

    Unter "Größen" versteht man die Angaben, die in der Rechnung gegeben oder gesucht sind. In dieser Aufgabe ist $h$ (Höhe) gesucht und $A$ (Flächeninhalt), $a$ (Seite $a$ des Trapezes) und $c$ (Seite $c$ des Trapezes) gegeben.

    Um die Aufgabe zu lösen, benötigt man die korrekte Formel. Sie lautet für den Flächeninhalt des Trapezes:

    $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

    Lösung

    Bei der Berechnung fehlender Größen im Trapez ist es nicht nur wichtig die Formeln zu kennen, du solltest auch möglichst systematisch vorgehen, um dir die Arbeit zu erleichtern.

    Du überlegst dir ...

    Schritt 1:
    Welche Größen sind gegeben und gesucht?
    $\Rightarrow ~$ Lies die gegebenen und gesuchten Größen aus der Aufgabenstellung ab.
    Gegeben: $~A=7~\text{cm}^2, ~ a=4~\text{cm}, ~ c=3~\text{cm}$
    Gesucht: $~~~h =~?$

    Schritt 2:
    Welche Formel ist geeignet, um die gesuchte Größe aus den gegebenen Größen zu berechnen?
    $\Rightarrow ~$ Suche die passenden Formeln.
    $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

    Schritt 3:
    $\Rightarrow ~$ Setze die gegebene Werte ein.
    $7~\text{cm}^2 = \dfrac{1}{2} \cdot ( 4~\text{cm} + 3~\text{cm}) \cdot h$

    Schritt 4:
    $\Rightarrow ~$ Vereinfache die Gleichung.
    $7~\text{cm}^2 = 3{,}5~\text{cm} \cdot h$

    Schritt 5:
    $\Rightarrow ~$ Stelle die Gleichung nach dem gesuchten Wert um.
    $h=2~\text{cm}$

  • Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Trapezes.

    Tipps

    Setze die gegebenen Größen in die Formel ein.

    Zum Beispiel setzen wir für $a= 10 ~\text{cm}$ in $ U = a + b + c + d $ ein. Das ergibt:

    $ U = 10 ~\text{cm} + b + c + d $

    Lösung

    Um diese Aufgabe zu lösen, musst du die gegebenen Angaben aus der Grafik ablesen und in die Formel für Umfang $U$ und Flächeninhalt $A$ einsetzen.

    Die Aufgabe wird wie folgt gelöst:

    $ U = a + b + c + d $

    $ \Rightarrow ~ U = 10~\text{cm} + 6{,}5~\text{cm} + 4~\text{cm} + 5{,}3~\text{cm} = 25{,}8~\text{cm}$

    $\quad$

    $ A = \dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h $

    $\Rightarrow ~ A = \dfrac{1}{2} \cdot (10~\text{cm} + 4~\text{cm} ) \cdot 5~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot 14~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 7~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 35~\text{cm}^2$

  • Bestimme den Flächeninhalt der Trapeze.

    Tipps

    Lese die Größen aus der Grafik ab und setze sie in die bekannten Formeln ein.

    Hier musst du ${a=5~\text{cm}}$, ${c=3~\text{cm}}$ und ${h = 2~\text{cm}}$ aus der Grafik ablesen und die Formel einsetzen.

    Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:

    $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

    Lösung

    Um das Ergebnis des Flächeninhaltes des Trapezes zu erhalten, musst du die Angaben aus der Grafik ablesen und in die allgemeine Formel $A=\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$ einsetzen.

    Die Aufgaben werden wie folgt gelöst:

    1)
    $A = \dfrac{1}{2} \cdot (7~\text{cm}+3{,}2~\text{cm}) \cdot 2{,}3~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot (10{,}2~\text{cm}) \cdot 2{,}3~\text{cm} = 5{,}1~\text{cm} \cdot 2{,}3~\text{cm}$

    $\Rightarrow \quad \color{#99CC00}{A = 11{,}73~\text{cm}^2}$


    2)
    $A = \dfrac{1}{2} \cdot (11{,}5~\text{cm}+4~\text{cm}) \cdot 4{,}6~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot (15{,}5~\text{cm}) \cdot 4~\text{cm} = 7{,}75~\text{cm} \cdot 4{,}6~\text{cm}$

    $\Rightarrow \quad \color{#99CC00}{A = 35{,}65~\text{cm}^2}$


    3)
    $A = \dfrac{1}{2} \cdot (7{,}8~\text{cm}+3{,}5~\text{cm}) \cdot 3{,}2~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot (11{,}3~\text{cm}) \cdot 3{,}2~\text{cm} = 5{,}65~\text{cm} \cdot 3{,}2~\text{cm}$

