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Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen 08:35 min

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Transkript Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen

Hallo! Das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen ist unser Thema. Und da können wir uns als erstes Mal überlegen, was heißt denn das eigentlich. Also wenn ich jetzt ein Koordinatensystem bin, dann ist hier die y-Achse, hier ist der positive Teil der x-Achse, und hier ist der negative Teil der x-Achse. Die Frage ist jetzt, wenn man immer größere Zahlen in die Funktionen einsetzt, werden dann die Funktionswerte immer größer oder werden sie immer kleiner? Und auf der anderen Seite, wenn man immer kleinere Zahlen in die Funktionen einsetzt, werden dann die Funktionswerte immer größer oder immer kleiner? Wir können uns jetzt als erstes ansehen was der Fall ist, wie das geht, dann gucken wir uns an wie das graphisch, optisch aussieht und dann können wir uns noch überlegen, warum das alles so ist. Eine ganzrationale Funktion hat zum Beispiel einen solchen Funktionsterm. Das Verhalten im Unendlichen hängt nun nur von dem Summanden mit dem höchsten Exponenten ab, also hier dem Summanden 2x4. Dabei kommt es darauf an, ob der Exponent gerade oder ungerade ist, und es kommt darauf an, ob der Koeffizient, also die Zahl vor dem x mit dem höchsten Exponenten, positiv oder negativ ist. Sollte keine Zahl vor dem x mit dem höchsten Exponenten stehen, kannst du eine 1 dazu schreiben. Damit ist der Koeffizient positiv. Steht nur ein Minuszeichen vor dem x mit dem höchsten Exponenten, kannst du auch eine 1 dazuschreiben und der Koeffizient ist dann negativ. Wir haben vier Fälle zu unterscheiden, je nachdem ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist und ob der Koeffizient positiv oder negativ ist. Und das schauen wir uns jetzt mal kurz und knapp in einer Tabelle an. Ist der Koeffizient positiv und der Exponent gerade, geht f(x) gegen plus unendlich, falls x gegen plus unendlich geht, und f(x) geht ebenfalls gegen plus unendlich, falls x gegen minus unendlich geht. Ist der Koeffizient negativ und der Exponent gerade, geht f(x) gegen minus unendlich, falls x gegen plus unendlich geht, und f(x) geht ebenfalls gegen minus unendlich, falls x gegen minus unendlich geht. Ist der Koeffizient positiv und der Exponent ungerade, geht f(x) gegen plus unendlich, falls x gegen plus unendlich geht, und f(x) geht gegen minus unendlich, falls x gegen minus unendlich geht. Ist der Koeffizient negativ und der Exponent ungerade, geht f(x) gegen minus unendlich, falls x gegen plus unendlich geht, und f(x) geht gegen plus unendlich, falls x gegen minus unendlich geht. Damit haben wir das Verhalten im Unendlichen aller ganzrationalen Funktionen geklärt. Und zur besseren Orientierung können wir uns jetzt mal anschauen, wie die Graphen ganzrationaler Funktionen prinzipiell aussehen. Wenn der Koeffizient positiv ist und der Exponent gerade, haben wir folgende Situation. Wir haben hier irgendwelche Maxima und Minima, und für x gegen plus unendlich gehen die Funktionswerte gegen plus unendlich. Und auf der anderen Seite ist das genauso falls x gegen minus unendlich geht, gehen die Funktionswerte gegen plus unendlich. Ist der Koeffizient negativ und der Exponent gerade, gehen die Funktionswerte gegen minus unendlich, falls x gegen minus unendlich geht, und die Funktionswerte gehen ebenfalls gegen minus unendlich, falls x gegen plus unendlich geht. Und zwischendrin können sich irgendwelche Maxima und Minima befinden, vielleicht ist einfach auch nur ein großes Maximum da, und dann könnte die Funktion so aussehen. Das Maximum muss hier nicht in der Nähe der y-Achse sein, das kann auch da ganz weit draußen sein. Ich zeichne das nur so, weil ich ja irgendwie das Koordinatensystem hier andeuten muss. Falls der Koeffizient positiv ist und der Exponent ungerade, gehen die Funktionswerte gegen minus unendlich, falls x gegen minus unendlich geht, und die Funktionswerte gehen gegen plus unendlich, falls x gegen plus unendlich geht. Und zwischendrin ist da irgendein Ochsengedröhn in Form von Maxima und Minima. Und so könnte der Funktionsgraph aussehen. Ist der Koeffizient negativ und der Exponent ungerade, gehen die Funktionswerte gegen plus unendlich, falls x gegen minus unendlich geht, und sie gehen gegen minus unendlich, falls x gegen plus unendlich geht. Soweit also zur Sachlage. Wir haben aber noch nicht geklärt, warum das Verhalten im Unendlichen ganzrationaler Funktionen nur vom Summanden mit dem höchsten Exponenten abhängt. Aber das klären wir jetzt. Wir haben hier einen Funktionsterm x4 - 12x³ - 20x² - 5x - 10. Ich weise noch darauf hin, dass hier noch ein x0 stehen könnte, wird normalerweise weggelassen, deshalb lasse ich es hier auch weg. Falls x gegen plus unendlich geht, gehen diese Funktionswerte auch gegen plus unendlich. Das liegt nur an diesem x4 hier. Und das ist der Fall, trotzdem hier so einiges abgezogen wird. Aber wir werden sehen, dass der Summand mit dem höchsten Exponenten größer wird als der Betrag aller anderen Summanden zusammen. Wir können den Funktionsterm noch kleiner machen, indem wir jedem Summanden hier den betragsmäßig größten Koeffizienten spendieren. Warum nicht? Dann haben wir also x4 - 20x³ - 20x² - 20x - 20. Das was hier rauskommt ist sicher kleiner als das, was da rauskommt für große x. Wir können noch weitergehen, denn wir wissen ja, dass für große x, x³ größer ist als x² und größer als x und größer als x0. Wir spendieren noch mal jedem Summanden etwas und zwar die höchste Potenz, die nach dieser Potenz noch übrig bleibt, also x³. Dann haben wir hier noch - 20x³ - 20x³ - 20x³. Ist für große x sicher kleiner als das, was hier steht. Und jetzt schauen wir uns an, was hier eigentlich steht. x4 ist ja x * x³. Was wird alles in allem abgezogen? Wir haben -80x³. So und obwohl jetzt hier eine Menge abgezogen wird sehen wir, spätestens wenn x größer ist als 80 und das ist ja irgendwann erreicht, wenn x gegen plus unendlich geht, ist das Ganze hier positiv, wird dann für größer werdende x immer größer, geht gegen plus unendlich, und damit ist das hier auch der Fall, denn dieser Term ist ja für große x auf jeden Fall kleiner als der hier. So, damit sind wir fertig. Wir haben also gesehen, dass es beim Verhalten im Unendlichen ganzrationaler Funktionen vier Fälle gibt. Wir haben auch gesehen, dass diese vier Fälle nur vom Summanden mit dem höchsten Exponenten abhängen. Und wir haben ebenfalls gesehen, warum das so ist. Dann ist dem jetzt nichts mehr hinzuzufügen. Viel Spaß damit. Tschüss.

