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Brüche und Dezimalzahlen ordnen 09:43 min

Brüche und Dezimalzahlen ordnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche und Dezimalzahlen ordnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Reihenfolge der Brüche und Dezimalzahlen von klein nach groß an.

    Tipps

    Du kannst eine Dezimalzahl zunächst in einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner umwandeln. Dann schaust du, ob du diesen Bruch kürzen kannst:

    • $1,25=\frac{125}{100}=\frac 54$

    Beim Erweitern musst du Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl multiplizieren.

    Zwei Brüche wie $\frac23$ und $\frac47$ kannst du nicht so einfach vergleichen. Bringst du sie aber auf den gleichen Hauptnenner (das kleinste gemeinsame Vielfache ($\text{kgV}$) der beiden Nenner), siehst du ganz schnell:

    $\frac47=\frac{12}{21}<\frac{14}{21}=\frac23$

    Lösung

    Um die Zahlen $0,3$; $\frac 53$; $\frac 13$; $1,25$ und $0,03$ der Größe nach zu ordnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Man kann entweder alle Brüche in Dezimalzahlen oder alle Dezimalzahlen in Brüche umwandeln. Man könnte aber auch alle Zahlen in Bruchstreifen übersetzen und diese miteinander vergleichen. Im Folgenden wandeln wir alle Dezimalzahlen in Brüche um. Dann machen wir alle Brüche gleichnamig, indem wir die Nenner auf einen gleichen Hauptnenner bringen und müssen so nur noch die Zähler miteinander vergleichen. Der Bruch mit dem kleineren Zähler ist dann kleiner als der Bruch mit dem größeren Zähler.

    Für die Dezimalzahlen erhalten wir folgende Brüche:

    • $0,3=\frac 3{10}$
    • $1,25=\frac{125}{100}=\frac 5{4}$
    • $0,03=\frac 3{100}$
    Jetzt suchen wir den Hauptnenner für die Zahlen $10$, $4$, $100$ und $3$. Dieser ist die kleinste Zahl, die durch die vier Zahlen teilbar ist, also $300$, und wir können wie folgt erweitern:

    • $0,3=\frac{3}{10}=\frac{3\cdot 30}{10\cdot 30}=\frac {90}{300}$
    • $\frac 53=\frac{5\cdot 100}{3\cdot 100}=\frac {500}{300}$
    • $\frac 13=\frac {1\cdot 100}{3\cdot 100}=\frac {100}{300}$
    • $1,25=\frac 54=\frac{5\cdot 75}{4\cdot 75}=\frac {375}{300}$
    • $0,03=\frac{3}{100}=\frac{3\cdot 3}{100\cdot 3}=\frac 9{300}$

    Nun müssen wir nur noch die Zähler miteinander vergleichen. Es gilt: $~9<90<100<375<500$

    Damit können wir die ursprünglichen Zahlen wie folgt ordnen:

    $0,03<0,3<\frac 13<1,25<\frac 53$

  • Gib die Brüche als Dezimalzahlen an.

    Tipps

    Teile den Zähler durch den Nenner.

    Steht im Nenner des Bruches eine Zehnerpotenz, so musst du im Zähler nur ein Komma setzen. Und zwar so, dass die Zahl genauso viele Nachkommastellen hat, wie die Zehnerpotenz Nullen. Zum Beispiel:

    $\frac{2}{10}=0,2$

    Der Strich über einer Zahl steht für Periode und bezeichnet damit eine Folge von Ziffern, die sich in einem Dezimalbruch nach dem Komma immer wieder wiederholen.

    Anstatt also bei $\frac23=0,666666666666\dots$ unendliche viele Sechsen zu schreiben, kennzeichnen wir die $6$ mit der Periode:

    $\frac23=0,\overline{6}$

    Lösung

    Wir wandeln die Brüche in Dezimalzahlen um, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen. Wenn im Nenner eine Zehnerpotenz steht, müssen wir im Zähler nur ein Komma setzen. Die daraus resultierende Dezimalzahl besitzt genauso viele Nachkommastellen, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Damit erhalten wir die folgenden Dezimalzahlen:

    • $\frac 3{10}=0,3$
    • $\frac 53=5:3=1,\overline{6}$
    • $\frac 54=5:4=1,25$
    • $\frac 13=1:3=0,\overline{3}$
    • $\frac3{100}=0,03$
    Der Strich über einer Zahl steht für Periode und bezeichnet damit eine Folge von Ziffern, die sich in einem Dezimalbruch nach dem Komma immer wieder wiederholen.

    Anstatt also bei $\frac23=0,666666666666\dots$ unendliche viele Sechsen zu schreiben, kennzeichnen wir die $6$ mit der Periode:

    $\frac23=0,\overline{6}$.

  • Vergleiche die Zahlen miteinander.

    Tipps

    Wandle entweder alle Dezimalzahlen in Brüche oder alle Brüche in Dezimalzahlen um.

    Hast du gleichnamige Brüche, d. h. Brüche mit demselben Nenner, so ist der Bruch mit dem kleineren Zähler kleiner als der Bruch mit dem größeren Zähler.

    Lösung

    Um die Zahlen miteinander vergleichen zu können, müssen wir entweder alle Dezimalzahlen in Brüche oder alle Brüche in Dezimalzahlen umwandeln. Um beide Methoden zu veranschaulichen, verwenden wir im ersten Beispiel die erste Methode und im zweiten Beispiel die zweite.

