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Trapez – Fehlende Größen berechnen

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Martin Wabnik
Trapez – Fehlende Größen berechnen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Trapez – Fehlende Größen berechnen

Willkommen zu meinem Video zum Flächeninhalt von Trapezen. Wenn wir bestimmte Größen zu einem Trapez gegeben haben, so können wir schnell die fehelenden Größen berechnen. Im Video werde ich dir das gleich demonstrieren. Dazu werden wir die Flächeninhaltsformel für Trapeze A = (a+c)/2 * h nach den einzelnen Variablen a, c und h umstellen. Wir erhalten a = A/(2h), c = 2A/h – a und h = 2A/(a+c). IM Video zeige ich dir, wie ich diese Formeln berechne.

Transkript Trapez – Fehlende Größen berechnen

Hallo. Wie kann man fehlende Größen im Trapez berechnen, wenn man die Flächenformel verwendet: A=((a+c)/2)×h. Wenn du das zu den Parallelogrammen gesehen hast und zu den Dreiecken und so weiter, dann weißt du, was jetzt kommt. Und um dich nicht zu langweilen, möchte ich das jetzt ein bisschen anders aufziehen: Und zwar haben wir hier die Flächenformel und die Flächenformel kann man nach h, nach c und nach a auflösen, je nachdem, was gegeben und was gesucht ist. Zunächst möchte ich diese Flächenformel nach h auflösen, das bedeutet, man muss jetzt durch (a+c)/2 teilen und das darf man ruhig auch noch mal als Doppelbruch schreiben, damit man die Doppelbruchgesetze nicht verlernt. Der große Bruchstrich ist der Hauptbruchstrich und dann wissen wir: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Das heißt, wir haben hier 2A/(a+c)=h. Das heißt jetzt, wenn du zum Beispiel die Seite a, die Seite c und die Fläche A gegeben hast, dann kannst du also diese Formel hier, so umformen und kannst dann h ausrechnen. Nächster Fall: Wir können diese Flächenformel nach c auflösen. Warum nicht? Dazu müssen wir zunächst durch h teilen, das heißt, wir haben dann hier A, Fläche A, also /h, auf der anderen Seite steht dann noch (a+c)/2. Das hätte ich auch gleichmachen können eigentlich, nämlich mit 2 multiplizieren. Dann haben wir (2×A)/h=a+c. Wenn man jetzt nach c auflösen möchte, muss man auf beiden Seiten -A rechnen, das heißt, wir haben ((2×A)/h)-a=c, und wenn man nach a auflösen möchte, also zur Seite a hin, dann muss man hier -c rechnen. Das mache ich nicht noch mal extra vor. Das weißt du dann auch so. Das bedeutet Jetzt, wenn du jetzt also die Fläche gegeben hast und eine Seite a gegeben hast und die Höhe gegeben hast, dann kannst du also diese Flächenformel umformen, sodass diese herauskommt. Dann setzt du hier die Zahlen ein und rechnest die Seite c aus. Was nun auch noch vorkommen kann, ist, dass man nicht a und nicht c gegeben hat, sondern dass man einfach nur eine Abhängigkeit gegeben hat. Zum Beispiel könnten wir sagen, dass 3×a gleich c ist. Wenn das gegeben ist und außerdem noch gegeben ist die Fläche und h, die Höhe, was kann man dann machen? Da stellen wir uns mal ganz dumm. Da schreiben wir erst mal die Flächenformel wieder auf, die ist also A=((a+c)/2)×h. Und in unserem Fall entspricht das folgender Situation: Wir wissen ja, dass 3a=c ist, das heißt, wir könnten hier statt c 3a hinschreiben. Das ist dieser Ersetzungstrick quasi, den man jetzt hier anwenden kann, a bleibt, wo es ist und statt c schreiben wir 3a. Also c ist jetzt 3-mal so groß wie a und das ist natürlich das Gleiche ... also 1a+3a sind dann 4a. Wenn man 4a durch 2 teilt, dann hat man noch 2a, also haben wir jetzt in dem Fall 2×Seite a×Höhe=Fläche. Und wenn man jetzt also die Fläche und die Höhe gegeben hat, dann muss man diese Gleichung noch nach a auflösen und das erreicht man, indem man durch 2 teilt und durch h teilt, also durch alles teilt auf der Seite, was nicht nach A aussieht. Das bedeutet, wir haben A/2h=a, und wenn man dann die Zahlen für Fläche A und Höhe h einsetzt, kann man das a ausrechnen. Wenn man das a ausgerechnet hat, setzt man die Zahl wieder hier ein und rechnet c aus. Ja, das war jetzt vielleicht ein bisschen schnell, aber das haben wir ja auch schon öfter gemacht. Das sind immer wieder die gleichen Umformungen. Das soll auch so sein. Das ist wieder wie bei anderen Übungen, wie wenn man Posaune spielen lernt, muss man auch Übungen machen, oder bei solchen Fertigkeiten. Die sind manchmal ein bisschen langweilig und das ist auch der Sinn der Sache, dass einem langweilig werden soll, denn dann beherrscht man das und dann braucht man sich bei komplizierteren Textaufgaben oder so etwas, nicht mehr darauf zu konzentrieren, solche Gleichungen hier, solche Formeln richtig umzuformen. Dann macht man das einfach so, fast automatisch. Das ist der Sinn der Sache, dass dir dabei irgendwann langweilig wird. Ich hoffe, ich habe das erreicht. In diesem Sinne: viel Spaß. Tschüss!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. etwas unverständlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Von Marianne H., vor etwa 3 Jahren
  2. Aber eure anderen videos sind ganz gut

    Von Marianne H., vor etwa 3 Jahren
  3. Najaaaa, . . . .