1 Kommentar
  1. Default

    Hallo danke Ihnen für das Video aber wenn ich das Video hören kann,das heiß das Video ist sehr sehr leiser und ich höre gar nichts

    Von Elham D., vor 3 Monaten

Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, woran man das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen erkennen kann.

    Tipps

    Zum Beispiel bestimmt der Summand $2x^4$ bei der Funktion

    $f(x)=2x^4+15x^3-x-1$

    das Verhalten im Unendlichen.

    Weil $4$ gerade ist, ist der Grenzwert sowohl für $x\to +\infty$ als auch für $x\to -\infty$ identisch.

    Da der Koeffizient $2>0$ ist, ist beide Male der Grenzwert $+\infty$.

    Lösung

    Eine ganzrationale Funktion kann zum Beispiel so aussehen:

    $f(x)=2x^4+15x^3-x-1$

    Das Verhalten im Unendlichen hängt ausschließlich von dem Summanden mit dem höchsten Exponenten ab. Der höchste Exponent ist hier $4$.

    Insbesondere unterscheidet man, ob dieser Exponent gerade oder ungerade ist.

    Des Weiteren schaut man sich den ersten Koeffizienten, also den Faktor vor dem $x$ mit dem höchsten Exponenten, an. Dieser ist in diesem Beispiel $2$. Hier wird unterschieden, ob dieser Koeffizient positiv oder negativ ist.

    Dies führt zu vier verschiedenen Fälle. Die entsprechenden Grenzwerte gelten in diesen Fällen immer.

  • Gib sowohl den höchsten Exponenten als auch das Vorzeichen des zugehörigen Koeffizienten an.

    Tipps

    Bei der Funktion $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+as_0$ ist

    • $n$ der höchste Exponent und
    • $a_n$ der entsprechende Koeffizient.

    Schaue dir das folgende Beispiel an:

    $f(x)=-2x^3+x^2+4x-7$

    Der höchste Exponent ist $3$ und der entsprechende Koeffizient $-2$.