    $\Rightarrow \quad \color{#99CC00}{A = 18{,}08~\text{cm}^2}$


    4)
    $A = \dfrac{1}{2} \cdot (8{,}8~\text{cm}+4{,}5~\text{cm}) \cdot 3{,}5~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot (13{,}3~\text{cm}) \cdot 3{,}5~\text{cm} = 6{,}65~\text{cm} \cdot 3{,}5~\text{cm}$

    $\Rightarrow \quad \color{#99CC00}{A = 23{,}275~\text{cm}^2 \approx 23{,}28~\text{cm}^2}$

  • Entscheide, ob die Größen im Trapez richtig berechnet wurden.

    Tipps

    $A_\text{Trapez}=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

    $U_\text{Trapez}=a+b+c+d$

    Um die gesuchte Größe in einer Formel auszurechnen, setzt du die gegebenen Größen ein, vereinfachst die Gleichung soweit wie möglich und löst sie dann nach der gesuchten Größe auf.

    Lösung

    Wir rechnen nach, um zu überprüfen, ob die Ergebnisse stimmen.

    Folgende Rechnungen sind korrekt:

    $A = 389{,}5~\text{cm}^2, a = 27~\text{cm},~ c = 14~\text{cm}$

    $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \ \Leftrightarrow \ h = \dfrac{2A}{(a+c)}$

    $\Rightarrow~h= \dfrac{2\cdot 389{,}5~\text{cm}^2}{27~\text{cm} + 14~\text{cm}} = \dfrac {779 ~\text{cm}}{41~\text{cm}} = \color{#99CC00}{19~\text{cm}}$


    $U = 317{,}9~\text{mm}, b = 69{,}4~\text{mm}, c = 88{,}7~\text{mm},~ d = 57{,}2~\text{mm}$

    $U= a+b+c+d \ \Leftrightarrow \ a = U-b-c-d$

    $\Rightarrow~ a = U = 317{,}9~\text{mm} - 69{,}4~\text{mm} - 88{,}7~\text{mm} - 57{,}2~\text{mm} =\color{#99CC00}{102{,}6~\text{mm}}$


    Folgende Rechnungen sind nicht korrekt:

    $A = 0{,}75~\text{cm}^2, a = 1{,}3~\text{cm}, h = 0{,}7~\text{cm}$

    $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \ \Leftrightarrow \ c = \dfrac{2A}{h} - a$

    $ \Rightarrow~c= \dfrac{2\cdot 0{,}75~\text{cm}^2}{0{,}7~\text{cm}} - 1{,}3~\text{cm} \approx 0{,}84~\text{cm} \neq \color{red}{0{,}9~\text{cm}} $


    $U = 104{,}9~\text{mm}, a = 33{,}6~\text{mm}, c = 27{,}6~\text{mm}, d = 21{,}8~\text{mm}$

    $U=a+b+c+d \ \Leftrightarrow \ b = U-a-c-d$

    $ \Rightarrow~b = 104{,}9~\text{mm} - a = 33{,}6~\text{mm} - 27{,}6~\text{mm} - d = 21{,}8~\text{mm} = 21{,}9~\text{mm} \neq \color{red}{26{,}4~\text{mm}}$


    Hinweis: Es ist auch möglich, so wie hier zunächst die Formel nach der gesuchten Größe umzustellen und dann die gegebenen Größen einzusetzen, um so die gesuchte Größe direkt zu berechnen.

  • Gib an, welche Formeln im Trapez gelten.

    Tipps

    Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes kann auf verschiedenen Arten dargestellt werden.

    Beispiel:

    $A_{\text{Trapez}} = \dfrac{a + c}{2} \cdot h$

    Lösung

    Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Der Abstand der parallel Seiten ist die Höhe $h$ des Trapezes.

    Die Formel für den Umfang des Trapezes entspricht der Formel für den Umfang eines allgemeinen Vierecks. Wir müssen alle vier Seiten addieren:
    $U=a+b+c+d$

    Für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt die Formel:
    $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h$

    Diese Formel können wir auf verschiedenen Arten darstellen:
    $A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h = \dfrac{a+c}{2} \cdot h = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$


    Folgende Formeln sind korrekt:

    $\color{#99CC00}{A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h}$

    $\color{#99CC00}{A=\dfrac{(a+c) \cdot h}{2}}$

    $\color{#99CC00}{U=a+b+c+d}$

    Folgende Formeln sind nicht korrekt:

    $A=\dfrac{1}{4} \cdot (a+c) \cdot h$

    $A=\dfrac{(a+2) \cdot c}{h}$

    $U = (a+c) - (b+d)$

  • Ermittle die fehlenden Größen des Trapezes.