    Von Marianne H., vor etwa 3 Jahren
  4. Lustig in Zeitlupe

    Von Dianasophiehackl, vor etwa 3 Jahren
  5. Ich habe es heute anders gelernt... Aber trotzdem :)

    Von M Vennegeerts, vor etwa 3 Jahren
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Trapez – Fehlende Größen berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trapez – Fehlende Größen berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Flächenformel nach $h$ um.

    Tipps

    Zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes werden die Längen der beiden parallelen Seiten addiert, die Summe halbiert und dieses Ergebnis mit der Länge der Höhe multipliziert.

    Man erhält den Kehrwert eines Bruches, indem man Zähler und Nenner vertauscht.

    Gleichungen werden gelöst, indem man jeweils die entgegengesetzte Operation durchführt. Das Ziel ist es, die unbekannte Größe auf einer der beiden Seiten allein stehen zu haben.

    Lösung

    In der Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes

    $A=\frac{a+c}2\cdot h$

    befinden sich die $4$ Größen $A$, $a$, $c$ und $h$.

    Das bedeutet, diese Formel kann nach jeder dieser Größen umgestellt werden. Zum Beispiel kann man diese Formel bei bekanntem Flächeninhalt $A$ und den beiden Seitenlängen $a$ und $c$ nach der Höhe $h$ umstellen:

    $\begin{array}{rclll} A&=&\frac{a+c}2\cdot h&|&:\frac{a+c}2\\ \frac{A}{\frac{a+c}2}&=&h\\ \frac{2A}{a+c}&=&h \end{array}$

    Natürlich hätte man, statt durch den Bruch zu dividieren auch mit dessen Kehrwert multiplizieren können. Das Ergebnis wäre das Gleiche gewesen.

  • Gib die jeweilige Formel an, mit welcher man $c$ und $a$ bestimmen kann.

    Tipps

    Dividiere zunächst die obige Gleichung durch $h$ und multipliziere sie dann mit $2$.

    Fast fertig!

    Je nachdem, nach welcher Größe du auflösen möchtest, subtrahierst du zuletzt $a$ oder $c$.

    Die beiden Formeln sind sehr ähnlich. Die eine entsteht aus der anderen durch Vertauschen von $a$ und $c$.

    Lösung

    In einem Trapez sind zwei Seiten parallel zueinander. Diese seien $a$ und $c$. Der (konstante) Abstand dieser beiden Seiten ist die Höhe $h$ des Trapezes.

    In der Flächenformel kommen die vier Größen $A$, $a$, $c$ und $h$ vor. Nach jeder dieser Größen kann diese Formel umgeformt werden.

    Um zu $a$ (und auch zu $c$) zu gelangen, wird zunächst durch $h$ dividiert und mit $2$ multipliziert. Somit erhält man

    $a+c=\frac{2A}h$.

    • Zur Berechnung von $c$ wird $a$ subtrahiert zu $c=\frac{2A}h-a$ und
    • zur Berechnung von $a$ wird $c$ subtrahiert zu $a=\frac{2A}h-c$.

  • Berechne $a$ und $c$ in Abhängigkeit von $A$ und $h$.

    Tipps

    Beginne mit der oben angegebenen Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes. Ersetze dann

    • $c$ durch $3a$ oder
    • $a$ durch $5c$.

    Beachte $a+3a=4a$ sowie $5c+c=6c$.

    Wenn du die jeweils fehlende Größe berechnet hast, zum Beispiel für $c=3a$ die Größe $a$, kannst du über das Verhältnis der beiden Größen zueinander jeweils die andere Größe berechnen.

    Für $c=4a$ kannst du die Gleichung wie folgt umformen: $A=\frac{a+4a}2\cdot h=\frac{5a}2\cdot h=2,5 \cdot ah$

    Durch Division durch $2,5\cdot h$ erhält man

    $a=\frac{A}{2,5 \cdot h}$.

    Lösung

    Es gilt die Flächenformel $A=\frac{a+c}2\cdot h$.

    Sei nun $c=3a$, dann kann man dieses $c$ in der Formel einsetzen und erhält

    $A=\frac{a+3a}2\cdot h=\frac{4a}2\cdot h=2ah$.

    Durch Division durch $2h$ erhält man

    $a=\frac{A}{2h}$.

    Da das Dreifache von $a$ gerade $c$ ist, kann man die Formel für $c$ herleiten: $c=\frac{3A}{2h}$.

