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Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen

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Team Digital
Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Beispiel:

    ${2a+3b+7a+5b}$

    ${=2a+7a+3b+5b}$

    ${=(2+7)a+(3+5)b}$

    ${=9a+8b}$

    Ein Koeffizient ist eine zu einem Rechenausdruck beigefügte Zahl. Zum Beispiel bei ${2a}$ ist ${2}$ der Koeffizient.

    Lösung

    Terme mit unterschiedlichen Variablen lassen sich zusammenfassen, wenn sie innerhalb des Terms gleiche Variablen haben, beispielsweise ${2a+b+3a+4b}$.

    Achte darauf, ob die Rechnung aus Summanden oder Produkten besteht und welche Rechengesetze anzuwenden sind.

    Für das Beispiel dieser Aufgabe ergibt sich folgende Zusammenfassung:

    ${2t+{\frac{1}{4}}z+3t+{\frac{1}{2}}z}$

    Summanden neu ordnen (Kommutativgesetz):

    ${2t+3t+{\frac{1}{4}}z+{\frac{1}{2}}z}$

    Koeffizienten ausklammern (Distributivgesetz):

    ${=(2+3)t+(\frac{1}{4}+\frac{1}{2})z}$

    Klammern berechnen:

    ${=5t+(\frac{3}{4})z}$

  • Tipps

    Im Salatrezept sind $2$ Tomaten und ${\frac{1}{4}}$ Zwiebel angegeben.

    Im Suppenrezept sind $3$ Tomaten und ${\frac{1}{2}}$ Zwiebel aufgeführt.

    Lösung

    Um Terme korrekt aufzustellen, muss man die Koeffizienten und die Variablen bestimmen:

    Im Salatrezept sind $2$ Tomaten und ${\frac{1}{4}}$ Zwiebel angegeben. Das wird zu ${2t}$ und ${\frac{1}{4}z}$ zusammengefasst.

    Im Suppenrezept sind $3$ Tomaten und ${\frac{1}{2}}$ Zwiebel aufgeführt. Das wird zu ${3t}$ und ${\frac{1}{2}z}$ zusammengefasst.

    Anschließend bildest du die Summe aus den vier Termen. Beachte, dass die Reihenfolge der Summanden beliebig ist:

    ${2t+\frac{1}{4}z+3t+\frac{1}{2}z=5t+\frac{3}{4}z}$

  • Tipps

    Variablen können als Produkt zusammengefasst werden.

    Beispiel:

    ${{z}\cdot{z}=z^2}$

    Es gilt das Kommutativgesetz. Zum Beispiel kann ${2xy+3yx}$ zu $5xy$ zusammengefasst werden.

    Nicht zusammengefasst werden kann ${2xy+3yz}$.

    Lösung

    Terme mit unterschiedlichen Variablen lassen sich zusammenfassen, wenn sie innerhalb des Terms gleiche Variablen haben. Wenn Variablen als Produkt auftreten, darfst du sie nur in genau dieser Kombination zusammenfassen.

    Folgende Terme können wir zusammenfassen:

    ${3ab+4ab=(3+4)\cdot ab = 7ab} \rightarrow$ Distributivgesetz

    ${3bc+4cb = 3bc + 4bc = (3+4) \cdot bc=7bc} \rightarrow$ Kommutativgesetz und Distributivgestz

    ${{x}\cdot{x}=x^2} \rightarrow$ Produkt wird als Potenz geschrieben

    ${{a}\cdot{a}\cdot{a}=a^3} \rightarrow$ Produkt wird als Potenz geschrieben

    Folgende Terme können wir nicht zusammen:

    ${3ab+4ac}$

    ${1,5xy+1,5xz}$

    ${3ba+3bc}$

  • Tipps

    Beachte, dass zum Beispiel ${x\cdot{y}=y\cdot{x}}$ ist. Ordne dann die Summanden so neu an, dass alle gleichen Variablen zusammenstehen (Kommutativgesetz).

    Beispiel:

    ${3xy+4xy+5yz+6yz}$

    Fasse anschließend die Koeffizienten in einer Klammer zusammen (Distributivgesetz).

    Beispiel:

    ${(3+4)xy+(5+6)yz}$

    Berechnest du die Klammern, erhältst du das Endergebnis des Terms.