    Tipps

    Setze die gegebenen Größen in die Formel ein und stelle sie nach der gesuchten Größe um.

    Achte auf die Einheiten und rechne in die gleiche Größe um.

    $1~\text{m}=100~\text{cm}$.

    Lösung

    Um diese Aufgabe zu lösen, musst du die passende Formel wählen, die gegebenen Größen in die Formeln einsetzen und sie dann nach der gesuchten Größe umstellen.

    Die Formel für den Flächeninhalt lautet: ${A=\dfrac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h}$

    Die Formel für den Umfang lautet: ${U=a+b+c+d}$.

    Bei dieser Aufgabe ist zu beachten, dass du die Einheiten anpassen musst. Zum Beispiel ist $1~\text{m}=100~\text{cm}$.


    Aufgabe 1:
    Gegeben: $~A=45~\text{cm}^2,~ a=7{,}3 ~\text{cm},~ b=4~\text{cm},~ c=5~\text{cm}, ~d = 3{,}5~\text{cm}$
    Gesucht: $~~~h = ~?~$ und $~U = ~?$

    $\begin{array}{cccl} A &=& \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\ 45~\text{cm}^2 &=& \frac{1}{2} \cdot (7{,}3 ~\text{cm}+5~\text{cm}) \cdot h \\ 45~\text{cm}^2 &=& \frac{1}{2} \cdot 12{,}3~\text{cm} \cdot h \\ 45~\text{cm}^2 &=& 6{,}15~\text{cm} \cdot h & \vert :6{,}15~\text{cm}\\ 45~\text{cm}^2 : 6{,}15~\text{cm} &=& h \end{array}$

    $\Rightarrow \quad h \approx \color{#99CC00}{7{,}32~\text{cm}}$

    $\begin{array}{ccc} U &=& a+b+c+d \\ U &=& 7{,}3~\text{cm} +4~\text{cm} +5~\text{cm}+3{,}5~\text{cm} \end{array}$

    $\Rightarrow \quad U = \color{#99CC00}{19{,}8~\text{cm}}$

    Aufgabe 2:
    Gegeben: $~A=1260~\text{mm}^2,~ h=42 ~\text{mm}, ~ b=35~\text{mm},~ c=27~\text{mm}, ~d = 27~\text{mm}$
    Gesucht: $~~~a = ~?~$ und $~U = ~?$

    $\begin{array}{cccl} A &=& \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\ 1260~\text{mm}^2 &=& \frac{1}{2} \cdot (a+27~\text{mm}) \cdot 42 ~\text{mm} \\ 1260~\text{mm}^2 &=& 21~\text{mm} \cdot (a+27~\text{mm}) & \vert :21~\text{mm} \\ 60~\text{mm} &=& a+27~\text{mm} & \vert -27~\text{mm}\\ 60~\text{mm}-27~\text{mm} &=& a \end{array}$

    $\Rightarrow \quad a = \color{#99CC00}{33~\text{mm}}$

    $\begin{array}{ccc} U &=& a+b+c+d \\ U &=& 33~\text{mm}+35~\text{mm}+27~\text{mm}+27~\text{mm} \end{array}$

    $\Rightarrow \quad U = \color{#99CC00}{122~\text{mm}}$

    Aufgabe 3:
    Gegeben: $~U = 0{,}7~\text{m} = 70~\text{cm},~ a=20 ~\text{cm},~ b=15~\text{cm},~ d=18~\text{cm}, ~ h = 16~\text{cm}$
    Gesucht: $~~~c = ~?~$ und $~A = ~?$

    $\begin{array}{cccl} U &=& a+b+c+d \\ 70~\text{cm} &=& 20~\text{cm} + 15~\text{cm} + c + 18~\text{cm} \\ 70~\text{cm} &=& 53~\text{cm} + c & \vert -53~\text{cm} \\ 70~\text{cm}-53~\text{cm} &=& c \end{array}$

    $\Rightarrow \quad c = \color{#99CC00}{17~\text{cm}}$

    $\begin{array}{ccc} A &=& \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h \\ A &=& \frac{1}{2} \cdot (20 ~\text{cm}+17~\text{cm}) \cdot 16~\text{cm} \end{array}$

    $ \Rightarrow \quad A = \color{#99CC00}{296~\text{cm}^2}$

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