    Sei $a$ in Abhängigkeit von $c$ gegeben, also $a=5c$, kann auch hier wieder dieses $a$ in der obigen Flächenformel eingesetzt werden:

    $A=\frac{5c+c}2\cdot h=\frac{6c}2\cdot h=3ch$.

    Division durch $3h$ führt zu

    $c=\frac{A}{3h}$

    und Multiplikation mit $5$ zu

    $a=\frac{5A}{3h}$.

  • Ermittle jeweils die fehlenden Größen.

    Tipps

    Wenn $a$, $c$ und $h$ bekannt sind, kannst du die oben angegebene Flächenformel verwenden.

    Die Umformungen für $a$, $c$ und $h$ sind wie folgt gegeben:

    • $a=\frac{2A}h-c$,
    • $c=\frac{2A}h-a$ sowie
    • $h=\frac{2A}{a+c}$.

    Setze die jeweils bekannten Größen in der entsprechend umgeformten Formel ein.

    Lösung

    In diesem Trapez gilt die Flächenformel

    $A=\frac{a+c}2\cdot h$.

    Es kommen also vier Größen $A$, $a$, $c$ und $h$ in dieser Formel vor.

    Somit kann bei drei bekannten Größen die fehlende vierte berechnet werden. Hierfür werden jeweils die bekannten Größen in der entsprechenden Formel eingesetzt. Diese lauten:

    • $a=\frac{2A}h-c$,
    • $c=\frac{2A}h-a$ sowie
    • $h=\frac{2A}{a+c}$.
    Schauen wir uns das für die konkreten Werte an.

    1. $a=8$, $c=12$ und $h=8$ führt zu dem Flächeninhalt $A=\frac{8+12}2\cdot 8=\frac{20}2\cdot 8=10\cdot 8=80$.
    2. $A=40$ sowie $a=4$ und $c=6$ führt zu der Höhe $h=\frac{2\cdot 40}{4+6}=\frac{80}{10}=8$.
    3. Mit $A=42$, $a=6$ und $h=7$ erhält man $c=\frac{2\cdot 42}{7}-6=\frac{84}7-6=12-6=6$.
    4. Sei $A=88$, $c=12$ und $h=8$ so gelangt man zu $a=\frac{2\cdot 88}8-12=\frac{176}8-12=22-12=10$.
  • Gib die Formel zur Berechnung der Fläche eines Trapezes an.

    Tipps

    Beachte: Es ist nach der Flächenformel gefragt und nicht nach einer Umformung derselbigen.

    Wenn man die Dreiecke unten links und rechts eines Trapezes dreht, erhält man ein Rechteck.

    Dieses Rechteck hat die Seitenlängen $\frac{a+c}2$ und $h$.

    Lösung

    Seien $a$ und $c$ die parallelen Seiten eines Trapezes und $h$ dessen Höhe, dann ist durch

    $A=\frac{a+c}2\cdot h$

    der Flächeninhalt des Trapezes gegeben.

    Man kann sich diese Formel mal am Beispiel eines Rechtecks klarmachen. Bei diesem ist $a=c$ und somit $\frac{a+c}2=a=c$. Die Höhe wäre dann die Seite $b$. Somit erhält man die bekannte Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Rechtecks $A=a\cdot b$.

    Eine mögliche Erklärung der Formel ist hier zu sehen. Wenn man unten links und rechts die Dreiecke nach jeweils oben dreht, erhält man ein Rechteck. Dieses hat die Seitenlängen $\frac{a+c}2$ und $h$ und damit gelangt man zu der obigen Formel.

  • Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.

    Tipps

    Beachte, dass zur Berechnung des Flächeninhaltes des roten Trapezes noch die Länge von $g$, der den beiden Trapezen gemeinsamen Seite, berechnet werden muss.

    Überlege dir in jedem der Trapeze, welche Seiten parallel sind.

    Die Höhe in dem roten Trapez ist $e$.

    Zur Berechnung der gemeinsamen Seite verwendest du die Formel

    $g=\frac{2A}h-a$,

    wobei $A$ der Flächeninhalt des blauen Trapezes ist.

    Der des roten Trapezes ist ja gesucht!

    Lösung

    Um die Fläche des roten Trapezes zu berechnen, müssen wir die Längen der parallelen Seiten $g$ und $d$ kennen sowie die der Höhe $e$. Es ist $d=8$ und $e=50$. Jedoch ist die Länge von $g$ noch nicht bekannt.

    $g$ ist auch eine der beiden parallelen Seiten in dem blauen Trapez. Hier ist $A=720$ sowie $a=44$ und $h=24$ bekannt. Man kann also die Formel

    $g=\frac{2A}h-a$

    verwenden. Somit ist

    $g=\frac{2\cdot 720}{24}-44=16$.

    Mit dieser bekannten Seitenlänge kann die Fläche des roten Trapezes berechnet werden:

    $A=\frac{g+d}2\cdot e=\frac{16+8}2\cdot 50=12\cdot 50=600$.

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