    Wenn du keinen Faktor vor dem $x$ mit dem höchsten Exponenten siehst, dann ist dieser $1$. Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

    $f(x)=x^2-3x+4$

    Die Funktion hat als höchsten Exponenten $2$ mit dem entsprechenden Koeffizienten $1$.

    Lösung

    Ganz allgemein sieht eine ganzrationale Funktion so aus:

    $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

    Der höchste Exponent $n$ wird auch Grad der Funktion genannt.

    Dabei muss der Koeffizient vor dem $x$ mit dem höchsten Exponenten $a_n\neq 0$ sein.

    An dem höchsten Exponenten (gerade oder ungerade?) sowie dem Vorzeichen des Koeffizienten (positiv oder negativ?) kannst du das Verhalten der Funktion im Unendlichen ablesen. Deshalb ist es wichtig, diese beiden Größen erkennen zu können.

    Die Funktion $f(x)=2x^4+15x^3-x-1$ hat

    • den höchste Exponenten $4$ und
    • den entsprechenden Koeffizienten $2$.
    Bei der Funktion $f(x)=x^4-12x^3-20x^2-5x-10$ ist

    • $4$ der höchste Exponent und
    • $1$ der entsprechende Koeffizient.
    Vielleicht fragst du dich, warum $1$ der entsprechende Koeffizient ist, obwohl er gar nicht da steht. Es ist $1\cdot x^4=x^4$. Wenn da kein Faktor steht, ist dieser das neutrale Element der Multiplikation, also die $1$.

  • Ergänze das Verhalten im Unendlichen.

    Tipps

    Der höchste Exponent der Funktion

    $f(x)=x^3+x^2-x-1$

    ist $3$, also ungerade, und der Koffizient, also der Faktor vor $x^3$, ist $1>0$.

    Das Verhalten im Unendlichen kannst du an diesem Funktionsgraphen erkennen.

    Dies gilt übrigens für jede ganzrationale Funktion mit ungeradem höchsten Exponenten und positivem Koeffizienten.

    Für den Fall, dass

    • der höchste Exponent gerade und
    • der Koeffizient positiv ist,
    schaue dir die Parabel zu $f(x)=x^2$ an (Spezialfall).

    Der Funktionsgraph zu $f(x)=-x^2$ ist eine nach unten geöffnete Parabel.

    {$+\infty$} 0.920 / 0.360 0.920 / 0.360 {$+\infty$} 0.670 / 0.510 0.670 / 0.510 {$-\infty$} 0.920 / 0.510 0.920 / 0.510 {$-\infty$} 0.670 / 0.660 0.670 / 0.660 {$+\infty$} 0.920 / 0.660 0.920 / 0.660 {$-\infty$} 0.670 / 0.810 0.670 / 0.810 {$-\infty$} 0.920 / 0.810 0.920 / 0.810 {$+\infty$}

    Lösung

    Wenn du das Verhalten einer ganzrationalen Funktion

    $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

    untersuchen sollst, genügt es, wenn du dir

    • den höchsten Exponenten $n$ sowie
    • das Vorzeichen des entsprechenden Koeffizienten $a_n$
    anschaust. Du unterscheidest dann die folgenden vier Fälle:

    Gerader höchster Exponent

    • Ist der Koeffizient positiv, dann ist $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=„+\infty“$.
    • Ist der Koeffizient negativ, dann ist $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=„-\infty“$.
    Du siehst, das Vorzeichen ändert sich nicht: Beide Male ist der Grenzwert identisch.

    Anders verhält sich dies bei ungeradem höchsten Exponenten.

    Ungerader höchster Exponent

    • Ist der Koeffizient positiv, dann ist $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=„+\infty“$ und $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=„-\infty“$.
    • Ist der Koeffizient negativ, dann ist $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=„-\infty“$ und $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=„+\infty“$.
  • Untersuche das Verhalten der Funktionen im Unendlichen.

    Tipps

    Dies ist der Funktionsgraph der Funktion $f(x)=x^3-3x^2+4$.

    Verwende diese Tabelle.

    Lösung

    Das Verhalten von ganzrationalen Funktionen im Unendlichen hängt davon ab,

    • ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist und
    • ob der entsprechende Koeffizient zu dem $x$ mit dem höchsten Exponenten positiv oder negativ ist.
    Schauen wir uns das noch einmal an zwei Beispielen an:

    Betrachten wir zunächst $f(x)=x^3-3x^2+4$.

