Erstes Potenzgesetz

Erstes Potenzgesetz Übung

• Gib die Definition für das erste Potenzgesetz wieder.

  Tipps

  Eine Potenz setzt sich aus einer Basis und einem Exponenten zusammen und ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst:

  • $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text{-mal}}$

  Dabei ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent.

  Sieh dir folgende Beispiele an:

  • $2^5\cdot 3^5=(2\cdot 3)^5$
  • $5^2\cdot 5^3=5^5$

  Lösung

  Eine Potenz setzt sich aus einer Basis und einem Exponenten zusammen und ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst:

  • $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text{-mal}}$

  Dabei ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent.

  Das erste Potenzgesetz befasst sich mit der Multiplikation zweier Potenzen, die gleiche Basen besitzen. Es besagt, dass zwei Potenzen mit gleichen Basen multipliziert werden, indem ihre Exponenten addiert werden und die gleiche Basis übernommen wird.

  Mathematisch können wir das erste Potenzgesetz wie folgt ausdrücken:

  • $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

  Ein Beispiel:

  • $5^2\cdot 5^3=\overbrace{\underbrace{5\cdot 5}_{5^2} \cdot \underbrace{5\cdot 5\cdot 5}_{5^3}}^{5^5}=5^{2+3}$

• Bestimme mit Hilfe des ersten Potenzgesetzes das Ergebnis.

  Tipps

  Das erste Potenzgesetz besagt, dass du zwei Potenzen mit gleichen Basen multiplizierst, indem du ihre Exponenten addierst und die gleiche Basis übernimmst.

  Der Exponent einer Potenz ist die Hochzahl.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $5^7\cdot 5^8=5^{15}$

  Lösung

  Das erste Potenzgesetz besagt, dass du zwei Potenzen mit gleichen Basen multiplizierst, indem du ihre Exponenten addierst und die gleiche Basis übernimmst. Es gilt also:

  • $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

  Hierbei ist $a$ die Basis der Potenzen und $m$ und $n$ sind die Exponenten, also die Hochzahlen.

  Damit folgt:

  • $2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$
  • $9^4\cdot 9^5=9^{4+5}=9^9$

• Ermittle mit Hilfe des ersten Potenzgesetzes die Ergebnisse.

  Tipps

  Wenn du dir unsicher bist, kannst du die Potenzen ausschreiben und ausrechnen. Auch so kommt man auf die Lösung.

  Ist der Exponent einer Zahl negativ, so kannst du diese Potenz als Bruch darstellen. Dabei schreibst du in den Zähler eine $1$ und in den Nenner die jeweilige Potenz mit positivem Exponenten.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $2^5\cdot \dfrac 1{2^3}=2^5\cdot 2^{-3}=2^{5+(-3)}=2^2$

  Den Exponenten $1$ kann man auch weglassen. Es gilt $a^1=a$.

  Lösung

  Das erste Potenzgesetz lautet:

  • $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

  Ist der Exponent $m$ oder $n$ negativ, so kannst du diese Potenz als Bruch darstellen. Dabei schreibst du in den Zähler eine $1$ und in den Nenner die jeweilige Potenz mit positivem Exponenten. Das gilt natürlich auch umgekehrt, du kannst einen solchen Bruch wieder als Potenz schreiben.

  Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

  Ergebnis $4^6$

  • $4\cdot 4^5=4^1\cdot 4^5=4^{1+5}=4^6$
  • $4^2\cdot 4^4=4^{2+4}=4^6$
  • $4^7\cdot 4^{-1}=4^{7+(-1)}=4^{7-1}=4^6$

  Ergebnis $4^4$

  • $4^2\cdot 4^2=4^{2+2}=4^4$
  • $4^5\cdot 4^{-1}=4^{5+(-1)}=4^4$
  • $4\cdot 4^3=4^1\cdot 4^3=4^{1+3}=4^4$
  • $4^8\cdot \dfrac{1}{4^4}=4^8\cdot 4^{-4}=4^{8+(-4)}=4^4$

  Ergebnis $4$

  • $4^{-3}\cdot 4^4=4^{-3+4}=4^1=4$
  • $4^2\cdot \dfrac 14=4^2\cdot 4^{-1}=4^{2+(-1)}=4^1=4$

• Erschließe mit Hilfe des Potenzgesetzes die vereinfachten Terme.

