Trigonometrie – Einführung

Trigonometrie – Einführung Übung

• Vervollständige die Gleichungen.

  Tipps

  Lösung

  Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse:
  $~\sin(\alpha)=\frac{~\text{Gegenkathete}}{~\text{Hypotenuse}}$
  Da die Gegenkathete mit $a$ und die Hypotenuse mit $c$ beschriftet ist, gilt:
  $~\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$

  Der Kosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:
  $~\cos(\alpha)=\frac{~\text{Ankathete}}{~\text{Hypotenuse}}$
  Da die Ankathete mit $b$ und die Hypotenuse mit $c$ beschriftet ist, gilt:
  $~\cos(\alpha)=\frac{b}{c}$

  Der Tangens eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:
  $~\tan(\alpha)=\frac{~\text{Gegenkathete}}{~\text{Ankathete}}$
  Da die Gegenkathete mit $a$ und die Ankathete mit $b$ beschriftet ist, gilt:
  $~\tan(\alpha)=\frac{a}{b}$

• Gib an, welche mathematischen Größen durch die jeweilige Formel verknüpft werden.

  Tipps

  Der Sinus von $\alpha$ ist als das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse definiert.

  Die Hypotenuse ist die längste Seite im Dreieck.

  Mithilfe des Satzes des Pythagoras kann man mit zwei gegebenen Seiten im rechtwinkligen Dreieck die dritte Seite ermitteln.

  Lösung

  Der Winkelsummensatz gilt in allen Dreiecken und besagt, dass die Summe aller Innenwinkel $180^\circ$ beträgt:
  $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
  Es werden also die Größen $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ verknüpft.

  Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Er besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist:
  $a^2+b^2=c^2$
  Es werden also die Größen $a$, $b$ und $c$ verknüpft.

  Der Sinus eines Winkels gibt das Längenverhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse an:
  $~\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$
  Es werden also die Größen $\alpha$, $a$ und $c$ verknüpft.

  Der Kosinus eines Winkels gibt das Längenverhältnis von Ankathete zur Hypotenuse an:
  $~\cos(\alpha)=\frac{b}{c}$
  Es werden also die Größen $\alpha$, $b$ und $c$ verknüpft.

  Der Tangens eines Winkels gibt das Längenverhältnis von Gegenkathete zur Ankathete an:
  $~\tan(\alpha)=\frac{a}{b}$
  Es werden also die Größen $\alpha$, $a$ und $b$ verknüpft.

• Entscheide, welche der Aussagen richtig sind.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras lautet für das hier abgebildete Dreieck mit $\gamma=90^\circ$ in Kurzform:

  $a^2+b^2=c^2$

  Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein.

  Dem rechten Winkel liegt immer die längste Seite des Dreiecks gegenüber.

  Lösung

  Die folgenden Aussagen sind richtig:

  • Der Satz des Pythagoras verknüpft die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck.

  Diese Aussage stimmt, da der Satz des Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ lautet, wobei $a$ und $b$ die beiden Katheten im rechtwinkligen Dreieck sind und $c$ die Hypotenuse ist.

  • Sinus, Kosinus und Tangens sind Längenverhältnisse.

  Diese Aussage ist korrekt, da der Sinus als $~\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$ definiert ist. Dabei ist $a$ die Länge der Gegenkathete und $c$ die Länge der Hypotenuse. Somit ist $\frac{a}{c}$ ein Längenverhältnis. Gleiches gilt für den Kosinus $\cos(\alpha)=\frac{b}{c}$ und den Tangens $\tan(\alpha)=\frac{a}{b}$, wobei $b$ die Länge der Ankathete ist.

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Der Winkelsummensatz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

  Das ist falsch, da der Winkelsummensatz $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ in allen Dreiecken gilt.

  • Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

  Das ist auch falsch, da die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, die Hypotenuse ist. Die Gegenkathete hingegen ist die Seite, die dem betrachteten Winkel gegenüberliegt.

• Entscheide, ob Sinus, Kosinus und Tangens direkt angewendet werden können.

