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Winkel

Um diesen Text zu lesen solltest du bereits wissen, was ein Winkel ist. Hier lernst du Winkelsummen in Dreiecken, in Vierecken und in Vielecken kennen.

Die Winkelsumme in Dreiecken

Ein Dreieck ist eine ebene Figur. Hier siehst du die Skizze eines Dreiecks:

3014_Dreieck.jpg

  • Es zeichnet sich dadurch aus (wie schon der Name sagt), dass es drei Eckpunkte hat. Diese werden gegen den Uhrzeigersinn mit den Großbuchstaben $A$, $B$ und $C$ beschriftet. Die drei Eckpunkte werden durch Strecken verbunden.
  • Die Strecken werden auch Seiten genannt und üblicherweise mit Kleinbuchstaben entsprechend dem gegenüber liegenden Eckpunkt bezeichnet.
  • Jeder der Eckpunkte ist der Scheitel eines Winkels. Die Innenwinkel eines Dreiecks werden mit den griechischen Kleinbuchstaben $\alpha$ (alpha), $\beta$ (beta) und $\gamma$ (gamma) beschriftet.

Der Winkelsummensatz

In jedem beliebigen Dreieck gilt der Winkelsummensatz:

$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$

Begründung des Winkelsummensatzes

Wir betrachten noch einmal das obige Dreieck. Zur besseren Lesbarkeit sind nur noch die Winkel beschriftet. Du erkennst in dem Bild eine gestrichelte Linie parallel zu der blauen Seite. So erhältst du zwei Winkel $\delta$ und $\epsilon$.

3014_Dreieck_Winkelsumme.jpg

  • Die drei Winkel $\delta$, $\gamma$ und $\epsilon$ ergänzen sich zu $180^\circ$. Einen solchen Winkel nennt man auch gestreckter Winkel.
  • Die Winkel $\alpha$ und $\delta$ sowie $\beta$ und $\epsilon$ sind Wechselwinkel. Da Wechselwinkel gleich groß sind, folgt damit $\alpha =\delta$ sowie $\beta =\epsilon$.

Insgesamt kannst du damit folgern, dass die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ ergibt.

Rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der drei Winkel ein rechter Winkel. Dieser hat den Wert $90^\circ$. Das bedeutet, dass die beiden anderen Winkel zusammen ebenfalls $90^\circ$ ergeben müssen. Sei zum Beispiel $\gamma=90^\circ$, dann gilt $\alpha+\beta=90^\circ$. Die beiden Winkel sind somit spitze Winkel.

Gleichseitiges Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang. Dann sind auch alle Winkel gleich groß. Das bedeutet, es gilt $\alpha=\beta=\gamma$. Daraus kannst du folgern, dass $3\alpha=180^\circ$ ist. Eine Division durch $3$ auf beiden Seiten der Gleichung führt zu $\alpha=60^\circ$.

In einem gleichseitigen Dreieck betragen also alle drei Winkel $60^\circ$.

Exkurs: Die Winkelsumme in Vielecken

Nun kannst du dich natürlich fragen, ob es auch Aussagen über die Winkelsummen von Vielecken mit mehr als drei Ecken gilt.

Die Winkelsumme von Vierecken

Dies schauen wir uns einmal am Beispiel eines Quadrates an.

3014_Quadrat.jpg

Die blaue Diagonale teilt das Quadrat in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Für jedes dieser Dreiecke gilt der Winkelsummensatz. Das bedeutet, dass sich in beiden Dreiecken die drei Innenwinkel zu $180^\circ$ summieren. Da das Quadrat aus zwei Dreiecken „besteht“, gilt, dass die vier Innenwinkel in dem Quadrat sich zu $2\cdot 180^\circ=360^\circ$ summieren.

Für jedes beliebige Viereck gilt:

$\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ$

1110_beliebiges_Viereck.jpg

Die eingezeichnete Diagonale teilt das Viereck in zwei Dreiecke. So kannst du in jedem beliebigen Viereck die Summe der vier Innenwinkel bestimmen.

Die Winkelsumme eines Fünfecks

Hier siehst du ein in einen Kreis eingeschriebenes regelmäßiges Fünfeck.

3014_Fünfeck.jpg

Dieses Fünfeck kannst du in fünf kongruente und gleichschenklige Dreiecke unterteilen.

  • Jedes dieser Dreiecke hat einen $72^\circ$-Winkel. Auf diesen kommst du, wenn du den Vollwinkel $(360^\circ)$ durch $5$ teilst.
  • Die gleich großen Basiswinkel betragen jeweils $\frac{180^\circ-72^\circ}2=54^\circ$.
  • Nun kannst du zählen, wie viele dieser Winkel sich in dem Fünfeck befinden: Es sind $10$. Somit beträgt die Summe der fünf Innenwinkel $10\cdot 54^\circ=540^\circ$. Auch dies gilt für jedes beliebige Fünfeck.

Die Winkelsumme eines beliebigen Vielecks

In einem beliebigen $n$-Eck gilt der folgende Winkelsummensatz:

Die Summe der $n$ Innenwinkel eines $n$-Ecks beträgt $(n-2)\cdot 180^\circ$.

Umgekehrt kannst du auch bei bekannter Winkelsumme die Anzahl der Ecken berechnen:

Wie viele Ecken hat bspw. ein Vieleck mit der Winkelsumme $1980^\circ$?

Es muss gelten $(n-2)\cdot 180^\circ=1980^\circ$. Teile auf beiden Seiten durch $180^\circ$. Du erhältst $n-2=11$. Hier kannst du nun noch $2$ addieren. Das ergibt $n=11+2=13\text{.}$

Ein Vieleck mit einer Innenwinkelsumme von $1980^\circ$ hat also $13$ Ecken.

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