    Beispiel:

    ${7xy+11yz}$

    Lösung

    Wenn Variablen als Produkt auftreten, dann darfst du sie auch nur in dieser Kombination zusammenfassen, zum Beispiel ${2de+3ed=5ed}$.

    Außerdem kann man mit dem Kommutativgesetz nicht nur Summanden, sondern auch Faktoren vertauschen. Es gilt daher:

    ${x+y=y+x}$ und ${x\cdot{y}=y\cdot{x}}$

    Du kannst also alle Aufgaben nach folgendem Muster lösen:

    $1. ~\color{orange}{\text{Summanden neu ordnen mit dem KG}}$

    $2. ~ \color{blue}{\text{Koeffizienten zusammenfassen mit dem DG}}$

    $3. ~ \color{magenta}{\text{Klammern ausrechnen}}$

    Diese Terme gehören jeweils als Paar zusammen:

    $2ab+\frac{1}{2}cd+4ba+\frac{1}{3}dc=\color{orange}{2ab+4ab+\frac{1}{2}cd+\frac{1}{3}cd}\color{black}=\color{blue}{(2+4)ab+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})cd}\color{black}=\color{magenta}{6ab+\frac{5}{6}cd}$

    $2a\cdot3b\cdot\frac{1}{2}c=\color{blue}{(2\cdot3\cdot\frac{1}{2})abc}\color{black}=\color{magenta}{3abc}$

    $2a+4bc+2b+4a=\color{orange}{2a+4a+4bc+2b}\color{back}=\color{blue}{(2+4)a+4bc+2b}\color{black}=\color{magenta}{6a+4bc+2b}$

    $\frac{1}{2}b\cdot4a\cdot3c=\color{blue}{(\frac{1}{2}\cdot4\cdot3)abc}\color{black}=\color{magenta}{6abc}$

  • Tipps

    Ordne zuerst die Terme mithilfe des Kommutativgesetzes.

    Fasse die Koeffizienten zusammen mithilfe des Distributivgesetzes.

    Lösung

    $6x+9y+13x+5y+4x$

    Um diese Aufgabe zu lösen, musst du zunächst die Terme mithilfe des Kommutativgesetzes neu ordnen, sodass alle $x$ und $y$ zusammenstehen. Die Reihenfolge innerhalb der $x$-Terme und $y$-Terme ist dabei egal.

    Summanden neu ordnen:

    $+6x+4x+13x+9y+5y$

    Anschließend fasst du die Koeffizienten mithilfe des Distributivgesetzes zusammen.

    Koeffizienten ausklammern:

    $(6+4+13) \cdot x+(9+5)\cdot y$

    Dann rechnest du die Klammern aus und erhältst einen zusammengefassten Term.

    Klammern berechnen:

    $23\cdot x+14\cdot y$

  • Tipps

    Tomaten: $3t$ und $4,\!5t$

    Zwiebeln: $0,\!75z$ und $1,\!5z$

    Du kannst zunächst den Term als Summe schreiben, die Summanden dann mithilfe des Kommutativgesetzes vertauschen und anschließend mit dem Distributivgesetz zusammenfassen.

    Lösung

    Du liest aus der Aufgabe heraus, dass man im ersten Rezept $3$ Tomaten und $0,\!75$ Zwiebeln und im zweiten Rezept $4$ Tomaten und $1,\!5$ Zwiebeln benötigt.

    Das sind für die Tomaten $3t$ und $4,\!5t$ sowie für die Zwiebeln $0,\!75z$ und $1,\!5z$.

    In der Aufgabe sind die Variablen $t$ und $z$ vorgegeben. Der Term wird somit wie folgt aufgestellt, wobei die Reihenfolge der einzelnen Summanden beliebig ist:

    ${4,\!5t+0,\!75z+3t+1,\!5z}$

    Zuerst ordnest du die Terme mithilfe des Kommutativgesetzes neu an, sodass alle gleichen Variablen zusammenstehen:

    $={4,\!5t+3t+0,\!75z+1,\!5z}$

    Anschließend fasst du die Koeffizienten zusammen, indem du die Variablen mithilfe des Distributivgesetzes ausklammerst:

    $= {(4,\!5+3)t+(0,\!75+1,\!5)z}$

    Dann rechnest du die Klammern aus:

    $={7,\!5t+2,\!25z}$

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