  Tipps

  Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber.

  Lösung

  Sinus, Kosinus und Tangens stellen Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck dar:

  • $~\sin(\alpha)=\frac{~\text{Gegenkathete}}{~\text{Hypotenuse}}$
  • $~\cos(\alpha)=\frac{~\text{Ankathete}}{~\text{Hypotenuse}}$
  • $~\tan(\alpha)=\frac{~\text{Gegenkathete}}{~\text{Ankathete}}$

  Die beiden roten Dreiecke sind rechtwinklig, daher können wir Sinus, Kosinus und Tangens hier anwenden.

  Das gelbe Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Wir nennen es daher gleichseitig. Im gleichseitigen Dreieck sind auch alle Innenwinkel gleich groß, nämlich $60^\circ$. Es ist somit nicht rechtwinklig. Wir können Sinus, Kosinus und Tangens hier nicht direkt anwenden. Nur durch das Einzeichnen von Hilfslinien könnten wir rechtwinklige Dreiecke erzeugen.

  Gleiches gilt für das grüne Rechteck: Da dies kein rechtwinkliges Dreieck ist, können wir Sinus, Kosinus und Tangens nicht direkt anwenden. Hier könnten wir jedoch ebenfalls Hilfslinien einzeichnen, um rechtwinklige Dreiecke zu erzeugen.

• Bestimme Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete.

  Tipps

  Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber.

  Seite $a$ liegt gegenüber von Winkel $\alpha$: Es handelt sich um eine Kathete.

  Seite $b$ liegt an dem Winkel $\alpha$.

  Lösung

  In einem rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Bezeichnungen:

  Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist auch immer die längste Seite im Dreieck.

  Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten.
  Genauer nennt man die Seite, die dem betrachteten Winkel gegenüberliegt, Gegenkathete. Die Seite, die dem betrachteten Winkel anliegt, heißt Ankathete.

• Stelle die Gleichung für Sinus, Kosinus und Tangens in dem rechtwinkligen Dreieck auf.

  Tipps

  Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im Dreieck. Welche der anderen beiden Seiten die An- und Gegenkathete sind, hängt davon ab, welchen Winkel wir betrachten.

  Der Sinus eines Winkels ist definiert als Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse.

  • $~\sin(\alpha)=\frac{~\text{Gegenkathete}}{~\text{Hypotenuse}}$
  • $~\cos(\alpha)=\frac{~\text{Ankathete}}{~\text{Hypotenuse}}$
  • $~\tan(\alpha)=\frac{~\text{Gegenkathete}}{~\text{Ankathete}}$

  Lösung

  Betrachten wir in dem gegebenen Dreieck den Winkel $\alpha$, so ist die Seite $k$ die Gegenkathete, die Seite $j$ die Ankathete und die Seite $i$ die Hypotenuse.
  Wir betrachten nun die Definition von Sinus, Kosinus und Tangens und setzen entsprechend ein:

  $~\sin(\alpha)=\frac{~\text{Gegenkathete}}{~\text{Hypotenuse}}=\frac{k}{i}$

  $~\cos(\alpha)=\frac{~\text{Ankathete}}{~\text{Hypotenuse}}=\frac{j}{i}$

  $~\tan(\alpha)=\frac{~\text{Gegenkathete}}{~\text{Ankathete}}=\frac{k}{j}$

  Betrachten wir in dem gegebenen Dreieck den Winkel $\beta$, so ist die Seite $j$ die Gegenkathete, die Seite $k$ die Ankathete und die Seite $i$ die Hypotenuse.
  Wir betrachten wieder die Definition von Sinus, Kosinus und Tangens und setzen entsprechend ein:

  $~\sin(\beta)=\frac{~\text{Gegenkathete}}{~\text{Hypotenuse}}=\frac{j}{i}$

  $~\cos(\beta)=\frac{~\text{Ankathete}}{~\text{Hypotenuse}}=\frac{k}{i}$

  $~\tan(\beta)=\frac{~\text{Gegenkathete}}{~\text{Ankathete}}=\frac{j}{k}$