    Beispiel 1

    Wir betrachten folgende Zahlen:

    • $\frac 18 \quad 2 \quad 0,5 \quad 1,2 \quad \frac 14 \quad \frac 32$
    Wir wandeln zunächst alle Dezimalzahlen in Brüche um:

    • $0,5=\frac 5{10}=\frac 12$
    • $1,2=\frac{12}{10}=\frac 65$
    Nun suchen wir den Hauptnenner von $2$, $4$, $5$ und $8$. Dieser ist $40$ und wir erhalten folgende Erweiterungen:

    • $\frac 18=\frac {5}{40}$
    • $2=\frac {80}{40}$
    • $0,5=\frac 12=\frac{20}{40}$
    • $1,2=\frac 65=\frac{48}{40}$
    • $\frac 14=\frac{10}{40}$
    • $\frac 32=\frac{60}{40}$

    Da $5<10<20<48<60<80$ gilt, folgt:

    • $\frac 18<\frac 14<0,5<1,2<\frac 32<2$

    Beispiel 2

    Wir betrachten folgende Zahlen:

    • $\frac 1{1000} \quad 0,2 \quad 0,01 \quad \frac 1{10} \quad \frac 43 \quad 0,005$
    Wir wandeln zunächst alle Brüche in Dezimalzahlen um:

    • $\frac 1{1000}=0,001$
    • $\frac 1{10}=0,1$
    • $\frac 43=1,\overline{3}$
    Da $0,001<0,005<0,01<0,1<0,2<1,\overline{3}$ gilt, folgt:

    • $\frac 1{1000}<0,005<0,01<\frac 1{10}<0,2<\frac 43$
  • Ermittle die jeweiligen Dezimalzahlen und vergleiche sie.

    Tipps

    Es gilt $0,\overline{1}>0,1$,

    da $0,\overline{1}=0,1111111...$ ist.

    Lösung

    Im ersten Schritt wandeln wir die Brüche in Dezimalzahlen um, indem wir Zähler durch Nenner teilen. So können wir sie im zweiten Schritt mit den Dezimalzahlen vergleichen. Wir erhalten die folgenden Umrechnungen:

    • $\frac 16=1:6=0,1\overline{6}$
    • $\frac{21}{25}=21:25=0,84$
    • $\frac 49=4:9=0,\overline{4}$
    • $\frac{18}{48}=18:48=0,375$
    Nun können wir die Zahlen vergleichen:

    • $\frac 16=0,1\overline{6}>0,16$
    • $\frac 49=0,\overline{4}>0,39$
    • $\frac {21}{25}=0,84<1,2$
    • $\frac 16=0,1\overline{6}<0,2$
    • $\frac {18}{48}=0,375<1$
    • $\frac {21}{25}=0,84>0,83$
  • Gib die Zahlen als Bruchstreifen an.

    Tipps

    Der Bruch $\frac23$ zählt zwei Felder auf dem Bruchstreifen für Drittel.

    Wandle die Dezimalzahlen $0,3$ und $1,25$ zunächst in Brüche um.

    Teilst du $3$ durch $10$, so erhältst du 0,3.

    Lösung

    Wir übersetzen die Brüche in Bruchstreifen, indem wir auf dem jeweiligen Bruchstreifen so viele Felder, wie der Zähler vorgibt, abzählen. Dahinter setzen wir dann die Markierung für den entsprechenden Bruch. Bevor wir das tun, müssen wir aber die $0,3$ und $1,25$ noch in Brüche umwandeln. Es gilt:

    • $0,3=\frac 3{10}$
    • $1,25=\frac 54$
    Damit können wir die Markierungen wie folgt setzen:

    • Für $\frac 3{10}$ setzen wir nach den ersten drei Feldern des Bruchstreifens für Zehntel eine grüne Markierung.
    • Für $\frac 1{3}$ setzen wir nach dem ersten Feld des Bruchstreifens für Drittel eine gelbe Markierung.
    • Für $\frac 5{3}$ setzen wir nach den ersten fünf Feldern des Bruchstreifens für Drittel eine blaue Markierung.
    • Für $\frac 5{4}$ setzen wir nach den ersten fünf Feldern des Bruchstreifens für Viertel eine violette Markierung.
  • Erschließe die Ergebnisse und vergleiche sie.

    Tipps

    Wandle zunächst alle Brüche in Dezimalzahlen um und rechne mit Dezimalzahlen.

    Achte beim gemischten Bruch auf die ganze Zahl. So gilt:

    $3\frac{4}{5}=\frac{3\cdot5+4}{5}=\frac{19}{5}$

    Lösung

    Wir erhalten folgende Ergebnisse, indem wir zunächst alle Brüche in Dezimalzahlen umwandeln und dann die Rechnung durchführen:

    Beispiel 1

    • $\frac 14+0,83=0,25+0,83=1,08$
    • $4\frac 45-2,98=4,8-2,98=1,82$
    Ergebnisse vergleichen (<, > oder =):

    • $\frac 14+0,83=1,08 < 1,82= 4\frac 45-2,98$
    Beispiel 2

    • $\frac 9{12}+\frac 14+2,3=0,75+0,25+2,3=3,3$
    • $7,4-\frac 8{20}-5,75=7,4-0,4-5,75=1,25$
    Ergebnisse vergleichen (<, > oder =):

    • $\frac 9{12}+\frac 14+2,3=3,3 > 1,25=7,4-\frac 8{20}-5,75$