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Trigonometrische Pythagoras

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Die Autor*innen
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André Otto
Trigonometrische Pythagoras
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Trigonometrische Pythagoras

Herzlich Willkommen zum trigonometrischen Pythagoras! Du solltest über grundlegende Kenntnisse im Bereich der Winkelfunktionen verfügen sowie den Lehrsatz des Pythagoras kennen und anwenden können. Unter dem trigonometrischen Pythagoras versteht man eine kleine nützliche Formel. Diese Erkenntnis kann z. B. verwendet werden, um Gleichungen zu vereinfachen. Beispielsweise wird es während der Ermittlung des Kosinussatzes verwendet. In diesem Video wird dir der trigonometrische Pythagoras anschaulich bewiesen. Du kannst auch versuchen ihn selbständig zu beweisen. Du benötigst die oben beschriebenen Lernvoraussetzungen und als Beweisskizze ein rechtwinkliges Dreiecke. Viel Erfolg!

Transkript Trigonometrische Pythagoras

Hallo, liebe Mathematikfreundinnen und Mathematikfreunde. Ich begrüße euch zum Video "Der Trigonometrische Pythagoras". Kurz zu den Lernvoraussetzungen: Ihr solltet über Winkelfunktionen Bescheid wissen und den Lehrsatz des Pythagoras kennen und anwenden können. Dieses Video ist vorgesehen für Schüler etwas der 10. Klasse im 2. Halbjahr. Natürlich sind jüngere Zuhörerinnen und Zuhörer, oder auch ältere immer gerne gesehen. Vielen Dank. Unter dem Trigonometrischen Pythagoras versteht man eine kleine nützliche Formel. Sie lautet: sin2?+cos2?=1. Wir wollen nun den Beweis ausführen. Dafür werde ich ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen. Der rechte Winkel ist hellblau gekennzeichnet, der Winkel ? mit roter Farbe eingetragen. Die Gegenkathete g ist grün gekennzeichnet, die Ankathete a mit lila Farbe markiert. Die Hypotenuse ist mit orangefarbener Farbe gekennzeichnet. Somit haben wir alles, was wir benötigen, und können beginnen.  Wir beginnen mit der linken Seite der Formel: sin2?+cos2?. Wir wissen: Der Sinus des Winkels ? ist Gegenkathete zu Hypotenuse, also g/h. Beides in Klammern zum Quadrat. Entsprechend ist der Cosinus von ? Ankathete zu Hypotenuse, (a/h)2. Wir wenden nun auf die Brüche das Potenzgesetz an und quadrieren im Zähler wie im Nenner. Zeile darunter: =(g2/h2)+(a2/h2). Nun können wir ausnutzen, dass wir über den gemeinsamen Nenner h2 verfügen: =(g2+a2)/h2. Nun verwenden wir den Lehrsatz des Pythagoras für unser Dreieck: g2+a2=h2. Wir können diesen Ausdruck verwenden, indem wir für g2+ a2 im Zähler in der zweiten Zeile rechts einfach h2 schreiben. Damit ergibt sich, 3. Zeile: h2/h2. Wir kürzen und erhalten 1/1=1. Das war zu beweisen. Eine kleine, feine Angelegenheit wurde beendet. Vielleicht habt ihr ein bisschen Spaß gehabt und habt etwas gelernt. Alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!  

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Es ist nicht mein Problem damit klar zu kommen, ich meinte ja nur das ich die Bezeichnung etwas unglücklich gewählt finde.

    Von Malte Sven Müller, vor mehr als 9 Jahren
  2. Leider gibt es mehr sinnvolle mathematische Termini als Buchstaben. Da kann es zu Überschneidungen kommen. Man muss auch mit "Nichtstandardbezeichnungen" klarkommen können.

    Von André Otto, vor mehr als 9 Jahren
  3. Ich finde die Bezeichnung der Hypothenuse mit "h" recht unglücklich, da man normalerweise die Höhe eines Dreieckes mit "h" bezeichnet.

    Von Malte Sven Müller, vor mehr als 9 Jahren
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