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Was ist ein Dreieck?

Ein Dreieck ist eine ebene Figur.

Ein Dreieck hat, wie du an dem Namen bereits erkennen kannst, drei Ecken. Ein Dreieck hat auch drei Seiten und drei Winkel.

Du kannst hier ein allgemeines Dreieck sehen mit den entsprechenden Bezeichnungen der Ecken, Seiten und Winkel.

Topic_Dreieck.jpg

Der Umfang eines Dreiecks

Den Umfang eines Dreiecks kannst du dir wie folgt klarmachen: Du startest bei dem Punkt $A$ und gehst zu $B$, die Länge der Strecke ist $c$. Von dort gehst du zu $C$. Gesamt bist du bereits $c+a$ gegangen. Zurück zu $A$ gehst du die Strecke $b$. Der gesamte Weg ist der Umfang:

$\quad~~~U=a+b+c$

Beispiel

In einem See sind für ein Schwimmwettbewerb die Bahnen in Form eines Dreiecks abgesteckt. Die eine Seite ist $300~m$ lang, eine weitere $500~m$ und die letzte $400~m$. Die Teilnehmer des Schwimmwettbewerbes müssen zwei Runden schwimmen. Wie lang ist die gesamte Schwimmstrecke?

  • Zuerst muss der Umfang des Dreiecks berechnet werden:

$\quad~~~U=300~m+500~+400~=1200~m$

  • Dieser wird mit $2$ multipliziert: $2\cdot 1200~m=2400~m$. Dies ist die gesamte Länge der Schwimmstrecke.

Die Fläche eines Dreiecks

Rechtwinklige Dreiecke

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, wird als Hypotenuse bezeichnet und die beiden anderen Seiten als Katheten.

Hier siehst du ein Rechteck.

3016_Rechteck_Diagonale.jpg

Die grüne Diagonale teilt dieses Rechteck in zwei deckungsgleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke. Das bedeutet, dass diese Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben. Somit ist

$\quad~~~2\cdot A_{\Delta}=A_{\text{Rechteck}}=a\cdot b$

Division durch $2$ führt zu dem Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken

$\quad~~~A_{\Delta}=\frac{a\cdot b}2$

Dabei sind $a$ und $b$ die Katheten des Dreiecks.

Allgemeine Dreiecke

Um den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks zu berechnen, kannst du Hilfslinien in dem obigen Dreieck einfügen:

3016_Dreieck_Flächeninhalt.jpg

  • $c$ ist die Grundseite und
  • $h_c$ ist die Höhe des Dreiecks. Diese erhältst du, indem du von dem Punkt $C$ aus auf die gegenüber liegende Seite $c$ das Lot fällst.

Das gesamte Rechteck mit den Ecken $A$, $B$, $E$ und $F$ hat den Flächeninhalt

$\quad~~~A_{\text{Rechteck}}=c\cdot h_c$

.

Die beiden Dreiecke $\Delta_{ADC}~$ und $\Delta_{ACF}~$ sind kongruent, haben also den gleichen Flächeninhalt. Das gilt auch für die Dreiecke $\Delta_{DBC}~$ und $\Delta_{BEC}$.

Da der Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta_{ABC}~$ genau die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke $\Delta_{ADC}~$ und $\Delta_{DBC}~$ ist, gilt:

$\quad~~~A=\frac{c~\cdot~ h_c}2$

Ein Dreieck hat drei Höhen $h_a$, $h_b$ und $h_c$. Jede dieser Höhen erhältst du ebenso wie oben beschrieben.

Hier siehst du das Dreieck mit der Höhe $h_c$.

1103_Dreieck_Höhe.jpg

Somit ist die Fläche eines beliebigen Dreiecks gegeben durch die Formel(n)

$\quad~~~A=\frac{c~\cdot~ h_c}2=\frac{a~\cdot~ h_a}2=\frac{b~\cdot~ h_b}2$

Diese Formel ist natürlich auch anwendbar auf rechtwinklige Dreiecke: Zwei der drei Höhen eines rechtwinkligen Dreiecks sind die Katheten.

Exkurs: Seitenlängen berechnen

Paul möchte in seinem Zimmer ein rechtwinkliges Dreieck an die Wand malen. Die Hypotenuse $c$ ist $5~m$ lang und eine der Katheten (parallel zum Boden), $a$, genau $4~m$ lang. Die Menge der Farbe hängt von der Fläche ab. Wie groß ist die Fläche dieses Dreiecks?

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt die Hälfte des Produktes der beiden Katheten.

Paul muss zuerst die fehlende Kathetenlänge $b$ berechnen. Hierfür verwendet er den Satz des Pythagoras. Es gilt

$\quad~~~b^2+(4~m)^2=(5~m)^2$

Jetzt wird auf beiden Seiten $(4~m)^2$ subtrahiert zu $b^2=25~m^2-16~m^2=9~m^2$. Ziehen der Wurzel führt zu $b=3~m$. Paul kennt somit beide Kathetenlängen und kann den Flächeninhalt berechnen:

$\quad~~~A=\frac{(4~m)\cdot (3~m)}{2}=\frac{12~m^2}{2}=6~m^2$

Paul muss also Farbe für $6~m^2$ besorgen.