    • Der höchste Exponent $3$ ist ungerade und
    • der entsprechende Koeffizient $1>0$.
    Damit ist $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=„+\infty“$ sowie $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=„-\infty“$.

    Wie sieht es mit $h(x)=-2x^5+3x^4+14$ aus?

    Hier ist

    • der höchste Exponent $5$, also ungerade, und
    • der entsprechende Koeffizient $-2<0$.
    Damit ist $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=„-\infty“$ sowie $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=„+\infty“$.

  • Bestimme alle Funktionen mit geradem höchsten Exponenten und negativem Koeffizienten.

    Tipps

    Alle Funktionsterme sind sortiert. Das $x$ mit dem höchsten Exponenten steht ganz links.

    Der gesuchte Koeffizient ist der Faktor vor dem $x$ mit dem höchsten Exponenten.

    Zwei Funktionen haben einen geraden höchsten Exponenten mit zugehörigem negativen Koeffizienten.

    Lösung

    Schauen wir uns für jede Funktion zunächst den höchsten Exponenten an. Ist dieser gerade, wird der Koeffizient betrachtet.

    • Bei $f(x)=-\frac12x^3+x^2+7x-8$ ist dies $3$. Diese Funktion musst du nicht weiter betrachten.
    • $g(x)=\frac13x^2+27x+33$ hat einen geraden höchsten Exponenten $2$, jedoch ist der Koeffizient $\frac13>0$.
    • Bei der Funktion $h(x)=-\frac12x^4+x^2+7x-8$ ist sowohl der höchste Exponent $4$ gerade als auch der Koeffizient $-\frac12<0$.
    • $k(x)=x^4+x^2+7x-8$ hat zwar mit der $4$ einen geraden höchsten Exponenten, jedoch ist der Koeffizient $1>0$.
    • $i(x)=-x^4+x^2+7x-8$: Diese Funktion unterscheidet sich von der vorigen nur durch den Koeffizienten vor dem $x$ mit dem höchsten Exponenten. Dieser ist $-1$, also negativ.
    • $j(x)=-x^5+x^2+7x-8$ hat mit $5$ einen ungeraden höchsten Exponenten.
    Die beiden gesuchten Funktionen sind $h(x)$ sowie $i(x)$.

    Übrigens gehen beide Funktionen sowohl für $x\to +\infty$ als auch für $x\to -\infty$ gegen $-\infty$.

  • Entscheide das Verhalten der Funktion für $x\to \pm\infty$.

    Tipps

    In dieser Tabelle kannst du das Grenzwertverhalten in Abhängigkeit von dem höchsten Exponenten sowie dem Koeffizienten sehen.

    Du musst noch jeweils den höchsten Exponenten sowie den Koeffizienten deiner Funktion ermitteln.

    Der höchste Exponent der Funktion $f(x)=x^3+5x^2-7x+8$ ist $3$, also ungerade.

    Der entsprechende Koeffizient ist $1$, also positiv. Das bedeutet

    • $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=„+\infty“$ sowie
    • $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=„-\infty“$.

    Achte darauf, ob das Verhalten für $x\to+\infty$ oder $x\to-\infty$ untersucht werden soll.

    Zum Beispiel ist der höchste Exponent von $k(x)=x^6+7$ gegeben durch $6$. Dieser ist gerade. Der Koeffizient ist $1$ und somit positiv.

    Lösung

    Nun können wir an Hand mehrerer Beispiele die Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen von ganzrationalen Funktionen üben:

    Betrachten wir die Funktion $f(x)=-3x^4+5x+8$:

    • Der höchste Exponent ist $4$, also gerade, und
    • der Koeffizient $-3<0$.
    Damit ist $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=„-\infty“$ sowie $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=„-\infty“$.

    Wie sieht es mit der Funktionsgleichung $g(x)=\frac37x^3+6x^2-12$ aus?

    • Der höchste Exponent ist $3$, also ungerade, und
    • der Koeffizient $\frac37>0$.
    Damit ist $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=„+\infty“$ sowie $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=„-\infty“$.

    Schauen wir nun auf $h(x)=-x^5$:

    • Der höchste Exponent ist $5$, also ungerade, und
    • der Koeffizient $-1<0$.
    Damit ist $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=„-\infty“$ sowie $\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=„+\infty“$.

    Zuletzt untersuchen wir $k(x)=x^6+7$:

    • Der höchste Exponent ist $6$, also gerade, und
    • der Koeffizient $1>0$.
    Damit ist $\lim\limits_{x\to+\infty}k(x)=„+\infty“$ sowie $\lim\limits_{x\to-\infty}k(x)=„+\infty“$.