  Tipps

  Den Exponenten $1$ kann man weglassen. Trotzdem kann die Zahl als Potenz bewertet werden. Dabei ist die Zahl die Basis und der Exponent ist $1$. Es gilt nämlich:

  • $a^1=a$

  Vereinfache den Term, der in der Basis und im Exponenten einer Potenz steht. Beachte dabei die Rechenregeln:

  • Klammern zuerst
  • Punkt- vor Strichrechnung
  • von links nach rechts

  Es gilt: $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

  Nutze das Potenzgesetz, nachdem du alle Basen und Exponenten soweit wie möglich vereinfacht hast.

  Lösung

  Wir vereinfachen jeweils den Term, der in der Basis und im Exponenten einer Potenz steht. Wir beachten dabei die Rechenregeln:

  • Klammern zuerst
  • Punkt- vor Strichrechnung
  • von links nach rechts

  Den Exponenten $1$ kann man weglassen. Trotzdem wird die Zahl als Potenz bewertet. Dabei ist die Zahl die Basis und der Exponent ist $1$. Es gilt nämlich:

  • $a^1=a$

  So erhalten wir die folgenden Rechnungen:

  Beispiel 1

  $(3+2)^3\cdot 2^{1+2}\cdot 5\cdot \left(5-\frac 93\right)^{3}\cdot \left(\frac 12\cdot 6\right)^5=5^3\cdot 2^{3}\cdot 5\cdot 2^{3}\cdot 3^5=5^{3+1}\cdot 2^{3+3}\cdot 3^5=5^{4}\cdot 2^{6}\cdot 3^5$

  Beispiel 2

  $2^{2+3}\cdot (21:7)^4\cdot 3^{3}\cdot 5^2\cdot (2(1-2)+4)=2^{5}\cdot 3^4\cdot 3^{3}\cdot 5^2\cdot 2=2^{5+1}\cdot 5^2 \cdot 3^{4+3}=2^6\cdot 5^2 \cdot 3^7$

• Gib die Potenzen als ausgeschriebene Multiplikation an.

  Tipps

  Eine Potenz ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation der Basis mit sich selbst.

  Es gilt zum Beispiel $10^4=10\cdot 10\cdot 10 \cdot 10= 10000$.

  Lösung

  Eine Potenz setzt sich aus einer Basis und einem Exponenten zusammen und ist die abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation der Basis mit sich selbst:

  • $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n\text{-mal}}$

  Dabei ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent.

  Damit gilt:

  • $2^3=2\cdot 2\cdot 2$
  • $2^7=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$
  • $7^2=7\cdot 7$
  • $3^2=3\cdot 3$

• Erschließe mit Hilfe des ersten Potenzgesetzes die vereinfachten Terme.

  Tipps

  Schreibe zunächst alle Brüche in Potenzen um.

  Es gilt:

  $\frac{1}{m^n} = m^{-n}$

  Sortiere die einzelnen Glieder der Terme so, dass Potenzen mit gleicher Basis nebeneinander stehen. Wende auf die Potenzen mit gleicher Basis dann das erste Potenzgesetz an.

  Lösung

  Wir schreiben die Brüche in Potenzen um, indem wir die Potenz im Nenner mit negativem Exponenten schreiben. Dann sortieren wir die einzelnen Glieder der Terme so, dass alle Potenzen mit gleicher Basis nebeneinander stehen. Auf diese Potenzen wenden wir dann das erste Potenzgesetz an:

  Beispiel 1

  $\begin{array}{lll} a^2\cdot b^4\cdot a^5\cdot \dfrac 1a\cdot b &=& a^2\cdot b^4\cdot a^5\cdot a^{-1}\cdot b^1 \\ &=& a^2\cdot a^5\cdot a^{-1}\cdot b^4\cdot b^1 \\ &=& a^{2+5+(-1)}\cdot b^{4+1} \\ &=& a^6\cdot b^5 \end{array}$

  Beispiel 2

  $\begin{array}{lll} b^8\cdot a\cdot a\cdot \dfrac 1{b^4}\cdot a\cdot b^{-2}\cdot a^{-2} &=& b^8\cdot a^1\cdot a^1\cdot b^{-4}\cdot a^1\cdot b^{-2}\cdot a^{-2} \\ &=& a^1\cdot a^1\cdot a^1\cdot a^{-2} \cdot b^8\cdot b^{-4}\cdot b^{-2} \\ &=& a^{1+1+1+(-2)}\cdot b^{8+(-4)+(-2)} \\ &=& a\cdot b^2 \end{array}$