Erstes Potenzgesetz

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Grundlagen zum Thema Erstes Potenzgesetz
In diesem Video besprechen wir das erste Potenzgesetz und sehen uns ein paar Beispiele dazu an. Das erste Potenzgesetz kann so umschrieben werden: Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem die beiden Exponenten addiert werden. Außerdem sehen wir uns noch an, wie wir dieses Gesetz verstehen können.
Erstes Potenzgesetz Übung
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Gib die Definition für das erste Potenzgesetz wieder.
TippsEine Potenz setzt sich aus einer Basis und einem Exponenten zusammen und ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst:
- $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text{-mal}}$
Sieh dir folgende Beispiele an:
- $2^5\cdot 3^5=(2\cdot 3)^5$
- $5^2\cdot 5^3=5^5$
LösungEine Potenz setzt sich aus einer Basis und einem Exponenten zusammen und ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst:
- $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text{-mal}}$
Das erste Potenzgesetz befasst sich mit der Multiplikation zweier Potenzen, die gleiche Basen besitzen. Es besagt, dass zwei Potenzen mit gleichen Basen multipliziert werden, indem ihre Exponenten addiert werden und die gleiche Basis übernommen wird.
Mathematisch können wir das erste Potenzgesetz wie folgt ausdrücken:
- $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
- $5^2\cdot 5^3=\overbrace{\underbrace{5\cdot 5}_{5^2} \cdot \underbrace{5\cdot 5\cdot 5}_{5^3}}^{5^5}=5^{2+3}$
-
Bestimme mit Hilfe des ersten Potenzgesetzes das Ergebnis.
TippsDas erste Potenzgesetz besagt, dass du zwei Potenzen mit gleichen Basen multiplizierst, indem du ihre Exponenten addierst und die gleiche Basis übernimmst.
Der Exponent einer Potenz ist die Hochzahl.
Sieh dir folgendes Beispiel an:
- $5^7\cdot 5^8=5^{15}$
LösungDas erste Potenzgesetz besagt, dass du zwei Potenzen mit gleichen Basen multiplizierst, indem du ihre Exponenten addierst und die gleiche Basis übernimmst. Es gilt also:
- $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Damit folgt:
- $2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$
- $9^4\cdot 9^5=9^{4+5}=9^9$
-
Ermittle mit Hilfe des ersten Potenzgesetzes die Ergebnisse.
TippsWenn du dir unsicher bist, kannst du die Potenzen ausschreiben und ausrechnen. Auch so kommt man auf die Lösung.
Ist der Exponent einer Zahl negativ, so kannst du diese Potenz als Bruch darstellen. Dabei schreibst du in den Zähler eine $1$ und in den Nenner die jeweilige Potenz mit positivem Exponenten.
Sieh dir folgendes Beispiel an:
- $2^5\cdot \dfrac 1{2^3}=2^5\cdot 2^{-3}=2^{5+(-3)}=2^2$
Den Exponenten $1$ kann man auch weglassen. Es gilt $a^1=a$.
LösungDas erste Potenzgesetz lautet:
- $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:
Ergebnis $4^6$
- $4\cdot 4^5=4^1\cdot 4^5=4^{1+5}=4^6$
- $4^2\cdot 4^4=4^{2+4}=4^6$
- $4^7\cdot 4^{-1}=4^{7+(-1)}=4^{7-1}=4^6$
Ergebnis $4^4$
- $4^2\cdot 4^2=4^{2+2}=4^4$
- $4^5\cdot 4^{-1}=4^{5+(-1)}=4^4$
- $4\cdot 4^3=4^1\cdot 4^3=4^{1+3}=4^4$
- $4^8\cdot \dfrac{1}{4^4}=4^8\cdot 4^{-4}=4^{8+(-4)}=4^4$
Ergebnis $4$
- $4^{-3}\cdot 4^4=4^{-3+4}=4^1=4$
- $4^2\cdot \dfrac 14=4^2\cdot 4^{-1}=4^{2+(-1)}=4^1=4$
-
Erschließe mit Hilfe des Potenzgesetzes die vereinfachten Terme.
TippsDen Exponenten $1$ kann man weglassen. Trotzdem kann die Zahl als Potenz bewertet werden. Dabei ist die Zahl die Basis und der Exponent ist $1$. Es gilt nämlich:
- $a^1=a$
Vereinfache den Term, der in der Basis und im Exponenten einer Potenz steht. Beachte dabei die Rechenregeln:
- Klammern zuerst
- Punkt- vor Strichrechnung
- von links nach rechts
Es gilt: $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
Nutze das Potenzgesetz, nachdem du alle Basen und Exponenten soweit wie möglich vereinfacht hast.
LösungWir vereinfachen jeweils den Term, der in der Basis und im Exponenten einer Potenz steht. Wir beachten dabei die Rechenregeln:
- Klammern zuerst
- Punkt- vor Strichrechnung
- von links nach rechts
- $a^1=a$
Beispiel 1
$(3+2)^3\cdot 2^{1+2}\cdot 5\cdot \left(5-\frac 93\right)^{3}\cdot \left(\frac 12\cdot 6\right)^5=5^3\cdot 2^{3}\cdot 5\cdot 2^{3}\cdot 3^5=5^{3+1}\cdot 2^{3+3}\cdot 3^5=5^{4}\cdot 2^{6}\cdot 3^5$
Beispiel 2
$2^{2+3}\cdot (21:7)^4\cdot 3^{3}\cdot 5^2\cdot (2(1-2)+4)=2^{5}\cdot 3^4\cdot 3^{3}\cdot 5^2\cdot 2=2^{5+1}\cdot 5^2 \cdot 3^{4+3}=2^6\cdot 5^2 \cdot 3^7$
-
Gib die Potenzen als ausgeschriebene Multiplikation an.
TippsEine Potenz ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation der Basis mit sich selbst.
Es gilt zum Beispiel $10^4=10\cdot 10\cdot 10 \cdot 10= 10000$.
LösungEine Potenz setzt sich aus einer Basis und einem Exponenten zusammen und ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation der Basis mit sich selbst:
- $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text{-mal}}$
Damit gilt:
- $2^3=2\cdot 2\cdot 2$
- $2^7=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$
- $7^2=7\cdot 7$
- $3^2=3\cdot 3$
-
Erschließe mit Hilfe des ersten Potenzgesetzes die vereinfachten Terme.
TippsSchreibe zunächst alle Brüche in Potenzen um.
Es gilt:
$\frac{1}{m^n} = m^{-n}$
Sortiere die einzelnen Glieder der Terme so, dass Potenzen mit gleicher Basis nebeneinander stehen. Wende auf die Potenzen mit gleicher Basis dann das erste Potenzgesetz an.
LösungWir schreiben die Brüche in Potenzen um, indem wir die Potenz im Nenner mit negativem Exponenten schreiben. Dann sortieren wir die einzelnen Glieder der Terme so, dass alle Potenzen mit gleicher Basis nebeneinander stehen. Auf diese Potenzen wenden wir dann das erste Potenzgesetz an:
Beispiel 1
$\begin{array}{lll} a^2\cdot b^4\cdot a^5\cdot \dfrac 1a\cdot b &=& a^2\cdot b^4\cdot a^5\cdot a^{-1}\cdot b^1 \\ &=& a^2\cdot a^5\cdot a^{-1}\cdot b^4\cdot b^1 \\ &=& a^{2+5+(-1)}\cdot b^{4+1} \\ &=& a^6\cdot b^5 \end{array}$
Beispiel 2
$\begin{array}{lll} b^8\cdot a\cdot a\cdot \dfrac 1{b^4}\cdot a\cdot b^{-2}\cdot a^{-2} &=& b^8\cdot a^1\cdot a^1\cdot b^{-4}\cdot a^1\cdot b^{-2}\cdot a^{-2} \\ &=& a^1\cdot a^1\cdot a^1\cdot a^{-2} \cdot b^8\cdot b^{-4}\cdot b^{-2} \\ &=& a^{1+1+1+(-2)}\cdot b^{8+(-4)+(-2)} \\ &=& a\cdot b^2 \end{array}$

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